2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第二章 第一節(jié)函數及其表示 文

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1、 【金版學案】2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第二章 第一節(jié)函數及其表示 文　　 近三年廣東高考中對本章考點考查的情況 年份 題號 賦分 所考查的知識點 2011 4 5 函數的定義域 10 5 函數的新定義問題 19 14 利用導數討論含參數的函數的單調性 2012 4 5 函數的奇偶性 11 5 函數的定義域 21 14 三次函數的極值、分類討論 2013 2 5 對數函數的定義域 12 5 導數的幾何意義 21 14 三次函數的單調性、最值 1 / 8 本章內容主要包括：函

2、數的概念與表示，函數的基本性質，基本初等函數，函數的應用，導數的概念、運算及應用． 1．函數的概念、表示和函數的基本性質(單調性與最值、奇偶性、周期性)： (1)判斷兩函數是否為同一函數，確定定義域與對應關系即可． (2)用換元法求函數的解析式時，注意換元前后的等價性． (3)單調性與最值是函數的局部性質，凸顯用導數研究單調性及利用單調性求最值或求參數的取值范圍． (4)奇偶性是函數的整體性質，奇偶性、周期性的綜合運用靈活多變． 2．基本初等函數：以具體的二次函數、指數函數、對數函數、冪函數等函數的概念、性質和圖象為主要考查對象，適當考查分段函數、抽象函數． 3．函數的應用主要包

3、含：函數與方程、函數模型及應用兩部分內容． (1)對函數是否存在零點(方程是否存在實根)進行判斷或利用零點(方程實根)的存在情況求相關參數的取值范圍，是高考中常見的題目類型． (2)函數的實際應用問題，多以社會實際生活為背景，設問新穎、靈活，綜合性較強． 4．導數的概念、運算及應用． 高考總復習數學(文科)(1)導數的概念是推導基本初等函數導數公式和四則運算法則的基礎． (2)利用導數求曲線的切線方程時，一定要分清已知點是否在曲線上．另外，曲線的切線和平面幾何中圓的切線概念易混淆，曲線在點P(x0，f(x0))處的切線是曲線另一點Q無限接近點P時的極限位置，它與曲線可能還有其他公共點

4、． (3)利用公式求導時，一定要注意公式的適用范圍及符號，還要注意公式不要用混． (4)導數的應用包括函數的單調性、極值、最值等方面，單調性是關鍵，一個函數的遞增區(qū)間或遞減區(qū)間有多個時，不能盲目地將它們取并集，特別是函數的定義域不能忽略． 在選擇題和填空題中出現，主要以導數的運算、導數的幾何意義、導數的應用為主(研究函數的單調性、極值和最值等)；在解答題中，有時作為壓軸題，主要考查導數的綜合應用，往往與函數、方程、不等式、數列、解析幾何等聯系在一起，考查學生的分類討論、轉化與化歸等思想． 預測高考對本部分內容的考查，仍會以小題和大題的形式出現，小題主要考查基本初等函數的圖象、性質，幾種

5、常見函數模型在實際問題中的應用以及函數零點，函數與方程的關系等，大題主要以函數為背景，以導數為工具，考查應用導數研究函數的單調性、極值或最值問題，在函數、不等式、解析幾何等知識網絡交匯點命題． 復習本章要重點解決好五個問題： 1．準確、深刻地理解函數的有關概念． 概念是數學的基礎，而函數是數學中最主要的概念之一，函數概念貫穿在中學數學的始終．數、式、方程、不等式、導數、數列等都是以函數為中心的代數知識．近十年來，高考試題中始終貫穿著函數及其性質這條主線． 2．揭示并認識函數與其他數學知識的內在聯系． 函數是研究變量及相互聯系的數學概念，是變量數學的基礎，利用函數觀點可以從

6、較高的角度處理式、方程、不等式、數列、曲線與方程等內容． 3．把握數形結合的特征和方法． 函數圖象的幾何特征與函數性質的數量特征緊密結合，圖象有效地揭示了各類函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性．因此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數圖象的平移變換、對稱變換、伸縮變換． 4．認識函數思想的實質，強化應用意識． 函數思想的實質就是用聯系與變化的觀點提出數學對象，抽象數量特征，建立函數關系，使問題得以解決．縱觀近幾年高考題，考查函數思想方法，尤其是應用題力度加大，因此一定要認識函數思想的實質，強化應用意識． 5．運用好導數

7、這一銳利武器． 應始終把握對導數概念的認識、計算及應用這條主線．復習應側重概念、公式、法則在各方面的應用，應淡化某些公式、法則的理論推導，應立足基礎知識和基本方法的復習，以熟練技能、強化應用為目標．學會優(yōu)先考慮利用導數求函數的極大(小)值、最大(小)值或解決應用問題，這些問題是函數內容的繼續(xù)與延伸，這種方法使復雜問題簡單化．導數與解析幾何或函數圖象的綜合問題，尤其是拋物線與三次函數的切線問題，是高考中考查綜合能力的一個方向，應引起注意． 第一節(jié)　函數及其表示 1．了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念． 2．在實際情境中，會根據不同的需要

8、選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數． 3．了解簡單的分段函數，并能簡單應用． 知識梳理 一、函數與映射的概念 函數 映射 兩集合 A、B 設A、B是兩個________ 設A、B是兩個________ 對應關系 f：A→B 如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的______一個數x，在集合B中有______確定的數f(x)和它對應 如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的______一個元素x，在集合B中有________的元素y與之對應 名稱 稱________為從集合A到集合B的一個函數

9、 稱對應________為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)，x∈A，x∈B 對應f：A→B是一個映射 二、函數的表示 1．函數的表示方法． 表示函數的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種． (1)解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式． (2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系． (3)圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系． 2．函數解析式的常用求法． (1)配湊法；(2)換元法；(3)待定系數法；(4)賦值法． 三、函數定義域的確定 1．定義域是函數的靈魂，因此在研究函

10、數時一定要遵循“定義域優(yōu)先”的原則． 確定函數的定義域的原則是： (1)當函數y＝f(x)是用表格給出時，函數的定義域是指表格中實數x的集合； (2)當函數y＝f(x)是用圖象給出時，函數的定義域是指圖象在x軸上投影所覆蓋的實數x的集合； (3)當函數y＝f(x)是用解析式給出時，函數的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數x的集合； (4)當y＝f(x)是由實際問題給出時，函數的定義域由實際問題的意義確定． 基礎自測 1．下列圖形中不能作為函數圖象的是(　　) 解析：根據函數定義，定義域內任何一個x取值，都有且只有唯一的y＝f(x)與之對應，故選D. 答案：D

11、 2．設A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，則f：A→B不是函數的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 解析：因為x∈A，y＝x∈[0,3]，而B＝{y|y∈[0,2]}．由函數定義可知，對于6∈A，在集合B中找不到其對應元素3，故f：x→y＝x不是函數．故選A. 答案：A 3．(2013浙江卷文11改編)已知函數f(x)＝.若f(a)＝2，則實數a＝(　　) A. B．－3 C. 3或－3 D.或－ 解析：因為f(x)＝，且f(a)＝2，所以＝2，即a2＝9，

12、所以a＝3或－3.故選C. 答案：C 4. (2013東莞城南中學月考)若函數f(x)＝，則f(x)的定義域是__________. 解析：1－log2x≥0，所以log2x≤1，得0＜x≤2，即定義域為(0,2]． 答案：(0,2] 2.由解析式表示的函數的定義域的求法． (1)若f(x)是整式，則函數的定義域是實數集R； (2)若f(x)是分式，則函數的定義域是使分母不等于0的實數集； (3)若f(x)是二次(偶次)根式，則函數的定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數集合； (4)若f(x)是對數式，則函數的定義域是使真數的式子大于0且底數大于0并不等于1的

13、實數集合； (5)若f(x)是指數式，則零指數冪的底數不等于零； (6)若f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合； (7)含參問題的定義域要分類討論． 四、分段函數 1．分段函數的定義：在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數，叫做分段函數．它是一類較特殊的函數． 2．分段函數是一個函數，而不是幾個函數．若函數為分段函數，則分別求出每一段上的解析式，再合在一起． 3．因分段函數在其定義域內的不同子集上，其對應法則不同而分別用不同的式子來表示，因此在求函數值時，一定要注意自變量的值所在的子集，而代入相應的

14、解析式去求函數值，不要代錯解析式． 4．分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集． 一、非空數集　非空集合　任意　唯一　任意　唯一確定　f：A→B　f：A→B , 1．(2013山東卷)函數f(x)＝＋的定義域為(　　) 　 　　　　　　　　 　　　　 　　 A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 解析：由題意解得－3＜x≤0，故選A. 答案：A 2．(2013新課標全國I卷)已知函數f(x)＝若|f(x)

15、|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 解析：∵|f(x)|＝ ∴由|f(x)|≥ax得，且由可得a≥x－2，則a≥－2，排除A、B， 當a＝1時，易證ln(x＋1)