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專題05 不等式
1．不等關系
(1)用數(shù)學符號“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，叫做不等式．
(2)不等式的性質
①實數(shù)的大小順序與運算性質的關系
a>b?；
；
a
b，b>c?；(單向性)
可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)
a>b，c>d?；(單向性)
可乘性：；(單向性)
a>b，c<0?acb>0，c>d>0?；(單向性)
乘方法則：；(單向性)
開方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)
注意：（1）應用傳遞性時，若兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，則等號無法傳遞.
（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號.
2．一元二次不等式及其解法
(1)我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有三種形式：
一般式：；
頂點式：；
兩根式：.
(2)三個“二次”之間的關系
判別式
的圖象
一元二次方程的根
有兩相異實根
有兩相等實根
沒有實數(shù)根
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集
(3)一元二次不等式的解法：
一化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式．
二判：計算對應方程的判別式．
三求：求出對應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．
四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．
(4) 一元二次不等式恒成立問題
①恒成立的充要條件是：且．
②恒成立的充要條件是：且．
③恒成立的充要條件是：且．
④恒成立的充要條件是：且．
⑤恒成立的充要條件是：且或且．
⑥恒成立的充要條件是：且或且．
3．二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題
(1)一般地，在平面直角坐標系中，二元一次不等式表示直線某一側所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線．能夠通過取特殊點，由不等式的符號來確定不等式表示的平面區(qū)域.通常情況下取，若不等式相應的直線過，則可在坐標軸上取或.
(2)簡單的線性規(guī)劃
①解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的一般步驟：根據(jù)給定的約束條件畫出相應的可行域，考察目標函數(shù)的特征，并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時的點的坐標，代入目標函數(shù)求最值.
通常情況下，給定的約束條件多為二元一次不等式組，常見的目標函數(shù)有：型的線性目標函數(shù)；型的斜率型目標函數(shù)；型的兩點間距離型目標函數(shù)等.
②使目標函數(shù)取得最值的點一般是可行域邊界的交點，求出交點坐標，并代入目標函數(shù)，可以快捷、準確地計算最值，但要注意可行域的邊界是否是實線.
③解含參數(shù)的線性規(guī)劃問題通常有以下兩種類型：
i)條件不等式組中含有參數(shù)，此時不能明確可行域的形狀，因此增加階梯式畫圖分析的難度.求解這類問題時，要有全局觀，要能夠結合目標函數(shù)取得最值的情況進行逆向分析，利用目標函數(shù)取得最值時所得的直線與約束條件所對應的直線形成交點，求解參數(shù).
ii)目標函數(shù)中設置參數(shù)，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性.要能夠從目標函數(shù)的結論入手，多圖形的動態(tài)分析，對變化過程中的相關數(shù)據(jù)準確定位，以此解決問題.
4．利用基本不等式求最值問題
(1)基本不等式：，
成立的條件：
①.
②當且僅當時取等號．
(2)利用基本不等式求最值問題
①如果積xy是定值P，那么當且僅當時，x＋y有最小值是.(簡記：積定和最小)
②如果和x＋y是定值P，那么當且僅當時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
(3)常用的不等式模型：
①基本不等式鏈：若，則，當且僅當時等號成立.
②若，則，當且僅當時等號成立.
一、不等式的性質與一元二次不等式
【例1】設，若1≤≤2,2≤≤4，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】設=m＋n (m、n為待定系數(shù))，
則4a?2b=m(a?b)＋n(a＋b)，即4a?2b=(m＋n)a＋(n?m)b，
于是得，解得.
∴=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，
即5≤≤10.
【名師點睛】（1）此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關系，最后通過“一次性”使用不等式的運算求得整體范圍；（2）求范圍問題如果多次利用不等式的性質有可能擴大變量取值范圍．
【例2】已知全集=，集合，則
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，，∴=，
∴，故選D．
【名師點睛】一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間．簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間．求解時注意對二次項系數(shù)進行討論.
【例3】不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式移項得：，即，
可化為：或，解得，
則原不等式的解集為.故選B.
【名師點睛】對于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.
二、線性規(guī)劃
【例4】已知點x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，
作直線并平移知，當直線經過點A時,z取得最大值；當直線經過點B時,z取得最小值.
由,得,即A(2,3),故zmax=9.
由,得,即B(0,2),故zmin=2,
故z的最大值與最小值之差為7,選C.
【名師點睛】求解時需要注意以下幾點：
（1）在可行解中，只有一組(x,y)使目標函數(shù)取得最值時，最優(yōu)解只有1個.如邊界為實線的可行域，當目標函數(shù)對應的直線不與邊界平行時，會在某個頂點處取得最值.
（2）同時有多個可行解取得一樣的最值時，最優(yōu)解有多個.如邊界為實線的可行域，目標函數(shù)對應的直線與某一邊界線平行時，會有多個最優(yōu)解.
（3）可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導致目標函數(shù)找不到相應的最值，此時也就不存在最優(yōu)解.
（4）形如z=Ax＋By(B≠0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時取到最值，還要看B的符號．
【例5】已知不等式組表示的平面區(qū)域為,若直線：與區(qū)域D有公共點，則實數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
因為，所以直線過定點（1，），且斜率為，
如圖所示，當直線過點時，取得最小值；
當直線過點時，取得最大值，
所以的取值范圍是，故選A.
【名師點睛】求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種：
一是把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；
二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).
【例6】已知實數(shù)滿足約束條件則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】依題意，.
作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示（含邊界）.
表示平面區(qū)域內的點與定點連線的斜率，
觀察可知，，則，所以，所以，
故的取值范圍為.
【名師點睛】斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題，其本質仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結常見模型或其變形形式.
三、基本不等式
【例7】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_______________．
【答案】
【解析】因為x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，當且僅當，即，即時取等號．
故的最小值為．
【名師點睛】利用基本不等式求最值的注意點：
（1）要能夠通過恒等變形及配湊，使其“和”或“積”為定值；
（2）要注意在正數(shù)范圍內應用基本不等式，同時等號成立的條件要驗證.
【例8】若實數(shù)，且，則的最小值為
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式得
，
當且僅當時，等號成立，故選擇D．
【名師點睛】基本不等式的常用變形
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)，當且僅當a＝b時，等號成立．
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時，等號成立．
(3)＋≥2(a，b同號且均不為零)，當且僅當a＝b時，等號成立．
(4)a＋≥2(a>0)，當且僅當a＝1時，等號成立；a＋≤－2(a<0)，當且僅當a＝－1時，等號成立．
1．若a>b>0，cbc B．ac>bd
C．adb>0，所以ad
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