精編高中數(shù)學北師大版選修21課時作業(yè)：第3章 習題課3 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學資料 習題課(3) 一、選擇題 1．動點P到點M(1,0)及點N(3,0)的距離之差為2，則點P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線 解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點P的軌跡是一條以N為端點的射線． 答案：D 2．方程x＝所表示的曲線是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．雙曲線的一部分 D．橢圓的一部分 解析：依題意：x≥0，方程可化為：3y2－x2＝1，所以方程表示雙曲線的一部分．故選C. 答案：C 3．[2014·安徽省合肥一中月考]若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2

2、，則實數(shù)k的值是(　　) A．－3 B． C．3 D．－ 解析：本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)．雙曲線x2＋ky2＝1可化為＋＝1，故離心率e＝＝2，解得k＝－，故選D. 答案：D 4．[2014·廣東實驗中學期末考試]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，兩漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D．或2 解析：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用．根據(jù)題意，由于雙曲線－＝1(a>0，b>0)，兩漸近線的夾角為60°，則可知＝或＝，那么可知雙曲線的離心率為e＝，所以結(jié)果為2或，故選D. 答

3、案：D 5． [2014·山東高考]已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2，則e1＝，e2＝.因為e1·e2＝，所以＝，即4＝，∴＝. 故雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0. 答案：A 6．若雙曲線實軸的長度、虛軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率是(　

4、　) A． B． C． D． 解析：由已知得2b＝a＋c， ∴＝1＋. ∴2＝1＋e.平方得4(e2－1)＝e2＋2e＋1 即3e2－2e－5＝0.∴e＝. 答案：C 二、填空題 7．[2013·陜西高考]雙曲線－＝1的離心率為________． 解析：本題主要考查雙曲線的離心率的求法．由已知得a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴e2＝＝，e＝. 答案： 8．過雙曲線－＝1的左焦點F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點，F(xiàn)2為其右焦點，則|MF2|＋|NF2|－|MN|的值為________． 解析：|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2

5、|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8. 答案：8 9．對于曲線C：＋＝1，給出下面四個命題： ①曲線C不可能表示橢圓； ②當1<k<4時，曲線C表示橢圓； ③若曲線C表示雙曲線，則k<1或k>4； ④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<k<. 其中命題正確的序號為__________． 解析：由解得1<k<或<k<4，此時方程表示橢圓，且1<k<時表示焦點在x軸上的橢圓，所以①②錯，④正確；由(4－k)(k－1)<0

6、得k<1或k>4，此時方程表示雙曲線，故③正確．所以應(yīng)填③④. 答案：③④ 三、解答題 10．求適合下列條件的雙曲線標準方程． (1)虛軸長為16，離心率為； (2)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±x； (3)求與雙曲線－y2＝1有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程． 解：(1)由題意知b＝8，且為等軸雙曲線， ∴雙曲線標準方程為－＝1或－＝1. (2)設(shè)以y＝±x為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)， 當λ>0時，a2＝4λ， ∴2a＝2＝6?λ＝， 當λ<0時，a2＝－9λ， ∴2a＝2＝6?λ＝－1.

7、∴雙曲線的方程為－＝1和－＝1. (3)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k(k≠0)， 將點(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2， ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求此雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在此雙曲線上，求證：·＝0. 解：(1)∵離心率e＝＝，∴a＝b. 設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝n(n≠0)， ∵(4，－)在雙曲線上， ∴n＝42－(－)2＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)∵M(3，m)在雙曲線上，則M(3，

8、77;)， 即m＝±， ∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1. ∴·＝0. 12．如圖所示，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E滿足＝λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍． 解：法一：以線段AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，則CD⊥y軸，因為雙曲線過點C、D且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性可知C、D關(guān)于y軸對稱．設(shè)A(－c,0)、C、 E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由＝λ，即(x0＋c，y0)＝λ，

9、 得x0＝，y0＝. 設(shè)雙曲線的方程為－＝1，則離心率為e＝. 由點C、E在雙曲線上，將C、E的坐標和e＝，代入雙曲線方程，得 由①得＝－1. ③ 將③代入②式中，整理得(4－4λ)＝1＋2λ. ∴λ＝1－. 又∵≤λ≤，∴≤1－≤. ∴≤e≤. ∴雙曲線的離心率的取值范圍為[，]． 法二：前面部分同法一． 可求得直線AC的方程為y＝(x＋c)，將其代入雙曲線方程b2x2－a2y2＝a2b2中，得 (9b2c2－4a2h2)x2－8a2h2cx－(4a2h2＋9a2b2)c2＝0. 又∵x0、為上述二次方程的兩根， ∴·x0＝. ① 又∵C在雙曲線上， ∴4h2＝b2(e2－4)． ② ∵x0＝， ③ 將②③代入①中， 得·＝·c2. ∵e＝，∴λ＝1－，以下同法一．