《數(shù)系的擴充》教學(xué)設(shè)計

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1、《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》 教學(xué)設(shè)計 高中人教 A 版選修 2-2 王 海 艷 唐山市第六十二中學(xué) 【教材分析】 本章《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》是中學(xué)課程里數(shù)的概念的最后一次擴展。引 入復(fù)數(shù)后，不僅可以使學(xué)生對數(shù)的概念有一個初步完整的認(rèn)識，也為進一步學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。教材編寫的線索是：先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對，然后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù) 代數(shù)形式的四則運算，最后介紹復(fù)數(shù)的幾何意義。本節(jié)是該章的基礎(chǔ)課、起始課， 具有承上啟下的作用。 【學(xué)情分析】 在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生對數(shù)的概念已經(jīng)擴充到實數(shù)， 也已清楚各種數(shù)集之間的 包含關(guān)系等內(nèi)容，但知識是零碎、分散的，對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺

2、乏整 體認(rèn)識與理性思考，知識體系還未形成。另一方面學(xué)生對方程解的問題會默認(rèn)為 在實數(shù)集中進行，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。 【三維目標(biāo)】 知識與技能：了解數(shù)系的擴充過程；理解復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復(fù) 數(shù)相等的條件 過程與方法：經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴充的過程，體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的 過程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，讓學(xué)生學(xué)會對事件歸納與認(rèn)識的方法。 情感、態(tài)度與價值觀： (1)培養(yǎng)學(xué)生分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法； (2)培養(yǎng)學(xué)生矛盾轉(zhuǎn)化、分與合、實與虛等辯證唯物主義觀點； (3)感受人類理性思維的作用。 【教學(xué)重點】復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復(fù)數(shù)相等的條件 【

3、教學(xué)難點】數(shù)集擴充的必要性和過程 【教學(xué)設(shè)計】 整體思路 情境設(shè)置 激發(fā)求知欲 形成新知 數(shù)學(xué) 例題分析 方法小結(jié) 反饋練習(xí) 引導(dǎo)分析 應(yīng)用 例題擴展, 設(shè)計思想 知識來源于實際生活。教學(xué)中應(yīng)注重把教材內(nèi)容與生活實踐結(jié)合起來，加強數(shù) 學(xué)教學(xué)的實踐性。本節(jié)課對知識結(jié)構(gòu)進行創(chuàng)造性地“教學(xué)加工”，教學(xué)方法上則采 用“合作-探究”的模式，保證學(xué)生對知識的主動獲取，促進學(xué)生充分、和諧、 自主、個性化發(fā)展。 媒體設(shè)計 本節(jié)課是概念課，要避免單一下定義再作練習(xí)模式，應(yīng)努力使課堂元素更豐富， 因此借助于多媒體課件配合教學(xué)，添加與教學(xué)內(nèi)容匹配的圖片背景，激發(fā)學(xué)生的 學(xué)習(xí)興趣；

4、而例習(xí)題用媒體展示分析，則可以提高課堂教學(xué)效率。 設(shè)計特色 (1)重視數(shù)學(xué)的人文價值。(2 )知識建構(gòu)采用合作探究模式。 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 回顧數(shù)的發(fā)展史：數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念。到目前為止，我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù) 集？用符號表如何表示？它們之間有怎樣的包含關(guān)系？用圖示法可以如何表示 (投影) (設(shè)計意圖：數(shù)集及之間關(guān)系的回顧，特別是“圖示法”的直觀表示，旨在幫 助學(xué)生對“數(shù)系的擴充”有個初步感受) （投影）：自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實數(shù)系變化過程及“圖示法”表示 數(shù)集之間的包含關(guān)系。 問題：今天的課題是什么？從剛才這張“圖示法”表示數(shù)集之間的包含關(guān)系的 圖

5、也可以看出數(shù)逐步發(fā)展壯大的過程。將實數(shù)繼續(xù)擴展，是不是就是今天要學(xué)的 復(fù)數(shù)呢？所有的復(fù)數(shù)能不能構(gòu)成新的集合呢？ （設(shè)計意圖：設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。 ） 二、學(xué)生活動，意義建構(gòu) 互動探究點一復(fù)數(shù)的概念 問題1為解決方程x2—2=0,數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程 x2 + 1 = 0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 2 在有理數(shù)集中，萬程x 2 0無解，為此引入無理數(shù)，數(shù)集擴充到實數(shù)集。從 使得方程有解的角度來看，每一次數(shù)的概念的擴充有什么特征？（新的數(shù)集都是 一 2 在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的。）如何使方程x 1 0有解呢？ （設(shè)計意圖：通過

6、一個簡單方程解的情況的“陷阱”，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度， 同時通過如何使一系列方程解問題的“誘導(dǎo)”，使學(xué)生不斷受到數(shù)的概念的擴充的 “基本特征”的沖擊，形成思維定勢，從而使引入一個新數(shù) i使方程x2 1 0有解 的方法水到渠成，自然給出“虛數(shù)單位”的第一個“規(guī)定” 0） 問題2如何理解新引入的數(shù)i? .2 . 、一 . . . 4 .. （1） i 1 （2）實數(shù)可以與i進行四則運算，在進行四則運算時，原有的 加法與乘法的運算律（包括交換律、結(jié)合律和分配律）仍然成立。（3）由于i2<0與實 數(shù)集中a2> 0（a€ R）矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在新的數(shù)集中不再成立. （學(xué)生

7、自學(xué)課本，以填空形式完成問題 3,問題4） 問題3復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)集定義是什么？怎樣表示它們呢？（板書） 形如a bi的數(shù)，（其中a，b R）我們把它們叫做復(fù)數(shù)。全體復(fù)數(shù)所組成的集合 叫做復(fù)數(shù)集，記作Co復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z a bi（a，b R）其中a，b分別 叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部。這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。 （設(shè)計意圖：通過對數(shù)與數(shù)之間的運算特征的研究與歸納，建立復(fù)數(shù)的基本概 念） 問題4什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)？（板書） （1）對于復(fù)數(shù)z=a+ bi（a, bCR）,當(dāng) bw0時叫做虛數(shù)； （2）當(dāng)a=0 , bw0時，叫做純虛數(shù). 試試 請說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛

8、部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù).（口 答） ①2 + 3i;②—3 + 2i；③啦+i；④兀；⑤一V3i；⑥0. （設(shè)計意圖：鞏固復(fù)數(shù)的實部與虛部的概念及區(qū)分虛數(shù)、純虛數(shù)。 ） 問題5實數(shù)是復(fù)數(shù)嗎？何時為實數(shù)？復(fù)數(shù)集 C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系 根據(jù)復(fù)數(shù)中a,b的取值不同，復(fù)數(shù)可以有以下的分類：（1） 復(fù)數(shù)z a bi 實數(shù)（b 0） 虛數(shù)（b 0）（當(dāng)a 0時為純虛數(shù)） （2 ）復(fù)數(shù)集C是實數(shù)集R的真子集 問題6復(fù)數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)系？（投影） （設(shè)計意圖：鞏固復(fù)數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集概念） 典題訓(xùn)練1當(dāng)實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z=（m+1）

9、 + （m—1）i為 （1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù) （設(shè)計意圖：旨在明確復(fù)數(shù)的分類這一內(nèi)容，特別要強調(diào)純虛數(shù)的條件） 探究點二兩個復(fù)數(shù)相等（學(xué)生小組討論探究） 問題7兩個復(fù)數(shù)能否比較大?。? 問題8兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？ 復(fù)數(shù)a bi可以看成是關(guān)于i的一次二項式，類比兩個二項式相等的意義，我 們規(guī)定：兩個復(fù)數(shù)a bi與c di相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部與虛部分別相等，記 作 a bi c di （設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生合作精神，轉(zhuǎn)化思想） 典題訓(xùn)練2已知x, y均是實數(shù)，且滿足（2x—1）+i = —y —（3—y）i,求x與y. （設(shè)計意圖：對復(fù)數(shù)相等問題的研究，可

10、讓學(xué)生體會、總結(jié)復(fù)數(shù)問題的一般的處 理方法一一實數(shù)化）（實物投影，及時更正學(xué)生錯誤） x2 — x — 6 跟蹤訓(xùn)練 已知 x+1 =（x2 —2x —3）i（x eR）,求x的值 （設(shè)計意圖：及時鞏固、檢查課堂效果） 課堂檢測（限時5分鐘） 1 .已知復(fù)數(shù)z = a2—（2 —b）i的實部和虛部分別是2和3,則實數(shù)a, b的值分別 是（ ）A.業(yè) 1 B .啦，5 C .班，5 D. /2, 1 2 .下列復(fù)數(shù)中，滿足方程x2+2=0的是（ ） A.由 B.力 C . 72i D. i2i 3 .如果z=m（m^ 1） + （m2— 1）i為純虛數(shù)，則實數(shù) m的值為（ ）

11、 A. 1 B. 0 C . — 1 D. — 1 或 1 4 .已知復(fù)數(shù)a+bi與3+ （4-k） i相等，且a+bi的實部和虛部是方程x2-4x+3=0的 兩根，試求a,b,k的值。 5 .實數(shù) m為何值時，復(fù)數(shù) z=m mm^ 12 +（m2+ 2m- 3）i是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)； （3）純虛數(shù) （設(shè)計意圖：當(dāng)堂檢驗學(xué)生掌握情況，限時訓(xùn)練學(xué)生時間觀念 課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)) 今天我們與大家一起學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的有關(guān)內(nèi)容。 復(fù)數(shù)的引入實現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的 最后一次擴充。大家一定體會到了實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴充過程中 的作用，但在數(shù)學(xué)史上復(fù)數(shù)系的建立，卻是經(jīng)歷了一段曲折而漫

12、長的過程。數(shù)系 的不斷擴充體現(xiàn)了人類在數(shù)的認(rèn)識上的深化，就像人類進入太空實現(xiàn)了對宇宙認(rèn) 識的飛躍一樣，復(fù)數(shù)的引入是對數(shù)認(rèn)識的一次飛躍。我們今天都學(xué)到了什么？ (設(shè)計意圖：再一次鞏固知識點，回答了課前的疑問，達(dá)到前呼后應(yīng)的效果。 ) 課后作業(yè) 教材 P60 習(xí)題 3.1 【教后反思】 一、可取之處 (1)以人為本，以學(xué)生為主體，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。如直擊課題以及 后面的從實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾兩個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴充的基本特征，都是從學(xué) 生的角度出發(fā)，幫助學(xué)生解決頭腦中的疑問，同時注重發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性， 讓學(xué)生參與方法的總結(jié)、知識的歸納，真正讓學(xué)生成為課堂的“主人” 。

13、 (2)重視問題的設(shè)置。無論是課題的提示，還是知識的生成、規(guī)律的總結(jié)， 都能以一個個的問題為切入點，設(shè)置好適當(dāng)?shù)奶荻龋寣W(xué)生在體驗成功中提升能 力。 (3)注重數(shù)學(xué)的人文價值。本節(jié)課一開始并未直接給出虛數(shù)的定義，再用機 械重復(fù)的運算去鞏固知識，而是通過對數(shù)系擴充過程的回顧，讓學(xué)生感受人類理 性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中作用，認(rèn)識到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來自外部的實際需求也有來自數(shù) 學(xué)內(nèi)部的邏輯規(guī)律，幫助學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生與發(fā)展的過程，形成正確 的數(shù)學(xué)觀。 二、待改進之處 (1 )問題設(shè)置不夠生動。如何使問題更能激發(fā)學(xué)生的課堂積極性。 (2)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別是自主學(xué)習(xí)的能力，做得不

14、夠。課前我已經(jīng) 準(zhǔn)備了一些數(shù)學(xué)發(fā)展史的材料，這些材料如果能讓學(xué)生自己去搜集，那么學(xué)生對 這一部分知識會有更深刻的了解，但迫于平時自主學(xué)習(xí)的時間較少，扼殺了學(xué)生 的能力。 3.1.1 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念導(dǎo)學(xué)案 【教學(xué)目標(biāo)】1 . 了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程 2 .理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念 . 3 .掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件. 【教學(xué)重點】 掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件. 【教學(xué)過程】 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P60~ P62,找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)：實數(shù)系、數(shù)系的擴充脈絡(luò)

15、是： , 用集合符號表示為： 二、新課導(dǎo)學(xué) 互動探究點一復(fù)數(shù)的概念 問題1為解決方程x2=2,數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程 x2+ 1 =0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 問題2如何理解新引入的數(shù)i? 問題3復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)集定義是什么？怎樣表示它們呢? 問題4什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)? 試一試： 請說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù). ①2+ 3i ;②—3+ 2i ;③&+i ;④兀；⑤—四 ;⑥0. 問題5復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系 問題6復(fù)數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)系？ 典題訓(xùn)練1: 當(dāng)實數(shù)m為何值時

16、，復(fù)數(shù)z =（m+1） +（m- 1）i為 （1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù). 跟蹤訓(xùn)練: 當(dāng)實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z = m2+ nn- 6 卜(m2—2m)i 為 ⑴ 實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù). 互動探究點二： 兩個復(fù)數(shù)相等 問題7兩個復(fù)數(shù)能否比較大??？ 問題8兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？ 典題訓(xùn)練2：已知x, y均是實數(shù)，且滿足(2x —1) + i = —y—(3—y)i ,求x與y. .x2-x-6 c . .. 跟蹤訓(xùn)練 已知 x+1 =(x2—2x—3)i( xCR),求x的值. 三、課堂小結(jié)： 1.虛數(shù)單位i的引入 2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：

17、 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式： 復(fù)數(shù)的實部、虛部；虛數(shù)、純虛數(shù)；復(fù)數(shù)相等的充要條件 四、考一考，你過關(guān)了嗎一 1 .已知復(fù)數(shù)z = a2—(2—b)i的實部和虛部分別是2和3,則實數(shù)a, b的值分別 ( ) 「 A.隹 1 B . V2, 5 C. 隹 5 D . V2, 1 2 .下列復(fù)數(shù)中，滿足方程x2+ 2 = 0的是 ( ) A. 1 B.士i C. 1,2i D. 2i 3 .如果z=mjmn 1) + (m2- 1)i為純虛數(shù)，則實數(shù) m的值為( ) A. 1 B. 0 C. - 1 D. — 1 或 1 4 .已知復(fù)數(shù)a bi與3 (4 k)i相等，且a bi的實部、虛部分別是 2 x - 4x+3 =0方程的兩根，試求：a,b, k的值. m 2 5 實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z = -m^— +(m2+ 2m^ 3)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù); (3)純虛數(shù)