新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第二章167;1 算法的基本思想 Word版含答案

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 [核心必知] 1．算法的概念 在解決某些問題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過實(shí)施這一系列步驟來解決問題，我們把這一系列步驟稱為解決這個(gè)問題的一個(gè)算法． 2．算法的作用 現(xiàn)代算法的作用之一是使計(jì)算機(jī)能代替人完成某些工作，這是學(xué)習(xí)算法的重要原因之一． [問題思考] 1．是不是任何一個(gè)算法都有明確結(jié)果？ 提示：是，因?yàn)樗惴ǖ牟襟E是明確的和有限的，有時(shí)可能需大量重復(fù)的計(jì)算，但只要按部就班地去做，總能得到確定的結(jié)果． 2．一個(gè)具體問題的算法唯一嗎？ 提示：解決一個(gè)具體問題的算法可有多個(gè)，但我們可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量

2、少的算法． 講一講 1.下列語句中是算法的有(　　) ①做飯需要刷鍋、淘米、加水、加熱這些步驟； ②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1； ③方程x2＋2x－3＝0有兩個(gè)實(shí)根； ④求1＋2＋3＋4的值，先計(jì)算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最終結(jié)果是10. A．1個(gè)　　B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) [嘗試解答]　①說明了做飯的步驟；②中給出了一元一次方程這一類問題的解決方式；④中給出了求1＋2＋3＋4的一個(gè)過程，最終得出結(jié)果；對于③，并沒有說明如何去算，故①②④是算法，③不是算法． [答案]　C 解答

3、這類問題的方法為特征判斷法，主要從以下三方面判斷： (1)看是否滿足順序性．算法實(shí)際上就是順序化的解題過程，是指可以用計(jì)算機(jī)來解決某一類問題的程序或步驟． (2)看是否滿足明確性．算法的每一步都是確定的，而不是含糊的、模棱兩可的． (3)看是否滿足有限性．一個(gè)算法必須在有限步后結(jié)束．如果一個(gè)解題步驟永遠(yuǎn)不能結(jié)束，那么就永遠(yuǎn)得不到答案．因此，有始無終的解題步驟不是算法． 此外，算法的不唯一性也要考慮到． 練一練 1．下列語句表達(dá)中是算法的有(　　) ①從濟(jì)南到巴黎可以先乘火車到北京，再坐飛機(jī)抵達(dá)； ②x＞2x＋4； ③求M(1,2)與N(－3，－5)兩點(diǎn)連線的方程，可先

4、求MN的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求得． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析：選C ①中說明了從濟(jì)南到巴黎的行程安排，完成任務(wù)．對于②沒有說明如何去做．③說明了求直線MN的方程的算法步驟． 講一講 2.給出解方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c為實(shí)常數(shù))的一個(gè)算法． [嘗試解答]　算法步驟如下： 1．當(dāng)a＝0，b＝0，c＝0時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)； 2．當(dāng)a＝0，b＝0，c≠0時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)解； 3．當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，原方程的解為x＝－； 4．當(dāng)a≠0且b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝，x2＝； 5．當(dāng)a≠0，b2－4ac＝0時(shí)，方程

5、有兩個(gè)相等實(shí)根x1＝x2＝－； 6．當(dāng)a≠0且b2－4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根． 設(shè)計(jì)算法的基本要求是：(1)設(shè)計(jì)的算法必須能解決一類問題并且能重復(fù)使用；(2)算法的過程需能一步步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切，不能含糊不清，而且經(jīng)過有限步運(yùn)算后能得出結(jié)果；(3)任何算法都必須輸出結(jié)果，否則是無意義的算法；(4)如果需要分類討論解決的問題，那么設(shè)計(jì)的算法中，要根據(jù)條件是否成立來決定執(zhí)行任務(wù)的步驟；(5)如果需要重復(fù)做同一種動(dòng)作，那么設(shè)計(jì)的算法要含有返回步驟． 練一練 2．寫出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法． 解：法一：1.移項(xiàng)，得x2－2x＝3；① 2．①兩邊同時(shí)加

6、1并配方，得(x－1)2＝4；② 3．②式兩邊開方，得x－1＝2；③ 4．解③得x＝3，或x＝－1. 法二：1.計(jì)算方程的判別式并判斷其符號，Δ＝(－2)2－41(－3)＝16＞0； 2．將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1. 【解題高手】【易錯(cuò)題】 設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的值． [錯(cuò)解]　1.計(jì)算1＋2的值為3； 2．將3加到上一步的結(jié)果中，3＋3＝6； 3．將4加到上一步的結(jié)果中，6＋4＝10； … 9．將10加到上一步的結(jié)果中，45＋10＝55； 10．輸出結(jié)果為55. [錯(cuò)因]　根據(jù)算法的確定性

7、．算法的每一步都是明確具體的．當(dāng)算法中出現(xiàn)類似步驟時(shí)，可以給出判定條件重復(fù)執(zhí)行，不能由省略號代替．本題做錯(cuò)的根本原因在于對算法的確定性理解不到位． [正解]　算法： 1．令S＝0，n＝1； 2．將n加給S； 3．判斷n是否為10，若不是，則n加1后，執(zhí)行第二步；若n是10，則輸出結(jié)果S后結(jié)束． 1．下列說法正確的是(　　) A．“5＋6＝11”是一個(gè)算法 B．“3是15與21的公約數(shù)”是一個(gè)算法 C．判斷15是否為素?cái)?shù)的一個(gè)程序或步驟是一個(gè)算法 D．用二分法求方程x2－2＝0的近似根(精確到0.01)是一個(gè)算法 解析：選D 算法中的程序或步驟應(yīng)是明確的，有效的，且

8、在有限步之內(nèi)能夠解決問題． 2．下列可以看成算法的是(　　) A．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題 B．今天餐廳的飯真好吃 C．這道數(shù)學(xué)題難做 D．方程2x2－x＋1＝0無實(shí)數(shù)根 解析：選A A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)步驟，所以是算法． 3．計(jì)算下列各式中的S值，能設(shè)計(jì)算法求解的是(　　) ①S＝1＋2＋3＋…＋100； ②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…； ③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N＋)． A．①②　 B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：選B 算法的設(shè)計(jì)要求步驟是可行的，并且能在有限步之內(nèi)完成任務(wù)

9、． 4．以下有六個(gè)步驟： ①撥號；②等撥號音；③提起話筒(或免提功能)；④開始通話或掛機(jī)(線路不通)；⑤等復(fù)話方信號；⑥結(jié)束通話． 試寫出打一個(gè)本地電話的算法________．(只寫編號) 解析：按照撥打電話的順序設(shè)計(jì)，同時(shí)考慮所有可能的情況． 答案：③②①⑤④⑥ 5．求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的一個(gè)算法如下，請將其補(bǔ)充完整： 1．計(jì)算m＝. 2．________________________________________________________________________. 3．______________________________

10、__________________________________________. 解析：m是最大值還是最小值由a的正負(fù)確定，依據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，確定第二、三步的內(nèi)容． 答案：如果a>0，則得到y(tǒng)min＝m，否則執(zhí)行第三步　得到y(tǒng)max＝m 6．求半徑r＝2的圓的周長，寫出算法． 解：算法如下： 1．取r＝2； 2．計(jì)算C＝2πr； 3．輸出C. 一、選擇題 1．想泡茶喝，當(dāng)時(shí)的情況是：火已經(jīng)生起了，涼水和茶葉也有了，開水沒有，開水壺要洗，茶壺和茶杯要洗，下面給出了四種不同形式的算法過程，你認(rèn)為最好的一種算法是(　　) A．洗開水壺，灌水，燒水，在等待水開時(shí)，

11、洗茶壺、茶杯、拿茶葉，等水開了后泡茶喝 B．洗開水壺，洗茶壺和茶杯，拿茶葉，一切就緒后，灌水，燒水，坐等水開后泡茶喝 C．洗開水壺，灌水，燒水，坐等水開，等水開后，再拿茶葉，洗茶壺、茶杯，泡茶喝 D．洗開水壺，灌水，燒水，再拿茶葉，坐等水開，洗茶壺、茶杯，泡茶喝 解析：選A 解決一個(gè)問題可以有多種算法，可以選擇其中最優(yōu)、最簡單、步驟盡可能少的算法．選項(xiàng)中的四種算法中都符合題意，但算法A運(yùn)用了統(tǒng)籌法原理，因此這個(gè)算法要比其余的三種算法科學(xué)． 解析：選C 算法指的是解決一類問題的方法或步驟，選項(xiàng)C只是一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，沒有解問題的步驟，不屬于算法． 3．下列敘述能稱為算法的個(gè)數(shù)為

12、(　　) ①植樹需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟． ②順序進(jìn)行下列運(yùn)算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100. ③從棗莊乘火車到徐州，從徐州乘飛機(jī)到廣州． ④3x>x＋1. ⑤求所有能被3整除的正數(shù)，即3,6,9,12，…. A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B 根據(jù)算法的含義和特征：①②③都是算法．④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一個(gè)明確的邏輯步驟，不符合邏輯性；⑤的步驟是無窮的，與算法的有窮性矛盾． 4．下列所給問題中： ①二分法解方程x2－3＝0(精確到0.01)； ②解方程 ③求半徑為2的球的體積； ④判斷y＝

13、x2在R上的單調(diào)性． 其中可以設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C 由算法的特征可知①②③都能設(shè)計(jì)算法．對于④，當(dāng)x＞0或x＜0時(shí)，函數(shù)y＝x2是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，但當(dāng)x∈R時(shí)，由函數(shù)的圖像可知在整個(gè)定義域R上不是單調(diào)函數(shù)，因此不能設(shè)計(jì)算法求解． 5．已知算法： 1．輸入n； 2．判斷n是否是2， 若n＝2，則n滿足條件； 若n＞2，則執(zhí)行第3步； 3．依次檢驗(yàn)從2到n－1的整數(shù)能不能整除n，若不能整除n，滿足條件． 上述滿足條件的數(shù)是(　　) A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．4的倍數(shù) 解析

14、：選A 由質(zhì)數(shù)的定義知，滿足條件的是質(zhì)數(shù)． 二、填空題 6．下列關(guān)于算法的說法，正確的個(gè)數(shù)有________． ①求解某一類問題的算法是唯一的； ②算法必須在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊； ④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果． 解析：由算法的特征(有限性、確定性、有序性等)可知②③④正確，但解決某一類問題的算法不一定是唯一的，故①錯(cuò)． 答案：3 7．給出下列算法： 1．輸入x的值． 2．當(dāng)x>4時(shí)，計(jì)算y＝x＋2；否則執(zhí)行下一步． 3．計(jì)算y＝. 4．輸出y. 當(dāng)輸入x＝10時(shí)，輸出y＝__________. 解析：∵x＝1

15、0＞4，∴計(jì)算y＝x＋2＝12. 答案：12 8．已知直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，寫出求斜邊c的算法步驟． 1．________________________________________________________________________； 2．________________________________________________________________________； 3．________________________________________________________________________. 解析：先輸入a、b的值，再根據(jù)勾股定理算出斜邊c的長，最后輸出c的結(jié)果． 答案：輸入兩直角邊長a、b的值 計(jì)算c＝ 輸出斜邊長c的值 三、解答題 9．請?jiān)O(shè)計(jì)求18的所有正約數(shù)的算法． 解：1.18＝29； 2．18＝232； 3．列出18的所有正約數(shù)：1,2,3,32,23,232. 10．已知函數(shù)y＝試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值． 解：算法如下： 1．輸入x的值． 2．當(dāng)x≤－1時(shí)，計(jì)算y＝2x－1；否則執(zhí)行第三步． 3．當(dāng)x<2時(shí)，計(jì)算y＝log2(x＋1)，否則執(zhí)行第四步． 4．計(jì)算y＝x2. 5．輸入y.