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第2章 推理與證明(A)
(時間:120分鐘 滿分:160分)
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)
1.下列推理過程是類比推理的是__________.
①人們通過大量試驗(yàn)得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為
②科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼
③通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性
④由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù)
2.觀察式子:1+<,1++<,1+++<,…,則可歸納出一般式子為______________________.
3.若a,b,c均為實(shí)數(shù),則下面四個結(jié)論均是正確的:
①ab=b
2、a;②(ab)c=a(bc);③若ab=bc,b≠0,則a-c=0;④若ab=0,則a=0或b=0.
對向量a,b,c,用類比的思想可得到以下四個結(jié)論:
①ab=ba;
②(ab)c=a(bc);
③若ab=bc,b≠0,則a=c;
④若ab=0,則a=0或b=0.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為________.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1= (n∈N*),則a2 010=________.
5.設(shè)凸n邊形的內(nèi)角和為f(n),則f(n+1)-f(n)=______.
6.觀察下列數(shù)表規(guī)律
則從數(shù)2 010到2 011的箭頭方向是__________.
7.平面
3、內(nèi)原有k條直線,它們的交點(diǎn)個數(shù)記為f(k),則增加了一條直線后,它們的交點(diǎn)個數(shù)最多為____________.
8.勾股定理:在直角邊長為a、b,斜邊長為c的直角三角形中,有a2+b2=c2.類比勾股定理可得,在長、寬、高分別為p、q、r,體對角線長為d的長方體中,有______________.
9.下列三句話按三段論的模式排列順序是________.
①2 010能被2整除;
②一切偶數(shù)都能被2整除;
③2 010是偶數(shù).
10.由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”,可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個側(cè)面______________________.
11.在△ABC中,D
4、為邊BC的中點(diǎn),則=(+).將上述命題類比到四面體中去,得到一個類比命題:________________________________.
12.對于“求證函數(shù)f(x)=-x3在R上是減函數(shù)”,用“三段論”可表示為:大前提是“對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),若對任意x1,x2∈D且x2-x1>0,有f(x2)-f(x1)<0,則函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù)”,小前提是“__________________________”,結(jié)論是“f(x)=-x3在R上是減函數(shù)”.
13.在古希臘,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的
5、點(diǎn)可以排成正三角形(如圖所示),則三角形數(shù)的一般表達(dá)式f(n)=__________.
14.下面的四個不等式:
①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
②a(1-a)≤;③+≥2;
④(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
其中不成立的有________個.
二、解答題(本大題共6小題,共90分)
15.(14分)設(shè)f(x)=x2+ax+b,
求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.
16.(14分)已知函數(shù)f(x)=lg,x∈.若x1,x2∈且x1≠x2,求證:[f(x1)+f(x2)]>f.
6、
17.(14分)已知a>0,b>0,a+b=1,
求證:+≤2.
18.(16分) 如圖所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F(xiàn)是BE的中點(diǎn).
(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求證:AF⊥BD.
19.(16分)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a≠0)中的a,b,c均為整數(shù),且f(0),f(1)均為奇數(shù),求證:方程f(x)=0無整數(shù)根.
20.(16分)觀
7、察下表:
1,
2,3,
4,5,6,7,
8,9,10,11,12,13,14,15,
…
問:(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少?
(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少?
(3)2 008是第幾行的第幾個數(shù)?
第2章 推理與證明(A)
答案
1.②
2.1+++…+< (n≥2)
解析 由合情推理可歸納出1+++…+< (n≥2).
3.1
解析 利用類比思想結(jié)合向量的定義及性質(zhì),特別是向量的數(shù)量積的定義可知①正確,②③④不正確.
4.
解析 a2==-,a3==,a4=0,所以此數(shù)列具有周期性,0,-,依次重復(fù)出現(xiàn).因?yàn)?/p>
8、2 010=3670,所以a2 010=.
5.180
解析 作凸(n+1)邊形的一條對角線,使之成為一個凸n邊形和一個三角形.
6.→
7.f(k)+k
解析 增加一條直線后,最多和原來的k條直線都相交,有k個交點(diǎn),所以交點(diǎn)個數(shù)最多為f(k)+k.
8.p2+q2+r2=d2
9.②③①
10.各正三角形的中心
解析 正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面,即正三角形所在的正四面體的側(cè)面,所以邊的中點(diǎn)對應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心.
11.在四面體A—BCD中,G為△BCD的重心,
則=(++)
12.對于任意x1,x2∈R且x2-x1>0,有f(x2)-f(x1)=-x+
9、x=-(x2-x1)(x+x1x2+x)
=-(x2-x1)<0
13.
解析 當(dāng)n=1時,1=;當(dāng)n=2時,3=;當(dāng)n=3時,6=;當(dāng)n=4時,10=;…,猜想:f(n)=.
14.1
解析 由a2+b2+c2-(ab+bc+ca)
=[2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]
=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,
故①正確.
由-a(1-a)=-a+a2=2≥0,
故②正確.
(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2acbd-b2d2
=a2d2+b2c2-2abcd=(ad-b
10、c)2≥0,故④正確.
∵+≥2或+≤-2,∴③不正確.
15.證明 假設(shè)|f(1)|<,|f(2)|<,|f(3)|<,
于是有-<1+a+b< ①
-<4+2a+b< ②
-<9+3a+b< ③
①+③,得-1<10+4a+2b<1,
所以-3<8+4a+2b<-1,
所以-<4+2a+b<-.
由②知-<4+2a+b<,矛盾,
所以假設(shè)不成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.
16.證明 要證原不等式成立,只需證明
>2,
事實(shí)上,∵00.
∴>2,
即
11、有l(wèi)g>lg2,
故[f(x1)+f(x2)]>f.
17.證明 ∵1=a+b≥2,∴ab≤.
∴(a+b)+ab+≤1.
∴≤1.
從而有2+2≤4.
即++2≤4.
∴2≤4.
∴+≤2.
18.證明 (1)取AB的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,CG,
可得FG∥AE,F(xiàn)G=AE,
又CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,
∴CD∥AE,CD=AE,
∴FG∥CD,F(xiàn)G=CD.
又∵FG⊥平面ABC,
∴四邊形CDFG是矩形,DF∥CG,CG?平面ABC,
DF?平面ABC,∴DF∥平面ABC.
(2)Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F(xiàn)為BE的中點(diǎn),∴AF⊥
12、BE,∵△ABC是正三角形,
∴CG⊥AB,∴DF⊥AB,
又DF⊥FG,F(xiàn)G∩AB=G,
∴DF⊥平面ABE,DF⊥AF,
又∵DF∩BE=F,∴AF⊥平面BDF,
又BD?平面BDF,∴AF⊥BD.
19.證明 假設(shè)方程f(x)=0有一個整數(shù)根k,
則ak2+bk+c=0.①
因?yàn)閒(0)=c,f(1)=a+b+c均為奇數(shù),
所以a+b必為偶數(shù),
當(dāng)k為偶數(shù)時,令k=2n (n∈Z),
則ak2+bk+c=4n2a+2nb+c=2n(2na+b)+c必為奇數(shù),與①式矛盾;
當(dāng)k為奇數(shù)時,令k=2n+1 (n∈Z),
則ak2+bk+c=(2n+1)(2na+a+b
13、)+c為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積加上一個奇數(shù),必為奇數(shù),也與①式矛盾,故假設(shè)不成立.
綜上可知方程f(x)=0無整數(shù)根.
20.解 (1)由表知,從第二行起,每行的第一個數(shù)為偶數(shù),所以第n+1行的第一個數(shù)為2n,所以第n行的最后一個數(shù)為2n-1.
(2)由(1)知第n-1行的最后一個數(shù)為2n-1-1,第n行的第一個數(shù)為2n-1,第n行的最后一個數(shù)為2n-1.又由觀察知,每行數(shù)字的個數(shù)與這一行的第一個數(shù)相同,所以由等差數(shù)列求和公式得,
Sn==22n-3+22n-2-2n-2.
(3)因?yàn)?10=1 024,211=2 048,又第11行最后一個數(shù)為211-1=2 047,所以2 008是在第11行中,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得,2 008=1 024+(n-1)1,所以n=985,所以2 008是第11行的第985個數(shù).
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