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第三章 不等式
章末復習
學習目標 1.整合知識結(jié)構(gòu)，進一步鞏固、深化所學知識.2.能熟練利用不等式的性質(zhì)比較大小、變形不等式、證明不等式.3.體會“三個二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系在解決問題中的作用.4.能熟練地運用圖解法解決線性規(guī)劃問題.5.會用基本不等式證明不等式，求解最值問題．
1．“三個二次”之間的關系
所謂三個二次，指的是①二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標，即二次函數(shù)的零點；②相應的一元二次方程的實根；③一元二次不等式的解集端點．
解決其中任何一個“二次”問題，要善于聯(lián)想其余兩個，并靈活轉(zhuǎn)化．
2．規(guī)劃問題
(1)規(guī)劃問題的求解步驟
①把問題要求轉(zhuǎn)化為約束條件；
②根據(jù)約束條件作出可行域；
③對目標函數(shù)變形并解釋其幾何意義；
④移動目標函數(shù)尋找最優(yōu)解；
⑤解相關方程組求出最優(yōu)解．
(2)關注非線性
①確定非線性約束條件表示的平面區(qū)域．可類比線性約束條件，以曲線定界，以特殊點定域；
②常見的非線性目標函數(shù)有(ⅰ)，其幾何意義為可行域上任一點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率；(ⅱ)，其幾何意義為可行域上任一點(x，y)與定點(a，b)的距離．
3．基本不等式
利用基本不等式證明不等式和求最值的區(qū)別
(1)利用基本不等式證明不等式，只需關注不等式成立的條件；
(2)利用基本不等式求最值，需要同時關注三個限制條件：一正；二定；三相等．
1．當a≠0時，(ax－1)(x－1)>0?(x－1)>0.()
2．目標函數(shù)z＝x＋ay，當a<0時，當縱截距取最小值時，z才取最大值．(√)
3．用a2＋b2≥2ab求最值時，不用滿足條件“a>0，b>0”．(√)
類型一 “三個二次”之間的關系
例1 設不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集為M，如果M?[1,4]，求實數(shù)a的取值范圍．
考點 “三個二次”間對應關系的應用
題點 由“三個二次”的對應關系求參數(shù)值
解 M?[1,4]有兩種情況：
其一是M＝?，此時Δ<0；其二是M≠?，此時Δ＝0或Δ>0，下面分三種情況計算a的取值范圍．
設f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
對方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①當Δ<0時，－1
0時，a<－1或a>2.
設方程f(x)＝0的兩根為x1，x2，且x11，
由可得
類型二 規(guī)劃問題
例2 已知變量x，y滿足約束條件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
考點 線性目標最優(yōu)解
題點 求線性目標函數(shù)的最值
解 如圖，陰影部分(含邊界)為不等式組所表示的可行域．
設l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，則z的幾何意義是直線y＝－2x＋z在y軸上的截距，顯然，直線越往上移動，對應在y軸上的截距越大，即z越大；直線越往下移動，對應在y軸上的截距越小，即z越?。?
上下平移直線l0，可得當l0過點A(5,2)時，zmax＝25＋2＝12；當l0過點B(1,1)時，zmin＝21＋1＝3.
反思與感悟 (1)因為最優(yōu)解與可行域的邊界斜率有關，所以畫可行域要盡可能精確．
(2)線性目標函數(shù)的最值與縱截距不一定是增函數(shù)關系，所以要關注縱截距越大，z越大還是越小．
跟蹤訓練2 某人承攬一項業(yè)務，需做文字標牌4個，繪畫標牌5個．現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3 m2，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個；乙種規(guī)格每張2 m2，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張才能使得總用料面積最?。?
考點 實際生活中的線性規(guī)劃問題
題點 線性規(guī)劃在實際問題中的應用
解 設需要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標牌(x＋2y)個，繪畫標牌(2x＋y)個，總用料面積為z m2，
由題意可得
所用原料的總面積為z＝3x＋2y，
作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示．
在一組平行直線3x＋2y＝z中，
經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時，z取得最小值，
直線2x＋y＝5和直線x＋2y＝4的交點為A(2,1)，
即最優(yōu)解為(2,1)．
所以使用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最小．
類型三 利用基本不等式求最值
命題角度1 無附加條件型
例3 設f(x)＝.
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
解 (1)當x＝0時，f(0)＝0，當x>0時，有x＋≥2，
∴f(x)＝＝≤25.
當且僅當x＝，即x＝1時，等號成立，
∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)∵函數(shù)y＝x＋在[2，＋∞)上是增函數(shù)且恒為正數(shù)，∴f(x)＝在[2，＋∞)上是減函數(shù)，
∴當x≥2時，f(x)≤f(2)＝20.
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值為20.
反思與感悟 利用基本不等式求最值要滿足“一正、二定、三相等”，缺一不可．可以通過拼湊、換元等手段進行變形以求構(gòu)造定值．如“相等”的條件不具備，可以考慮用函數(shù)的單調(diào)性求解．
跟蹤訓練3 求函數(shù)y＝＋x(x＞3)的最小值．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
解 ∵y＝＋x＝＋x－3＋3，x＞3，
∴x－3＞0，＞0，
∴y≥2＋3＝5.
當且僅當＝x－3，
即x＝4時，y有最小值5.
命題角度2 有附加條件的最值問題
例4 函數(shù)y＝a1－x(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，則＋的最小值為________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A(1,1)，
∵點A在直線mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
方法一?。剑健荩?，
當且僅當m＝n＝時，取等號．
方法二 ＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，
當且僅當即m＝n＝時，取等號．
∴min＝4.
反思與感悟 當所給附加條件是一個等式時，常見的用法有兩個：一個是用這個等式消元，化為命題角度1的類型；一個是直接利用該等式代入，或構(gòu)造定值．
跟蹤訓練4 設x，y都是正數(shù)，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
解 ∵＋＝3，
∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)1＝(2x＋y)
＝≥＝＋＝.
當且僅當＝，即y＝2x時，取等號．
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值為.
1．已知實數(shù)x，y滿足條件若目標函數(shù)z＝mx－y(m≠0)取得最大值時的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)m的值為________．
考點 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題
題點 無數(shù)個最優(yōu)解問題
答案 1
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(包含邊界)所示，
由圖可知當直線y＝mx－z(m≠0)與直線2x－2y＋1＝0重合，即m＝1時，目標函數(shù)z＝mx－y取最大值的最優(yōu)解有無窮多個．
2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集為，則a＋b＝________.
考點 一元二次不等式的應用
題點 已知解集求參數(shù)的值
答案?。?3
解析 ∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的兩根．
∴∴∴a＋b＝－13.
3．設a>b>0，則a2＋＋的最小值是________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
當且僅當a(a－b)＝1且ab＝1，
即a＝，b＝時，取等號．
1．不等式的基本性質(zhì)
不等式的性質(zhì)是不等式這一章內(nèi)容的理論基礎，是不等式的證明和解不等式的主要依據(jù)．因此，要熟練掌握和運用不等式的性質(zhì)．
2．一元二次不等式的求解方法
對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要聯(lián)想兩個方面的問題：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三種情況討論對應的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．
3．二元一次不等式表示的平面區(qū)域的判定
對于在直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，實數(shù)Ax＋By＋C的符號相同，取一個特殊點(x0，y0)，根據(jù)實數(shù)Ax0＋By0＋C的正負即可判斷不等式表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，可簡記為“直線定界，特殊點定域”．特別地，當C≠0時，常取原點作為特殊點．
4．求目標函數(shù)最優(yōu)解的方法
通過平移目標函數(shù)所對應的直線，可以發(fā)現(xiàn)取得最優(yōu)解對應的點往往是可行域的頂點，于是在填空題中關于線性規(guī)劃的最值問題，可采用求解方程組代入檢驗的方法求解．
5．運用基本不等式求最值時把握三個條件：①“一正”——各項為正數(shù)；②“二定”——“和”或“積”為定值；③“三相等”——等號一定能取到．這三個條件缺一不可．
一、填空題
1．若a<0，－10，ab2<0，
∴ab>a，ab>ab2.
∵0<1＋b<1,1－b>1>0，
∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a－3}
解析 原不等式可化為－2≤0，即≤0，
即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－8或x>－3.
4．若實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是____________．
考點 非線性目標函數(shù)的最值問題
題點 求斜率型目標函數(shù)的最值
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 可行域如圖陰影部分，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點與點(1,0)連線的斜率，易求得>1或<－1.
5．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小關系由小到大依次為____________．
考點 實數(shù)大小的比較
題點 利用不等式的性質(zhì)比較大小
答案 a<－a2a2>－a2>a.
6．設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為4，則ab的取值范圍是________．
考點 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題
題點 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題
答案 (0,4]
解析 作出不等式組表示的區(qū)域(如圖中陰影部分所示)，
由圖可知，當目標函數(shù)的圖象z＝ax＋by(a>0，b>0)過點A(1,1)時，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤2＝4(當且僅當a＝b＝2時取等號)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]．
7．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為________．
考點 非線性目標函數(shù)的最值問題
題點 求非線性目標函數(shù)最值問題綜合
答案 37
解析 由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內(nèi)部及邊界．
∵圓C與x軸相切，∴b＝1.顯然當圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點(6,1)處時，|a|max＝6.
∴a2＋b2的最大值為62＋12＝37.
8．已知x，y∈(0，＋∞)，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 3
解析 因為x>0，y>0，＋＝1，
所以＋≥2 ＝(當且僅當＝＝，即x＝，y＝2時取等號)，即≤1，解得xy≤3，
所以xy的最大值為3.
9．若關于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的兩根均大于1，則m的取值范圍是________．
考點 “三個二次”間對應關系的應用
題點 由“三個二次”的對應關系求參數(shù)范圍
答案 [25，＋∞)
解析 令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的兩根均大于1，
∴由二次函數(shù)圖象得
解得
∴m的取值范圍是[25，＋∞)．
10．函數(shù)y＝的最大值是________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案
解析 設t＝，從而x＝t2－2(t≥0)，則y＝.
當t＝0時，y＝0；
當t>0時，y＝≤＝，
當且僅當2t＝，即t＝時，等號成立，
即當x＝－時，ymax＝.
11．已知a>0，b>0且a≠b，則＋與a＋b的大小關系是________________．
考點 實數(shù)大小的比較
題點 作差法比較大小
答案?。?a＋b
解析 ∵－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)
＝(a2－b2)＝，
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.
12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，則xy的最小值為________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 64
解析 xy＝2x＋8y≥2，
所以≥8，
所以xy≥64，
當且僅當2x＝8y且2x＋8y－xy＝0，
即x＝16，y＝4時，等號成立．
故xy的最小值為64.
二、解答題
13．已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若當x∈R時不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若x∈[1,3]時不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
考點 一元二次不等式恒成立問題
題點 一元二次不等式在區(qū)間上恒成立
解 (1)①若m＝0，原不等式可化為－1<0，顯然恒成立；
②若m≠0，則不等式mx2－mx－1<0恒成立等價于解得－40時，若對于x∈[1,3]不等式恒成立，
只需即可，由
解得m<，所以0
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