江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 考前回扣6 解析幾何學案.doc

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6.解析幾何 1．直線的傾斜角與斜率 (1)傾斜角的范圍為[0，π)． (2)直線的斜率 ①定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k＝tan α(α≠90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；②斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率為k＝(x1≠x2)；③直線的方向向量a＝(1，k)；④應用：證明三點共線：kAB＝kBC. [問題1]　(1)直線的傾斜角θ越大，斜率k就越大，這種說法是________的．(填正確或錯誤) (2)直線xcos θ＋y－2＝0的傾斜角的范圍是____________________． 答案　(1)錯誤　(2)∪ 2．直線方程的五種形式 (1)點斜式：已知直線過點(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x軸的直線． (2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為y＝kx＋b，它不包括垂直于x軸的直線． (3)兩點式：已知直線經(jīng)過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，則直線方程為＝，它不包括垂直于坐標軸的直線． (4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a，b，則直線方程為＋＝1，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線． (5)一般式：任何直線均可寫成Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的形式． [問題2]　已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為________． 答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0 3．兩條直線的位置關(guān)系 (1)若已知直線的斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則 ①l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；②l1⊥l2?k1k2＝－1；③l1與l2相交?k1≠k2. (2)若已知直線的一般方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則 ①l1∥l2平行?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0； ②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0； ③l1與l2相交?A1B2－A2B1≠0； ④l1與l2重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0且A1C2－A2C1＝0. [問題3]　設直線l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當m＝_____時，l1∥l2；當m＝______時，l1⊥l2；當_____時，l1與l2相交；當m＝_______時，l1與l2重合． 答案　－1　　m≠3且m≠－1　3 4．點到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝. (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. [問題4]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________． 答案　 5．圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圓心為，半徑為的圓． [問題5]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________. 答案　－1 6．直線與圓的位置關(guān)系的判斷 (1)幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來判定． (2)代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)Δ的符號來判斷． [問題6]　已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圓心為拋物線y2＝4x的焦點，直線3x＋4y＋2＝0與圓C相切，則該圓的方程為_______． 答案　(x－1)2＋y2＝1 解析　因為拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)， 所以a＝1，b＝0， 又由直線3x＋4y＋2＝0與圓C相切，得r＝＝1， 所以該圓的方程為(x－1)2＋y2＝1. 7．圓錐曲線的定義和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2) |PF1－PF2|＝2a(2ab>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 圖形 范圍 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 頂點 (a,0)，(0，b) (a,0) (0,0) 對稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點對稱 關(guān)于x軸對稱 焦點 (c,0) 軸 長軸長2a，短軸長2b 實軸長2a，虛軸長2b 離心率 e＝＝(01) e＝1 準線 x＝ x＝ x＝－ 通徑 AB＝ AB＝2p 漸近線 y＝x [問題7]　在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________． 答案　2 解析　∵c2＝m＋m2＋4， ∴e2＝＝＝5， ∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2. 8．(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時相交；無解時相離；有惟一解時，在橢圓中相切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切． (2)直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長 P1P2＝ ＝或 P1P2＝ . (3)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于C(x1，y1)，D(x2，y2)，則①焦半徑CF＝x1＋； ②弦長CD＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2. [問題8]　如圖，斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為________． 答案　 解析　設A，B兩點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由橢圓方程知，a2＝4，b2＝1，c2＝3， 所以F(，0)，直線l的方程為y＝x－. 將其代入x2＋4y2＝4， 化簡整理，得5x2－8x＋8＝0， 解得x1＝，x2＝， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以AB＝ ＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 易錯點1　直線的傾斜角和斜率關(guān)系不清 例1　直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是__________． 易錯分析　本題易混淆α和傾斜角的關(guān)系，不能真正理解斜率和傾斜角的實質(zhì)，忽視傾斜角本身的范圍． 解析　設直線的傾斜角為θ， 則有tan θ＝－sin α. 因為sin α∈[－1,1]， 所以－1≤tan θ≤1， 又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π. 答案　∪ 易錯點2　忽視直線的特殊位置 例2　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，求使l1∥l2的a的值． 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a＝0的情況． 解　當直線斜率不存在，即a＝0時， l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當直線斜率存在時， l1∥l2?－＝?a＝－， 經(jīng)檢驗，a＝－符合題意． 故使l1∥l2的a的值為－或0. 易錯點3　焦點位置考慮不全 例3　已知橢圓＋＝1的離心率等于，則m＝______. 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點在x軸上導致漏解．該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒有確定焦點所在坐標軸，所以應該根據(jù)其焦點所在坐標軸進行分類討論． 解析?、佼敊E圓的焦點在x軸上時， 由方程＋＝1，得a2＝4，即a＝2. 又e＝＝，所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1. ②當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 由方程，得b2＝4，即b＝2. 又e＝＝，故＝，解得＝，即a＝2b， 所以a＝4，故m＝a2＝16. 綜上，m＝1或16. 答案　1或16 易錯點4　忽視斜率不存在 例4　如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(2,1)在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)設直線l與圓O：x2＋y2＝2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點． ①若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積； ②求證：OP⊥OQ. 易錯分析　解答本題第(2)②問時需要考慮直線的斜率是否存在，可分兩類情況分別求解． (1)解　由題意，得＝，＋＝1， 解得a2＝6，b2＝3. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)①解　由題意得，直線l的斜率存在，橢圓C的右焦點為F(，0)． 設切線方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0， 所以＝，解得k＝， 所以切線方程為y＝(x－)． 當k＝時，由方程組 解得或 所以點P，Q的坐標分別為，，所以PQ＝. 因為O到直線PQ的距離為， 所以△OPQ的面積為. 根據(jù)橢圓的對稱性，當切線方程為y＝－(x－)時，△OPQ的面積也為. 綜上所述，△OPQ的面積為. ②證明　(ⅰ)若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x＝或x＝－. 當x＝時，P(，)，Q(，－)． 因為＝0，所以OP⊥OQ. 當x＝－時，同理可得OP⊥OQ. (ⅱ)若直線PQ的斜率存在， 設直線PQ的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0. 因為直線與圓相切，所以＝，即m2＝2k2＋2. 將直線PQ的方程代入橢圓方程，得 (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有 x1,2＝ ＝， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 因為＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(1＋k2)＋km＋m2. 將m2＝2k2＋2代入上式可得＝0，所以OP⊥OQ. 綜上所述，OP⊥OQ. 易錯點5　忽視Δ>0 例5　設過點A(0，－2)的動直線l與＋y2＝1相交于P，Q兩點，O為坐標原點．當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程． 易錯分析　本題通過弦長公式、面積公式等工具將△OPQ的面積表示為關(guān)于變量k的函數(shù)解析式f(k)，再求函數(shù)最大值及相應的k值，此時需借助隱含條件直線與橢圓相交得到Δ>0進行驗證． 解　當l⊥x軸時不合題意，故設直線l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx－2代入＋y2＝1得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 當Δ＝16(4k2－3)>0， 即k2>時，x1,2＝. 從而PQ＝ ＝|x1－x2|＝. 又點O到直線PQ的距離d＝， 所以△OPQ的面積S△OPQ＝dPQ＝. 設＝t，則t>0，S△OPQ＝＝. 因為t＋≥4，當且僅當t＝2，k＝時取等號，且滿足Δ>0. 所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為y＝x－2或y＝－x－2. 1．(2018江蘇淮安等四市模擬)在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在點P，且點P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點Q在圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，則r的取值范圍是________． 答案　[－1，＋1] 解析　C2關(guān)于直線x－y＝0的對稱圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝1， 由題意，知圓C與圓C1有交點， 所以r－1≤≤r＋1， 所以r的取值范圍是[－1，＋1]． 2．已知橢圓mx2＋3y2－6m＝0的一個焦點為(0,2)，則m的值是________． 答案　5 解析　方程變形為＋＝1， ∵焦點在y軸上，∴a2＝2m，b2＝6， 又c＝2且a2－b2＝c2， ∴2m－6＝22，∴m＝5. 3．設拋物線y2＝mx的準線與直線x＝1的距離為3，則拋物線的方程為________． 答案　y2＝8x或y2＝－16x 解析　當m>0時，準線方程為x＝－＝－2， ∴m＝8，此時拋物線方程為y2＝8x； 當m<0時，準線方程為x＝－＝4， ∴m＝－16，此時拋物線方程為y2＝－16x. ∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x. 4．已知雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________． 答案　 解析　由題意求出雙曲線中a＝3，b＝4，c＝5， 則雙曲線的漸近線方程為y＝x， 不妨設直線BF的斜率為，可求出直線BF的方程為 4x－3y－20＝0，(*) 將(*)式代入雙曲線方程，解得yB＝－， 則S△AFB＝AF|yB|＝(c－a)＝. 5．過橢圓＋＝1的右焦點F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________． 答案　 解析　橢圓＋＝1的右焦點F(1,0)， 故直線AB的方程為y＝2(x－1)， 由消去y，整理得3x2－5x＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1b>0)的右、下、上頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點．若B2F⊥AB1，則橢圓C的離心率是________． 答案　 解析　F(c,0)，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)， ∴＝(－c，b)，＝(a，b)， ∵B2F⊥AB1，∴＝－ac＋b2＝0， ∴a2－c2－ac＝0， 化為e2＋e－1＝0,0b>0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為1. (1)求橢圓的標準方程； (2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y＝于點Q，求＋的值． 解　(1)由題意得＝，－c＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝，c＝1，b＝1， 所以橢圓的標準方程為＋y2＝1. (2)由題意知，OP的斜率存在， 當OP的斜率為0時，OP＝，OQ＝， 所以＋＝1， 當OP的斜率不為0時，設直線OP的方程為y＝kx， 由得(2k2＋1)x2＝2， 解得x2＝，所以y2＝， 所以OP2＝. 因為OP⊥OQ，所以直線OQ的方程為y＝－x， 由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2， 所以＋＝＋＝1. 綜上可知，＋＝1.