2019高考數(shù)學一本策略復習 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 文.docx

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第一講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 三角函數(shù)的周期、最值問題T8 高考對此部分內(nèi)容主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現(xiàn)在6～12題或第14～15題位置上，命題的熱點主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題. Ⅱ卷 三角函數(shù)的單調(diào)性應用T10 Ⅲ卷 三角函數(shù)的周期性T6 2017 Ⅰ卷 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)T8 Ⅱ卷 三角函數(shù)的最值問題T13 Ⅲ卷 三角函數(shù)的最值問題T6 2016 Ⅰ卷 三角函數(shù)的圖象變換與性質(zhì)T6 Ⅱ卷 已知三角函數(shù)圖象求解析式T3 三角函數(shù)的最值問題T11 Ⅲ卷 三角函數(shù)的圖象變換T14 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與變換 授課提示：對應學生用書第20頁 [悟通——方法結(jié)論] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 (1)“五點法”作圖：設z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得． (2)圖象變換： [全練——快速解答] 1．(2017高考全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 解析：易知C1：y＝cos x＝sin，把曲線C1上的各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，即曲線C2，故選D. 答案：D 2．(2018南昌模擬)函數(shù)y＝sin的圖象可以由函數(shù)y＝cos 的圖象(　　) A．向右平移個單位長度得到 B．向右平移個單位長度得到 C．向左平移個單位長度得到 D．向左平移個單位長度得到 解析：由y＝cos ＝sin，y＝sin＝sin，知函數(shù)y＝sin的圖象可以由y＝cos 的圖象向右平移個單位長度得到． 答案：B 3．(2018益陽、湘潭聯(lián)考)若將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向右平移個單位長度，再把所得圖象上的點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸的方程為(　　) A．x＝ B．x＝　　C．x＝　　D．x＝ 解析：將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向右平移個單位長度，得到f＝2sin＝2sin的圖象，再把所得圖象上的點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到函數(shù)g(x)＝2sin的圖象．令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z.當k＝0時，函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸的方程為x＝，故選D. 答案：D 4．(2018唐山模擬)將函數(shù)y＝cos 2x－sin 2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為g(x)，則g(x)＝(　　) A．2sin 2x B．－2sin 2x C．2cos D．2sin 解析：因為y＝cos 2x－sin 2x＝2cos， 將其圖象向右平移個單位長度得到 g(x)＝2cos＝2cos＝2sin 2x的圖象． 答案：A 【類題通法】 在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． 由圖象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 授課提示：對應學生用書第21頁 [悟通——方法結(jié)論] 　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定 利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點確定φ. [全練——快速解答] 1．(2018鄭州模擬)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝sin(x∈R) B．f(x)＝sin(x∈R) C．f(x)＝sin(x∈R) D．f(x)＝sin(x∈R) 解析：依題意，設g(x)＝sin(ωx＋θ)，其中ω>0，|θ|<，則有T＝＝4＝π，ω＝2，g＝sin＝1，則θ＝，因此g(x)＝sin，f(x)＝g＝sin＝sin，故選A. 答案：A 2．(2018貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其導數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f的值為(　　) A．2 B． C．－ D．－ 解析：依題意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，結(jié)合函數(shù)y＝f′(x)的圖象可知，T＝＝4＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因為0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－＝－，故選D. 答案：D 3．(2018山西八校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分圖象如圖所示，則φ＝________. 解析：由函數(shù)圖象得A＝2，所以y＝2sin(ωx＋φ)，因為圖象過點(0，－1)，所以sin φ＝－，因為x＝0位于圖象的單調(diào)遞減區(qū)間，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－. 答案：－ 【類題通法】 用五點法求φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個點為突破口．“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)時ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)時ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)時ωx＋φ＝；“第五點”時ωx＋φ＝2π. 三角函數(shù)的性質(zhì) 授課提示：對應學生用書第21頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 2．三角函數(shù)奇偶性判斷 y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)． 3．三角函數(shù)周期性的求法 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.應特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期為T＝. 4．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin xcos x)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． [全練——快速解答] 1．(2018高考全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A．　　 B． C． D．π 解析：∵?(x)＝cos x－sin x＝－sin， ∴當x－∈，即x∈時， sin單調(diào)遞增，－sin單調(diào)遞減， ∴是?(x)在原點附近的單調(diào)減區(qū)間， 結(jié)合條件得[0，a]?， ∴a≤，即amax＝. 故選C. 答案：C 2．(2017高考全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A． B．1 C． D． 解析：因為cos＝cos＝sin，所以f(x)＝sin，于是f(x)的最大值為. 答案：A 3．(2016高考全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 解析：由題意得 則ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－. 又函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)，所以≤，即ω≤12. 若ω＝11，則φ＝－，此時f(x)＝sin， f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足f(x)在區(qū)間上單調(diào)； 若ω＝9，則φ＝，此時f(x)＝sin，滿足f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選B. 答案：B 【類題通法】 1．三角函數(shù)單調(diào)性的求法： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ為常數(shù)，A≠0，ω>0)的單調(diào)性的一般思路是令ωx＋φ＝z，則y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由復合函數(shù)的單調(diào)性求解． 2．三角函數(shù)的最值問題注意判斷類型，尤其是可化為Asin(ωx＋φ)型的值求解時注意x的范圍對ωx＋φ范圍的影響. [練通——即學即用] 1．(2017高考全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調(diào)遞減 解析：根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，所以函數(shù)的一個周期為－2π，A正確； 當x＝時，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正確； f(x＋π)＝cos＝cos，當x＝時，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正確； 函數(shù)f(x)＝cos在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確． 答案：D 2．(2018太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)在(0，π)上有且只有兩個零點，則實數(shù)ω的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：易得f(x)＝2sin，設t＝ωx－，因為00，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值為，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值為，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝， 所以f(x)＝sin＋， 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故選B. 答案：B 4．(2018鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分圖象如圖所示，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則(＋)(－)的值為(　　) A．－1 B．－ C． D．2 解析：(＋)(－)＝(＋)＝2＝2||2，顯然||的長度為半個周期，周期T＝＝2，∴||＝1，所求值為2. 答案：D 5．(2018成都模擬)設函數(shù)f(x)＝sin，若x1x2<0，且f(x1)＋f(x2)＝0，則|x2－x1|的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：f(x1)＋f(x2)＝0?f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可視為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)、函數(shù)y＝－f(x)的圖象的交點的橫坐標的距離，作出函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象如圖所示，設A，B分別為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)、函數(shù)y＝－f(x)的圖象的兩個相鄰交點， 因為x1x2<0，且當直線y＝m過y＝f(x)的圖象與y軸的交點時，直線為y＝，|AB|＝，所以當直線y＝m向上移動時，線段AB的長度會增加，當直線y＝m向下移動時，線段AB的長度也會增加，所以|x2－x1|>. 答案：B 6．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2cos(x＋φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，則cos 2φ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：由題意可得f(x)＝sin(x＋φ－γ)，其中sin γ＝，cos γ＝.當x＝π時，由π＋φ－γ＝kπ＋，得2φ＝2kπ－π＋2γ，則cos 2φ＝cos(2kπ－π＋2γ)＝－cos 2γ＝sin2γ－cos2γ＝.故選A. 答案：A 7．(2018廣西三市聯(lián)考)已知x＝是函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)圖象的一條對稱軸，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在上的最小值為(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．－ 解析：∵x＝是f(x)＝2sin圖象的一條對稱軸， ∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 即φ＝＋kπ(k∈Z)． ∵0<φ<π，∴φ＝，則f(x)＝2sin， ∴g(x)＝2sin＝2sin. 又∵－≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－1≤2sin≤2. ∴g(x)在上的最小值為－1. 答案：B 8．(2018肇慶一模)設向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，點P在y＝cos x的圖象上運動，點Q在y＝f(x)的圖象上運動，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標原點)，則y＝f(x)在區(qū)間上的最大值是(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：由題意，設點P的坐標為(x0，cos x0)，點Q的坐標為(x，y)， 則＝m?＋n＝ ?(x0，cos x0)＋?(x，y)＝? 即?y＝4cos， 當x∈時，0≤2x－≤?≤cos≤1?2≤4cos≤4，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上的最大值是4. 答案：D 二、填空題 9．若存在實數(shù)φ，使得圓面x2＋y2≤4恰好覆蓋函數(shù)y＝sin圖象的最高或最低點共三個，則正數(shù)k的取值范圍是________． 解析：函數(shù)y＝sin的圖象的最高點或最低點一定在直線y＝1上，由解得－≤x≤， 由題意可得：T＝＝2k，T≤2＜2T，解得正數(shù)k的取值范圍是. 答案： 10．(2018武漢調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象的對稱軸與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱軸完全相同，則φ＝________. 解析：因為函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象的對稱軸與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱軸完全相同，故它們的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函數(shù)f(x)＝2sin. 令2x＋＝kπ＋，k∈Z， 則x＝＋，k∈Z， 故函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x＝＋，k∈Z. 令2x＋φ＝mπ，m∈Z， 則x＝－，m∈Z， 故函數(shù)g(x)的圖象的對稱軸為x＝－，m∈Z， 故＋－＋＝，n∈Z， 即φ＝(m＋n－k)π－， 又|φ|<，所以φ＝－. 答案：－ 三、解答題 11．(2018汕頭模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2ωxcos φ＋sin ωxcos ωxsin φ－sin(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且x＝是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸． (1)求ω，φ的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)圖象上的各點向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最值及取最值時對應的x的值． 解析：(1)由題意得，f(x)＝cos φ＋sin 2ωxsin φ－cos φ＝cos 2ωxcos φ＋sin 2ωxsin φ＝＝cos(2ωx－φ)． 又函數(shù)f(x)的最小正周期為π，所以＝π ，所以ω＝1， 故f(x)＝cos(2x－φ)，又x＝是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸，故2－φ＝kπ(k∈Z)， 因為0<φ<π，所以φ＝. (2)由(1)知f(x)＝cos，將函數(shù)y＝f(x)圖象上的各點向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象， 故g(x)＝cos. 因為x∈，所以2x－∈，因此當2x－＝0，即x＝時，g(x)max＝；當2x－＝，即x＝時，g(x)min＝－.