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1、第2課時 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算
及其幾何意義
1.理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算規(guī)律.
2.復(fù)數(shù)的加減與向量的加減的關(guān)系.
實(shí)數(shù)可以進(jìn)行加減運(yùn)算,并且具有豐富的運(yùn)算律,其運(yùn)算結(jié)果仍是實(shí)數(shù);多項(xiàng)式也有相應(yīng)的加減運(yùn)算和運(yùn)算律;對于引入的復(fù)數(shù),其代數(shù)形式類似于一個多項(xiàng)式,當(dāng)然它也應(yīng)有加減運(yùn)算,并且也有相應(yīng)的運(yùn)算律.
問題1:依據(jù)多項(xiàng)式的加法法則,得到復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則.
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù),那么
(a+bi)+(c+di)= ,
很明顯,兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù).
問題2: 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律.
即
2、z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
問題3:利用向量加法討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義
向量加法遵循平行四邊形法則,在直角坐標(biāo)系中從橫縱坐標(biāo)上分析就是橫縱坐標(biāo)分別相加.故復(fù)數(shù)相加就是實(shí)部與虛部分別相加得到一個新的復(fù)數(shù).
問題4:如何理解復(fù)數(shù)的減法?
復(fù)數(shù)減法是復(fù)數(shù)加法的逆運(yùn)算.向量減法遵循三角形法則,在直角坐標(biāo)系中從橫縱坐標(biāo)上分析就是橫縱坐標(biāo)分別相減.故復(fù)數(shù)相減就是實(shí)部與虛部分別相減得到一個新的復(fù)數(shù).
1.設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第
3、四象限
2.(2-2i)+(3+i)+(4+2i)+(5+12i)-32i(其中i為虛數(shù)單位)等于( ).
A.10 B.10+2i C.14 D.14+2i
3.復(fù)數(shù)z1=9+3i,z2=-5+2i,則z1-z2= .
4.已知復(fù)數(shù)z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.
(1)求z2;
(2)求z1-2z2.
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法運(yùn)算
(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;
(2)計(jì)算:(13+12i)+(2-i)-(43-32i);
(3)計(jì)算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-20
4、12+2013i)+(2013-2014i).
復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算的幾何意義
在復(fù)平面內(nèi),A、B、C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,求D點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長.
復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的綜合應(yīng)用
已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,復(fù)數(shù)z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.
復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并說明z1+z2-z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.
如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O、A、C分別表示0、3+2i、-2
5、+4i.求:
(1)AO表示的復(fù)數(shù);
(2)CA表示的復(fù)數(shù);
(3)OB表示的復(fù)數(shù).
已知實(shí)數(shù)a∈R,復(fù)數(shù)z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2為純虛數(shù),求a的值.
1.復(fù)數(shù)z1=-3+4i,z2=6-7i,則z1+z2等于( ).
A.3-3i B.3+3i C.-9+11i D.-9-3i
2.復(fù)數(shù)(3+i)m-(2+i)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).
A.m<23 B.m<1 C.231
3.復(fù)數(shù)z1=-2+3i,z2=4+3i,則z1-z2= .
4.已知a∈R,復(fù)數(shù)z1=2+(a+2)i,
6、z2=a2+2a-1+3i,
若z1+z2為實(shí)數(shù),求z1-z2.
在復(fù)平面內(nèi),A,B,C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-1+2i.
(1)求向量AB,AC,BC對應(yīng)的復(fù)數(shù);
(2)判斷△ABC的形狀.
考題變式(我來改編):
答案
第2課時 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義
知識體系梳理
問題1:(a+c)+(b+d)i
問題2:z2+z1 z1+(z2+z3)
基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流
1.D (3-4i)-(-2+3i)=5-7i.
2.C (2-2i)+(3+i)+(4+2i)+(5+12i)-
7、32i
=2+3+4+5+(-2+1+2+12-32)i=14.
3.14+i z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.
4.解:(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.
(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.
重點(diǎn)難點(diǎn)探究
探究一:【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
(2)13+12i+(2-i)-(43-32i)=(13+2-43)+(12-1+32)i=1+i.
(3)(法一)原式=[(1-2
8、)+(3-4)+…+(2011-2012)+2013]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2012+2013)-2014]i=(-1006+2013)+(1006-2014)i=1007-1008i.
(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,
(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
(2011-2012i)+(-2012+2013i)=-1+i,
將以上各式(共1006個)相加可知:
原式=1006(-1+i)+(2013-2014i)=1007-1008i.
【小結(jié)】幾個復(fù)數(shù)相加減,運(yùn)算法則為這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加減,所有虛部相加減.
第(3)小題的解法一是從整體
9、上把握,將計(jì)算分實(shí)部和虛部進(jìn)行,有機(jī)構(gòu)造特殊數(shù)列的和進(jìn)而求得結(jié)果.解法二是從局部入手,抓住了式中相鄰兩項(xiàng)和的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)胤纸M使計(jì)算得以簡化.
探究二:【解析】如圖所示:
AC對應(yīng)復(fù)數(shù)z3-z1,
AB對應(yīng)復(fù)數(shù)z2-z1,
AD對應(yīng)復(fù)數(shù)z4-z1.
由復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義得AD=AB+AC,
∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),
∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,
∴AD的長為|AD|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=210.
【小結(jié)】利用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時,同樣滿足平行四邊形法則和三
10、角形法則.復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可能.
探究三:【解析】由題意得a2+25=13,9+b2=5,a>0,b>0,∴a=12,b=4,
∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.
【小結(jié)】本題結(jié)合了復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)的加法,表面看著難,其實(shí)難度不大.
思維拓展應(yīng)用
應(yīng)用一:z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,
z1+z2-z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(6,4),在第一象限.
應(yīng)用二:(1)因?yàn)锳O=-OA,所以AO表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.
(2)因?yàn)镃A=OA-OC,所以CA表示的復(fù)數(shù)為(3+
11、2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因?yàn)镺B=OA+AB,所以O(shè)B表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
應(yīng)用三:z1+z2=(a+2-3ai)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,
∵z1+z2為純虛數(shù),∴a+8=0,3a+7≠0,∴a=-8.
基礎(chǔ)智能檢測
1.A
2.A (3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,
∵點(diǎn)(3m-2,m-1)在第三象限,
∴3m-2<0,m-1<0,即m<23.
3.-6 z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.
4.解:z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,
∵a∈R,z1+z2為實(shí)數(shù),∴a+5=0,∴a=-5,
∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.
全新視角拓展
解:(1)AB=OB-OA=(2+i)-1=1+i,
AC=OC-OA=(-1+2i)-1=-2+2i,
BC=OC-OB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,
所以AB,AC,BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+i.
(2)因?yàn)閨BC|2=10,|AC|2=8,|AB|2=2,
所以有|BC|2=|AC|2+|AB|2,
所以△ABC為直角三角形.
《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案
