《楊輝三角》導學案2

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1、《楊輝三角》導學案 2 【課標要求】 1 . 了解楊輝三角，并能由它解決簡單的二項式系數(shù)問題. 2 . 了解二項式系數(shù)的性質(zhì)并能簡單應用. 3 .掌握“賦值法”并會靈活應用. 【核心掃描】 1 .楊輝三角的特點.(難點) 2 .二項式系數(shù)性質(zhì)的應用.(重點) 3 . “賦值法”的應用.(易錯點) 自學導引 1 .楊輝三角的特點 (1)在同一行中每彳T兩端都是 1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等； (2)在相鄰的兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，— 即以+1=土土G 想一想：二項式系數(shù)表與楊輝三角中對應行的數(shù)值都相同嗎？ 提示 不是.二項式系數(shù)表中第一

2、行是兩個數(shù)， 而楊輝三角的第一行只有一個數(shù). 實際上 項式系數(shù)表中的第 n行與楊輝三角中的第 n+1行對應數(shù)值相等. 2 .二項式系數(shù)的性質(zhì) 對稱性 在(a+b)n展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相 等，即 cm=cn-m__ 增減性與最 大值 n+1 n+1 增減性：當kvn2」時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當 k>n2」時， 二項式系數(shù)是逐漸減小的.最大值：當 n為偶數(shù)時，中間一項的二項 式系數(shù)Cnn最大，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù) Cn2」n,屋尹 n相等，且同時取得最大值 各二項式系 數(shù)的和 ① C0+C1+C2+…+ Cn=2n,

3、 ② C0 + C2 + Cn+i= Cn + C3+C5+…= 2n_1 試一試：令f(k)=d, k€ {0,1,2,…，n},則直線k = n將函數(shù)f(k)的圖象分成對稱的兩 部分，即直線k=n是圖象的對稱軸，由此我們得到結(jié)論：當 k=n時，Ck最大，這個結(jié)論正 確嗎? 提示 不正確.當n是偶數(shù)時，Cn最大；當n是奇數(shù)時，Cn^21n= n最大. 名師點睛 1 .對二項式系數(shù)性質(zhì)的深層理解 （1）對稱性：源于組合數(shù)的性質(zhì)“c m= CTm',基礎是c0=cn=i,然后從左右向中間靠攏, 便有 cn= cn1, c2=cn2,… （2）最大值：①當n是偶數(shù)時，

4、（a+b）n的展開式共n+1項，n+1是奇數(shù)，這時展開式的 形式是 前2項 第,+1項 后萬項 中間一項是第n+1項，它的二項式系數(shù)是 c2n,它是所有二項式系數(shù)中的最大值；②當 n 是奇數(shù)時，（a+b）n的展開式共有n+1項，n+1是偶數(shù)，這時展開式的形式是 »n—1E 生n+1^ ^n+3^ _ n-1 _ 刖一2一項 第一萬一項 第一萬一項 后"2-項 n+1n+3 n — 1 n+1 中間兩項是第一2一，一2一項，它們的二項式系數(shù)是 c-2-n> c-2-n,這兩個系數(shù)相等，并 且是所有二項式系數(shù)中的最大值. （3）各二項式系數(shù)和

5、：c0 + cn+cn+---+ 4=2“源于（2+3n=6^+6^-% + -一+ cnbn中令 a =1, b=1,即得到 G0+Gn+c2+---+ cn=2n. 2 .賦值法的應用 求二項展開式系數(shù)和或部分系數(shù)和時， 通常利用賦值法，如：求（a+ x） n= a0+ a[x+ a2X2 +…+ anXn展開式中各項系數(shù)和， 可令x= 1,即得各項系數(shù)和 a0+a1+a2+…+ an.若要求奇 數(shù)項的系數(shù)之和或偶數(shù)項的系數(shù)之和，可分別令 x=- 1, x=1,兩等式相加減即可求出結(jié) 果. 題型一 與楊輝三角有關的問題 【例1】 1 2^-4 1 V3/ I A I

6、 中。/IO 5 L 如圖在“楊輝三角”中，斜線 AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列： 1.5.5.5.5.5.5.5, …，記其前n項和為S,求§9的值. ［思路探索］本題關鍵是觀察數(shù)列的特征，數(shù)列的每一項在楊輝三角中的位置，把各項還 原為二項展開式的二項式系數(shù)，再利用組合數(shù)求解. 解 由圖知，數(shù)列中的首項是 d,第2項是C2,第3項是C2,第4項是C3,…，第17項 是C10,第18項是C10,第19項是C11. S(9= (C2 + c2) + (C3 + c3) + (C 4 + c4) +…+ (C10+ C10) + C11 = (C2 + G

7、+ C4 +…+ C10)+ (C2 + ， -2+10 X9 3 p C3+…+ 01) = 2 +02= 274. ［規(guī)律方法］解決與楊輝三角有關的問題的一般思路是： 通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相 互聯(lián)系以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系. 然后將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學式子表達出來， 使問 題得解.注意觀察方向：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察. 【變式1】 如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第 行中從左到右第14 與第15個數(shù)的比為2 : 3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1 第 5行 1 5

8、10 10 5 1 解析 設第n行從左至右第14與第15個數(shù)之比為2 ： 3,則Cn3 ： C 丁= 2 ： 3. 3c13— 2c14 即 iL^ 2-^J 一3?！?°，即 13! | n- [3 ! —14! | n-14 - 得: 3 2 n-13-14 n = 34. 答案 34 題型二二項展開式的系數(shù)和問題 【例2】 已知(1—2X)7=20+2*+22*2+~+27*7,求下列各式的值. (1) a[+ a2+ …+ a?; (2) a1+ 23+ 25+ a?; (3) a0+ a2+ a4+ a6； (4)| ao| + |

9、ai| + | a2| +…+ | a?|- ［思路探索］本題主要考查二項式系數(shù)與各項系數(shù)的區(qū)別，賦值法在求二項式系數(shù)中的應 用以及分析問題、解決問題的能力.可用賦值法解決各項系數(shù)和或部分項系數(shù)和，一般令 x =0或x= ± 1解決問題. 解 令 x = 1,則 a0+ a〔 + a2 + a3+ …+ a7= ~ 1.① 令 x= - 1,則 a0 — a[ + a2—…一ay= 3二② (1)令x=0,得a0= 1,代入①中得： a1 + a2+a3+…+ a7= - 2. (2)由①一②得 2a〔 + 2a3 + 2a5+ 2a7 = — 1 — 3 , -1

10、-37 ? ? a1 + a3 + a5 + a7 = 2 = - 1 094. (3)由①+②得 2a0 + 2a2 + 2a4+ 2%= - 1 + 3 , —1 + 3 a0+ a2+ %+ %= 2 = 1 093. (4)法一■ :( 1 — 2x)的展開式中，a0, a2, %, a6大于零，而 a1，a3, a5, a7小于零， I a°| + | a〔| + | 陵| +…十 | a7| =(a0+ a2+ a4+ a6)—(a1 + a3 + a5 + a7) =1 093- (-1 094) = 2 187. 法二 |a°| +|a〔|

11、 + |a2|+…+ | a7|是(1 + 2x)7展開式中各項的系數(shù)和， 令 x= 1, I a0| + | a[| +…+ | a7| = 37= 2 187. [規(guī)律方法]賦值法是求二項展開式系數(shù)及有關問題的常用方法， 注意取值要有利于問題 的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項.一般地，對于 多項式f (x) = a0+a[x+a2x2+…+ anxn,各項系數(shù)和為f(1),奇次項系數(shù)和為2[f (1)-f (- 1 1)],偶次項系數(shù)和為][f(1) + f( — 1)] , a0=f(0). 【變式2】 設(2 —，3x) 100= a0+a

12、1x+a2x2+…+ a100x100,求下列各式的值： (1) a0； (2) a1+ a2+ …+ a100； (3) a1 + 23+a5+…+ 299 ； (4)( a0+a2+ …+ a[00)2一( a[ + 氏+ …+ agg)2. 解(1)由(2 —#x)100展開式中的常數(shù)項為C000 - 2100,即a0=2100. 或令x=0,則展開式可化為 a0 = 2100. (2)令 x= 1,可得 a0 + a〔+a2+ …+ a[00= (2-^3)100,① ，a1+a2+…+ a100=(2-^3)100-2100 (3)令 x=-1, 可得 a0—a

13、1+a2—a3+…+ a100= (2+g3)100,② 與①聯(lián)立相減可得 a1 + a3+...+ a99=JLJl 100 — 2+/ 100 (4)原式=[(a0 + a2+ …+ aioo) + (ai + a3+…+ a99)] , [( ao + a2+ …+ aioo) — (ai + a3+… + a99H =(a0+ a〔+ a2+…+ a100)( ao—ai + a2 - a3+…+ a98—a99+a100) =(2—也)100X(2+ 班)100= 1. 題型三 求二項展開式中的最大項問題 【例3】 已知f(x) = ( 3/f+3x

14、2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大 992. (1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項； (2)求展開式中系數(shù)最大的項. 審題指導 (1) 令mi二項式各項 一系數(shù)的和 一 4口一加=際—) 中間兩步一 fi-5 (2)由 通項公式 Tr+1>Tr Tr+1>1 + 2 最大項 ［規(guī)范解答］(1)令x= 1,則二項式各項系數(shù)的和為 f (1) =(1 + 3)n=4n,又展開式中各項 的二項式系數(shù)之和為 2n.由題意知，4n—2n=992. ??.(2n)2—2n—992=0, (2 分) . .(2n+31)( 2n— 32)=

15、0, 2n=- 31(舍)，或 2n = 32, n= 5.( 4 分) 由于n=5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是 T3=C2(x|) 3(3x2)2=90x6, T4=C5( x2) 2( 3x2) 3= 270x22.( 6 分) 3 3 一 .，—一，， r r 2 (2)展開式的通項公式為 Tr+1 = C53 - x-(5+2r). 3 假設Tr + 1項系數(shù)最大，則有 d30c5一 ? 3rT, ：lC53r>c5+1-3r + 1, (8^ r 5! 5! 5-r !r!*i 6一「i 1一 ] i J ，

16、" 5! 5! ―f >—; ; X I 5- r !r! 4 — r ! r + ] ! 3>6^7> ???{ 1 3 (10 分) .5— r r +1. 7 9 2< r<2，-re N, r = 4. ???展開式中系數(shù)最大的項為 T5=C4 - 34x26= 405x26.（ 12分） 3 3 【題后反思】（1）求二項式系數(shù)最大的項，要依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對 （a+b）n中的n進 行討論，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大； n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大. （2）求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同

17、的.求展開式系數(shù)最大的項，如 求（a+bx）n（a、bCR）展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法.設展開式各項系數(shù) A>a - 分別為A, A2,  An+1,且第r + 1項系數(shù)最大，應用， 解出r來，即得系數(shù)最大 A>A+1 的項. 【變式3】 在（3x—2y）20的展開式中，求 （1）二項式系數(shù)最大的項； （2）系數(shù)絕對值最大的項; （3）系數(shù)最大的項. 解(1)二項式系數(shù)最大的項是第 11項， T11=c20310(-2) 10x10y10 =C20610x10y10. (2)設系數(shù)絕對值最大的項是 r + 1項，于是 C2c-3 20^

18、- r-2r>c201-319-r-2r + 1, C -r c 20- r 八「、-「—1 c21 — r 八r—1 3 化簡得口 IC20 ? 3 - 2 >C20 -3 ? 2 , r + l >2 2()-r 21- r 23r, -2 2 解得 75<r<85(r€N), 所以r = 8, 2r — 1項系數(shù)最大，于是 即T9=C80312- 28 ? x12y8是系數(shù)絕對值最大的項. (3)由于系數(shù)為正的項為 y的偶次方項，故可設第 { >2r- 2 c 22—2r 八 2r—2、八 2r — 4 , 24- 2r 八

19、 2r— 4 c2o - 3 ? 2 >C20 -3 ? 2 , x^r-2 )22— 2r 勺 2r—2、02r . 20- 2r 勺 2r |C2o — , 2 20 .3 ?2) 化簡得 l0r2+ 143r -1 077 <0, 10r2+ 163r -924>0. 解之得r=5,即2X5—1 = 9項系數(shù)最大. T9=C20 ? 312 - 28 - x12y8. 誤區(qū)警示 混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”錯用二項式系數(shù)性質(zhì)致錯 【示例】 求（1+ 2x）2°的展開式中x的奇次方項和x的偶次方項的系數(shù)和各是多少？ ［錯解1］ ?.?二項

20、展開式中奇次方項系數(shù)和偶次方項的系數(shù)和相同，，奇次方項和偶次方 項的系數(shù)和各為219. ［錯解2］由二項展開式知 x的奇次方項系數(shù)和為 C20 - 2+C30 - 23+C20 ? 25+…+ C29 ? 219, x的偶次方項的系數(shù)和為 C20+C20 - 22+C20 - 24+…+ C20 - 220. 錯解1主要還是沒看清題意， 將系數(shù)和與二項式系數(shù)和混淆了； 錯解2解法欠妥，數(shù)據(jù)都 對，但錯解2中的和很難求出.其原因還是沒把握住求和與系數(shù)和的根本方法. ［正解］設x的奇次方項的系數(shù)和為 A, x的偶次方項的系數(shù)和為 B,則令x=1,得A+ B =320,令 x=— 1,得 B-A= 1. 2B= 320+ 1. B= 3* 1 2 ， 320— 1 320 1 「?奇次方項系數(shù)的和為 3-2」，偶次方項系數(shù)和為3-2^ 關于系數(shù)和的問題，多注意用賦值方法解決