文科數(shù)學(xué) 北師大版練習(xí)：第八章 第六節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．(20xx沈陽質(zhì)量監(jiān)測)拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點坐標(biāo)是(　　) A．(0，a)　　　　　　 B．(a,0)[.Com] C. D. 解析：將y＝4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＝y(tǒng)(a≠0)，所以焦點坐標(biāo)為，所以選C. 答案：C 2．(20xx遼寧五校聯(lián)考)已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點弦，|AB|＝4，則AB中點C的橫坐標(biāo)是(　　) A．2 B. C. D. 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以點C的橫坐標(biāo)是＝. 答案：C 3

2、．(20xx邯鄲質(zhì)檢)設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點，A、B、C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則||＋||＋||的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：依題意，設(shè)點A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3，y3)，又焦點F，x1＋x2＋x3＝3＝，則||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.選C. 答案：C 4．已知直線l：y＝kx－k與拋物線C：y2＝4x及其準(zhǔn)線分別交于M，N兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若2＝，則實數(shù)k等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析：拋物線C：y2＝4x的焦點F(1,0)，直線l

3、：y＝kx－k過拋物線的焦點，如圖．過M作MM′⊥準(zhǔn)線x＝－1，垂足為M′，由拋物線的定義，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN與直線l的傾斜角相等，由2＝，得cos∠M′MN＝＝，則tan∠M′MN＝，∴直線l的斜率k＝，故選C. 答案：C 5．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是(　　) A．2－1 B．2－2 C.－1 D.－2 解析：由題意得圓x2＋(y－4)2＝1的圓心A(0,4)，半徑r＝1，拋物線的焦點F(1,0)．由拋物線的幾何性質(zhì)可得：點P到點Q的距離與點P到拋物

4、線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.選C. 答案：C 6．(20xx沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當(dāng)∠AFO＝30(O為坐標(biāo)原點)時，|PF|＝________. 解析：設(shè)l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30，|BF|＝2，所以|AB|＝，設(shè)P(x0，y0)，則x0＝，代入x2＝4y中，得y0＝，從而|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 答案： 7．(20xx云南檢測)已知拋物線C的方程為y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與⊙M相切，那么p的值

5、為__________． 解析：將⊙M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－4,0)，半徑r＝2，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4. 答案：12或4 8.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是__________． 解析：分別過點A、B作準(zhǔn)線的垂線AE、BD，分別交準(zhǔn)線于點E、D(圖略)，則|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即點F是AC的

6、中點，根據(jù)題意得p＝，∴拋物線的方程是y2＝3x. 答案：y2＝3x 9．已知拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點為F，圓W：(x＋p)2＋y2＝p2的圓心到過點F的直線l的距離為p. (1)求直線l的斜率； (2)若直線l與拋物線交于A、B兩點，△WAB的面積為8，求拋物線的方程． 解析：(1)易知拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點為F(p,0)，依題意直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my＋p，因為W(－p,0)， 所以點W到直線l的距離為＝p，解得m＝，所以直線l的斜率為. (2)由(1)知直線l的方程為x＝y(tǒng)＋p，由于兩條直線關(guān)于x軸對稱，不妨取x＝y(tǒng)＋p，

7、聯(lián)立消去x得y2－4py－4p2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2， 所以|AB|＝＝16p， 因為△WAB的面積為8，所以p16p＝8，得p＝1， 所以拋物線的方程為y2＝4x. 10．(20xx合肥質(zhì)檢)已知拋物線C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐標(biāo)原點，點A，B為拋物線C1上異于O點的兩點，以O(shè)A為直徑的圓C2過點B. (1)若A(－2,1)，求p的值以及圓C2的方程； (2)求圓C2的面積S的最小值(用p表示)． 解析：(1)∵A(－2,1)在拋物線C1上，∴4＝2p，p＝2.又圓C2的圓心為，半徑為＝，∴圓C2的方程

8、為(x＋1)2＋2＝. (2)記A(x1，)，B(x2，)．則＝(x2，)，＝(x2－x1，)． 由＝0知，x2(x2－x1)＋＝0. ∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1x2＝－4p2，∴x1＝－. ∴x＝x＋＋8p2≥2＋8p2＝16p2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝4p2時取等號． 又|OA|2＝x＋＝(x＋4p2x)，注意到x≥16p2， ∴|OA|2≥(162p4＋4p216p2)＝80p2.而S＝π，∴S≥20πp2， 即S的最小值為20πp2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4p2時取得． B組——能力提升練 1．已知拋物線C：y2＝mx(m>0)的焦點為F，點A(0，－)．若射線FA與拋

9、物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點D，且|FM|∶|MD|＝1∶2，則點M的縱坐標(biāo)為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：依題意，F(xiàn)點的坐標(biāo)為(，0)，設(shè)點M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|，因為|FM|∶|MD|＝1∶2，所以|KD|∶|KM|＝∶1，kFD＝，kFD＝＝，所以＝，解得m＝4，所以直線FM的方程為y＝(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，解得x＝3(舍去)或x＝，所以y2＝，y＝－或y＝(舍去)，故點M的坐標(biāo)為(，－)，故選D. 答案：D 2．(20xx石家莊質(zhì)檢)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p>0)，C

10、1與C2相交于A，B兩點，且|AB|＝，則拋物線C2的方程為(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝x D．y2＝x 解析：由題意，知直線AB必過原點，則設(shè)AB的方程為y＝kx(k>0)，圓心C1(0,2)到直線AB的距離d＝＝ ＝，解得k＝2(k＝－2舍去)．由，可取A(0,0)，B(，)，把(，)代入拋物線方程，得()2＝2p，解得p＝，所以拋物線C2的方程為y2＝x，故選C. 答案：C 3．已知點P在拋物線y2＝x上，點Q在圓(x＋)2＋(y－4)2＝1上，則|PQ|的最小值為(　　) A.－1 B.－1 C．2－1 D.－1 解析：設(shè)點P(y2，y)(y

11、∈R)，圓(x＋)2＋(y－4)2＝1的圓心為A(－，4)，則|PA|2＝(y2＋)2＋(y－4)2＝y(tǒng)4＋2y2－8y＋，令t＝y(tǒng)4＋2y2－8y＋，則t′＝4y3＋4y－8，令m＝t′＝4y3＋4y－8，則m′＝12y2＋4>0，所以m＝t′＝4y3＋4y－8在R上是增函數(shù)，因為t′|y＝1＝0，所以y＝1為t＝y(tǒng)4＋2y2－8y＋的極小值點也是最小值點，所以|PA|2＝t的最小值為，所以|PA|的最小值為，所以|PQ|的最小值為－1，故選A. 答案：A 4．(20xx山西八校聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與x軸相交于點P，過點P且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線交于A，B兩點，F(xiàn)

12、為拋物線的焦點，若|FB|＝2|FA|，則AB的長度為________． 解析：依題意知P(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FB|＝2|FA|，得x2＋1＝2(x1＋1)，即x2＝2x1＋1　①，∵P(－1,0)，則AB的方程為y＝kx＋k，與y2＝4x聯(lián)立，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，則Δ＝(2k2－4)2－4k4>0，即k2<1，x1x2＝1　②，由①②得x1＝，則A(，)， ∴k＝＝.∴x1＋x2＝， |AB|＝ ＝. 答案： 5．(20xx昆明市檢測)設(shè)F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，曲線y＝(k>0)與C交于點A，

13、直線FA恰與曲線y＝(k>0)相切于點A，F(xiàn)A交C的準(zhǔn)線于點B，則等于________． 解析：由解得 由y＝，得y′＝－， 所以kFA＝＝－，化簡得k＝， 所以x＝＝， ＝＝＝. 答案： 6．(20xx唐山統(tǒng)考)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過點C(－2,0)的直線l交拋物線于A、B兩點，坐標(biāo)原點為O，＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程． 解析：(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px， 得y2－2pmy＋4p＝0.(*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則x1x

14、2＝＝4. 因為＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12， 得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x. (2)(1)中(*)式可化為y2－4my＋8＝0， y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 設(shè)AB的中點為M， 則|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝|y1－y2| ＝，② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝. 所以，直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 7.如圖，由部分拋物線：y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圓x2＋y2＝r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線

15、C”，若 “黃金拋物線C”經(jīng)過點(3,2)和. (1)求“黃金拋物線C”的方程； (2)設(shè)P(0,1)和Q(0，－1)，過點P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A，P，B三點，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解析：(1)∵“黃金拋物線C”過點(3,2)和， ∴r2＝2＋2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1. ∴“黃金拋物線C”的方程為y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)． (2)假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，顯然直線l的斜率存在且不為0， 設(shè)直線l：y＝kx＋1，聯(lián)立，消去y，得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝， yB＝，即B，∴kBQ＝， 聯(lián)立，消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0， ∴xA＝－，yA＝， 即A，∴kAQ＝－， ∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0， ∴－＝0，解得k＝－1， 由圖形可得k＝－1－應(yīng)舍去，∴k＝－1， ∴存在直線l：y＝(－1)x＋1， 使得QP平分∠AQB.