2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、復(fù)數(shù)、算法 第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用檢測 理 新人教A版.doc
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第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練夯基練提能練) A級 基礎(chǔ)夯實練 1.(2018山東濟(jì)南模擬)已知矩形ABCD中,AB=,BC=1,則=( ) A.1 B.-1 C. D.2 解析:選B.設(shè)=a,=b,則ab=0,∵|a|=,|b|=1, ∴=(a+b)(-b)=-ab-b2=-1.故選B. 2.(2018陜西吳起高級中學(xué)質(zhì)檢)已知平面向量a,b的夾角為,且|a|=1,|b|=,則|a-2b|=( ) A. B.1 C.2 D. 解析:選B.∵|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4ab=1+1-1=1,∴|a-2b|=1.故選B. 3.(2018昆明檢測)已知非零向量a,b滿足ab=0,|a|=3,且a與a+b的夾角為,則|b|=( ) A.6 B.3 C.2 D.3 解析:選D.因為a(a+b)=a2+ab=|a||a+b|cos ,所以|a+b|=3,將|a+b|=3兩邊平方可得,a2+2ab+b2=18,解得|b|=3,故選D. 4.(2018成都檢測)已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b與b垂直,則實數(shù)λ的值為( ) A. B.- C. D.- 解析:選D.因為a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b與b垂直, 所以(-2λ+1,3λ+2)(1,2)=-2λ+1+2(3λ+2)=4λ+5=0,解得λ=-.故選D. 5.(2018江西三校聯(lián)考)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)⊥a,則a與b的夾角為( ) A. B. C. D.- 解析:選A.∵(a+b)⊥a,∴(a+b)a=a2+ab=0, ∴ab=-4,cos〈a,b〉===-,∴〈a,b〉=,故選A. 6.△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是( ) A.|b|=1 B.a(chǎn)⊥b C.a(chǎn)b=1 D.(4a+b)⊥ 解析:選D.因為=-=(2a+b)-2a=b, 所以|b|=2,故A錯誤; 由于=2a(2a+b)=4|a|2+2ab=4+212=2, 所以2ab=2-4|a|2=-2, 所以ab=-1,故B,C錯誤; 又因為(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0, 所以(4a+b)⊥. 7.(2018永州模擬)在△ABC中,若A=120,=-1,則||的最小值是( ) A. B.2 C. D.6 解析:選C.∵=-1, ∴||||cos 120=-1, 即||||=2, ∴||2=|-|2=2-2+2≥2||||-2=6, ∴||min=. 8.(2018豫南九校聯(lián)考)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,則的值為________. 解析:∵a⊥b,∴2m-2=0,∴m=1,則2a-b=(0,5),a+b=(3,1),∴a(a+b)=13+21=5, |2a-b|=5,∴==1. 9.(2018江蘇揚州質(zhì)檢)已知點E是正方形ABCD的邊CD的中點,若=-2,則=________. 解析:如圖,以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AD所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長為2a(a>0),則A(0,0),E(a,2a),B(2a,0),D(0,2a),可得=(a,2a),=(2a,-2a),若=-2,則2a2-4a2=-2,解得a=1,所以=(-1,2),=(1,2),所以=3. 答案:3 10.在△ABC中,⊥,M是BC的中點. (1)若||=||,求向量+2與向量2+的夾角的余弦值; (2)若O是線段AM上任意一點,且||=||=,求+的最小值. 解:(1)設(shè)向量+2與向量2+的夾角為θ, 則cos θ=, 令||=||=a,則cos θ==. (2)∵||=||=,∴||=1,設(shè)||=x(0≤x≤1),則||=1-x.而+=2, 所以+=(+)=2=2||||cos π=2x2-2x=22-, 當(dāng)且僅當(dāng)x=時,+取得最小值,最小值為-. B級 能力提升練 11.(2018佛山調(diào)研)已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)(b-c)=0,則|c|的最大值是( ) A.1 B.2 C. D. 解析:選C.設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則 (a-c)(b-c)=0,即(1-x,-y)(-x,1-y)=0, 整理得2+2=,這是一個圓心坐標(biāo)為,半徑為的圓,所求的值等價于這個圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離.根據(jù)圖形可知,這個最大距離是,即所求的最大值為. 12.(2017浙江卷)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O,記I1=,I2=,I3=,則( ) A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3 解析:選C.在△ACD中,由余弦定理得 cos∠CAD==<, 得cos∠CAD<cos∠CAB,即∠CAD>∠CAB. 在等腰△ABD中,易得OD>OB,∠AOB>. 同理在等腰△ABC中, ∵∠ABD<,∴CO>OA. 又I1=||||cos∠AOB, I3=||||cos∠COD, ∴I3<I1<0,∴I2>0>I1>I3,故選C. 13.(2018南京模擬)在矩形ABCD中,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點,且滿足=,則的取值范圍是________. 解析:由題意設(shè)BM=k,CN=2k(0≤k≤1),由=+,=+知,=(+)(+)=+++=+=4-3k,又0≤k≤1,所以1≤4-3k≤4,故的取值范圍是[1,4]. 答案:[1,4] 14.已知A,B,C分別為△ABC的三邊a,b,c所對的角,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),且mn=sin 2C. (1)求角C的大小; (2)若sin A,sin C,sin B成等差數(shù)列,且(-)=18,求邊c的長. 解:(1)由已知得mn=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B), 因為A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以mn=sin C. 又mn=sin 2C, 所以sin 2C=sin C,所以cos C=. 又0<C<π,所以C=. (2)由已知得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得 2c=a+b. 因為(-)==18, 所以abcos C=18,所以ab=36. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab 所以c2=4c2-336, 所以c2=36,所以c=6. 15.(2018衡陽模擬)已知m=(2,1),n=cos2,sin(B+C),其中A,B,C是△ABC的內(nèi)角. (1)當(dāng)A=時,求|n|的值; (2)若BC=1,||=,當(dāng)mn取最大值時,求A的大小及AC邊的長. 解:(1)∵當(dāng)A=時, n==, ∴|n|= =. (2)∵mn=2cos2+sin(B+C) =(1+cos A)+sin A =2sin+. ∵0<A<π,∴<A+<. ∴當(dāng)A+=,即A=時, sin=1,此時mn取得最大值2+. 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A, 即12=()2+AC2-2AC,化簡得AC2-3AC+2=0,解得AC=1或2. C級 素養(yǎng)加強(qiáng)練 16.(2018武漢市模擬)如圖在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120,E,F(xiàn)分別是邊AB,AC上的點,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1.若線段EF,BC的中點分別為M,N,則||的最小值為________. 解析:連接AM,AN,由=||||cos =-,=(+)=(λ+μ), =(+),=-=(1-λ)+(1-μ), ||2=[(1-λ)2-(1-λ)(1-μ)+(1-μ)2]=(1-λ)2-(1-λ)(1-μ)+(1-μ)2,由λ+4μ=1?1-λ=4μ,可得||2=μ2-μ+,∵λ,μ∈(0,1),∴當(dāng)μ=時,||2取最小值,||的最小值為,∴||的最小值為. 答案:- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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