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1、
第20練 導數中的易錯題
訓練目標
(1)導數知識的細化、深化、鞏固提高;(2)解題過程的細節(jié)訓練.
訓練題型
(1)導數和函數的極值;(2)利用導數求參數范圍;(3)導數的綜合應用.
解題策略
(1)注意f′(x0)=0是x=x0為極值點的必要不充分條件;(2)已知單調性求參數范圍要注意驗證f′(x)=0的情況.
一、選擇題
1.如果f′(x)是二次函數,且f′(x)的圖象開口向上,頂點坐標為(1,),那么曲線y=f(x)上任意一點的切線的傾斜角α的取值范圍是( )
A.(0,] B.[,)
C.(,] D.[,π)
2.(20xx福建福州三中月考)
2、已知點A(1,2)在函數f(x)=ax3的圖象上,則過點A的曲線C:
y=f(x)的切線方程是( )
A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0
C.6x-y-4=0或x-4y+7=0 D.6x-y-4=0或3x-2y+1=0
3.(20xx蘭州診斷)在直角坐標系xOy中,設P是曲線C:xy=1(x>0)上任意一點,l是曲線C在點P處的切線,且l交坐標軸于A,B兩點,則以下結論正確的是( )
A.△OAB的面積為定值2
B.△OAB的面積有最小值3
C.△OAB的面積有最大值4
D.△OAB的面積的取值范圍是[3,4]
4.若函數f(x)=2x2-lnx在其定義域內的一個
3、子區(qū)間(k-1,k+1)內不是單調函數,則實數k的取值范圍是( )
A.[1,+∞) B.[1,)
C.[1,2) D.[,2)
5.若函數y=x3-3ax+a在(1,2)內有極小值,則實數a的取值范圍是( )
A.14或a<1
6.已知函數f(x)=x3+ax2+x+2 (a>0)的極大值點和極小值點都在區(qū)間(-1,1)內,則實數a的取值范圍是( )
A.(0,2] B.(0,2)
C.[,2) D.(,2)
7.如果函數f(x)=x3-x滿足:對于任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)
4、-f(x2)|≤a2恒成立,則a的取值范圍是( )
A.[-,]
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-]∪[,+∞)
8.(20xx景德鎮(zhèn)質檢)已知f(x)=ax++2-2a(a>0),若f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立,則a的取值范圍是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
二、填空題
9.若函數f(x)=lnx+ax存在與直線2x-y=0平行的切線,則實數a的取值范圍是________________.
10.函數f(x)=ax-cosx,x∈[,],若?x1,x2∈[,],x1≠x2,
5、<0,則實數a的取值范圍是________.
11.若函數f(x)=ax3+x恰有3個單調區(qū)間,則a的取值范圍為________.
12.已知函數f(x)=(a>0),若f(x)為R上的單調函數,則實數a的取值范圍是________.
答案精析
1.B [根據已知可得f′(x)≥,即曲線y=f(x)上任意一點的切線的斜率k=tan α≥,結合正切函數的圖象,可知α∈[,),故選B.]
2.D [由于點A(1,2)在函數f(x)=ax3的圖象上,則a=2,即y=2x3,所以y′=6x2.若點A為切點,則切線斜率為6,若點A不是切點,設切點坐標為(m,2m3),則切線的斜率為k
6、=6m2.由兩點的斜率公式,得=6m2(m≠1),即有2m2-m-1=0,
解得m=1(舍去)或m=-.綜上,切線的斜率為k=6或k=6=,
則過點A的曲線C:y=f(x)的切線方程為y-2=6(x-1)或y-2=(x-1),
即6x-y-4=0或3x-2y+1=0.故選D.]
3.A [由題意,得y=.設點P(x0,y0)(x0>0),y0=,y′=-,因此切線的斜率k=-,切線方程為y-y0=-(x-x0).當x=0時,y=y(tǒng)0+=;當y=0時,x=xy0+x0=2x0,因此S△OAB=xy=2為定值.故選A.]
4.B [∵f(x)=2x2-lnx(x>0),
∴f′(x)=
7、4x-=(x>0),
由f′(x)=0,得x=,
當x∈(0,)時,f′(x)<0;
當x∈(,+∞)時,f′(x)>0,
據題意,
解得1≤k<.]
5.B [y′=3x2-3a,當a≤0時,y′≥0,
函數y=x3-3ax+a為單調函數,不合題意,舍去;當a>0時,y′=3x2-3a=0?x=,不難分析,當1<<2,即10,
解得
8、-1,∴當00,
∴f(x)=x3-x在x=1時取到極小值,也是x∈[0,2]上的最小值,
∴f(x)極小值=f(1)=-=f(x)最小值,
又∵f(0)=0,f(2)=,
∴在x∈[0,2]上,f(x)最大值=f(2)=,∵對于任意的x1,x2∈[0,2],
∴都有|f(x1)-f(x2)|≤a2恒成立,
∴只需a2≥|f(x)最大值-f(x)最小值|=-(-)=即可,
∴a≥或a≤-.故選D.]
8.B [f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立,即f(x)-2ln x≥0在[1,+∞)上恒成立.設g(x)=f(
9、x)-2ln x=ax++2-2a-2ln x,則g′(x)=a--=.
令g′(x)=0,則x=1或x=.由于g(1)=0,a>0,因此≤1(否則是g(x)的極小值點,即g()0).∵函數f(x)=lnx+ax存在與直線2x-y=0平行的切線,
∴方程+a=2在區(qū)間(0,+∞)上有解,即a=2-在區(qū)間(0,+∞)上有解,
∴a<2.若直線2x-y=0與曲線f(x)=lnx+ax相切,設切點為(x0,2x0),則
解得x0=e,a=2-.
綜上,實數a的取值范圍是(-∞,2-)
10、∪(2-,2).
10.(-∞,-]
解析 由<0知,函數f(x)在[,]上是減函數.又f′(x)=a+sin x,所以f′(x)≤0在[,]上恒成立,即a≤-sin x在[,]上恒成立.當≤x≤時,-≤-sin x≤-,
故-sin x的最小值為-,所以a≤-.
11.(-∞,0)
解析 由f(x)=ax3+x,得f′(x)=3ax2+1.若a≥0,則f′(x)>0恒成立,此時f(x)在(-∞,+∞)上為增函數,不滿足題意;若a<0,由f′(x)>0得-,即故當a<0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,),單調遞減區(qū)間為(-∞,-), ( ,+∞),滿足題意.
12.(0,1]
解析 f′(x)==,由題意f(x)為R上的單調函數,所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立.又a>0,所以f′(x)≥0在R上恒成立,即ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,所以Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,解得0