2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第十一章 第三節(jié) 隨機抽樣與用樣本估計總體 Word版含答案

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1、 第三節(jié)第三節(jié)隨機抽樣與用樣本估計總體隨機抽樣與用樣本估計總體 1.簡簡單隨機抽樣單隨機抽樣 (1)抽取方式：逐個不放回抽?。怀槿》绞剑褐饌€不放回抽??； (2)特點：每個個體被抽到的概率相等；特點：每個個體被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽簽法和常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法隨機數(shù)法. 利用隨機數(shù)表抽樣時，利用隨機數(shù)表抽樣時，選定的初始數(shù)和讀數(shù)的方向是任意的；選定的初始數(shù)和讀數(shù)的方向是任意的；對各個個體編號要對各個個體編號要視總體中的個體數(shù)情況而定，且必須保證所編號碼的位數(shù)一致視總體中的個體數(shù)情況而定，且必須保證所編號碼的位數(shù)一致. 2.分層抽樣分層抽樣 (1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層

2、，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣. (2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣. 利利用分層抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，則應(yīng)當(dāng)調(diào)整各層用分層抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，則應(yīng)當(dāng)調(diào)整各層容量，即先剔除各層中容量，即先

3、剔除各層中“多余多余”的個體的個體. 3.系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣 (1)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體. (2)系統(tǒng)抽樣的步驟系統(tǒng)抽樣的步驟 假設(shè)要從容量為假設(shè)要從容量為 N 的總體中抽取容量為的總體中抽取容量為 n 的樣本的樣本. 先將總體的先將總體的 N 個個體編號；個個體編號； 確定分段間隔確定分段間隔 k，對編號進行分段，對編號進行分段.當(dāng)當(dāng)Nn(n 是樣本容量是樣本容量)是整數(shù)時，取是整數(shù)時，取 kNn； 在第在第 1 段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號 l(lk)； 按照一定的規(guī)則抽取樣本按照一定的規(guī)則抽取樣

4、本.通常是將通常是將 l 加上間隔加上間隔 k 得到第得到第 2 個個體個個體編號編號 lk，再加，再加 k 得得到第到第 3 個個體編號個個體編號 l2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本，依次進行下去，直到獲取整個樣本. 4.作頻率分布直方圖的步驟作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)； (2)決定組距與組數(shù)；決定組距與組數(shù)； (3)將數(shù)據(jù)分組；將數(shù)據(jù)分組； (4)列頻率分布表；列頻率分布表； (5)畫頻率分布直方圖畫頻率分布直方圖. 5.頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連接頻

5、率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折 線圖線圖. (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線體密度曲線. 6.莖葉圖莖葉圖 統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就

6、是從莖的旁邊生長出來的數(shù)旁邊生長出來的數(shù). 7.標(biāo)準(zhǔn)差和方差標(biāo)準(zhǔn)差和方差 (1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離. (2)標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差： s 1n x1 x 2 x2 x 2 xn x 2. (3)方差：方差：s21n(x1 x )2(x2 x )2(xn x )2 (xn是樣本數(shù)據(jù)，是樣本數(shù)據(jù)，n 是樣本容量，是樣本容量， x 是樣本平均數(shù)是樣本平均數(shù)). 1.標(biāo)準(zhǔn)差與方差的特點標(biāo)準(zhǔn)差與方差的特點 反映了各個樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度反映了各個樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 方差方差 越小，表明各個樣本數(shù)越小，表明各個樣

7、本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差 方差方差 越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散散. 2.平均數(shù)、方差的公式推廣平均數(shù)、方差的公式推廣 1 若數(shù)據(jù)若數(shù)據(jù) x1，x2，xn的平均數(shù)為的平均數(shù)為xto(x)，那么，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的平均數(shù)是的平均數(shù)是 mxto(x)a., 2 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) x1，x2，xn的方差為的方差為 s2.,數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) x1a，x2a，xna 的方差也為的方差也為 s2；,數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) ax1，ax2，axn的方差為的方差為 a2s2. 小題查驗基礎(chǔ)小題查驗基礎(chǔ) 一

8、、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊保e的打，錯的打“”“”) (1)在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次被抽到的在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次被抽到的可能性最大可能性最大.( ) (2)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).( ) (3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.( ) (4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小

9、的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次據(jù)可以只記一次.( ) (5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù).( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、選填題二、選填題 1.為了了解某地參加計算機水平測試的為了了解某地參加計算機水平測試的 5 000 名學(xué)生的成績，從中抽取了名學(xué)生的成績，從中抽取了 200 名學(xué)生的成名學(xué)生的成 績進行統(tǒng)計分析績進行統(tǒng)計分析.在這個問題中，這在這個問題中，這 200 名學(xué)生成績的全體是名學(xué)生成績的全體是( ) A.總體總體 B.個體個體 C.從總

10、體中抽取的一個樣本從總體中抽取的一個樣本 D.樣本容量樣本容量 解析：解析：選選 C 根據(jù)隨機抽樣的概念可知選根據(jù)隨機抽樣的概念可知選 C. 2.某學(xué)校為調(diào)查高三年級的某學(xué)校為調(diào)查高三年級的 240 名學(xué)生完成課后作業(yè)所需的時間， 采取了兩種抽樣調(diào)查方名學(xué)生完成課后作業(yè)所需的時間， 采取了兩種抽樣調(diào)查方式：第一種由學(xué)式：第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機抽取生會的同學(xué)隨機抽取 24 名同學(xué)進行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對高三年級的學(xué)生名同學(xué)進行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對高三年級的學(xué)生進行編號，從進行編號，從 001 到到 240，抽取學(xué)號最后一位為，抽取學(xué)號最后一位為 3 的同學(xué)進行調(diào)查，則這兩種抽樣方法依次為的

11、同學(xué)進行調(diào)查，則這兩種抽樣方法依次為( ) A.分層抽樣，簡單隨機抽樣分層抽樣，簡單隨機抽樣 B.簡單隨機抽樣，分層抽樣簡單隨機抽樣，分層抽樣 C.分層抽樣，系統(tǒng)抽樣分層抽樣，系統(tǒng)抽樣 D.簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣 解析：解析：選選 D 由三種抽樣方法的定義可知，題中第一種方法為簡單隨機抽樣，第二種為由三種抽樣方法的定義可知，題中第一種方法為簡單隨機抽樣，第二種為系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣. 3.為評估一種農(nóng)作物的種植效果， 選了為評估一種農(nóng)作物的種植效果， 選了 n 塊地作試驗田塊地作試驗田.這這 n 塊地的畝產(chǎn)量塊地的畝產(chǎn)量(單位：單位： kg)分別分別為為 x1，x2，xn，下

12、面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是量穩(wěn)定程度的是( ) A.x1，x2，xn的平均數(shù)的平均數(shù) B.x1，x2，xn的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差 C.x1，x2，xn的最大值的最大值 D.x1，x2，xn的中位數(shù)的中位數(shù) 解析：解析：選選 B 統(tǒng)計問題中，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的指標(biāo)為數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計問題中，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的指標(biāo)為數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選故選 B. 4.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 334，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量

13、為高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取_名學(xué)生名學(xué)生. 解析：解析：設(shè)應(yīng)從高二年級抽取設(shè)應(yīng)從高二年級抽取 x 名學(xué)生，則名學(xué)生，則x50310， 解得解得 x15. 答案：答案：15 5.如圖是某班如圖是某班 8 位學(xué)生詩詞比賽得分的莖葉圖，那么這位學(xué)生詩詞比賽得分的莖葉圖，那么這 8 位學(xué)位學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為_. 解析：解析： 依題意， 結(jié)合莖葉圖， 將題中的數(shù)由小到大依次排列得到：依題意， 結(jié)合莖葉圖， 將題中的數(shù)由小到大依次排列得到： 86,86,90,91,93,93,93,96，因此這因此這 8

14、 位學(xué)生得分的眾數(shù)是位學(xué)生得分的眾數(shù)是 93，中位數(shù)是，中位數(shù)是9193292. 答案答案：93 92 考點一考點一 抽樣方法抽樣方法基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān) 題組練透題組練透 1.利用簡單隨機抽樣，從利用簡單隨機抽樣，從 n 個個體中抽取一個容量為個個體中抽取一個容量為 10 的樣本的樣本.若第二次抽取時，余下的若第二次抽取時，余下的 每個個體被抽到的概率為每個個體被抽到的概率為13，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為( ) A.14 B.13 C.514 D.1027 解析：解析：選選 C 根根據(jù)題意，據(jù)題意，9n113，解得，解得 n2

15、8. 故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為1028514. 2.福利彩票福利彩票“雙色球雙色球”中紅球的號碼可以從中紅球的號碼可以從 01,02,03， ， 32,33 這這 33 個兩位號碼中選取，個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數(shù)表選取紅色球的小明利用如下所示的隨機數(shù)表選取紅色球的 6 個號碼，選取方法是從第個號碼，選取方法是從第 1 行第行第 9 列的數(shù)字開列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個被選中的紅色球的號碼為始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個被選中的紅色球的號碼為( ) 81 47 23 68 63 93 17 90 12

16、 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12 B.33 C.06 D.16 解析：解析： 選選 C 被選中的紅色球的號碼依次為被選中的紅色球的號碼依次為 17,12,33,06,32,22.所以第四個被選中的紅色球所以第四個被選中的紅色球的號碼為的號碼為 06. 3.利用系統(tǒng)抽樣法從編號分別為利用系統(tǒng)抽樣法從編號分別為 1,2,3，80 的的 80 件不同產(chǎn)品中抽取一個容量為件不同產(chǎn)品中抽取一個容量為 16

17、的的樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號為樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號為 13，則抽到產(chǎn)品的最大編號為，則抽到產(chǎn)品的最大編號為( ) A.73 B.78 C.77 D.76 解析：解析：選選 B 樣本的分段間隔為樣本的分段間隔為80165，所以，所以 13 號在第三組，則最大的編號為號在第三組，則最大的編號為 13(163)578. 4.某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有 20 000 人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示： 最喜愛最喜

18、愛 喜愛喜愛 一般一般 不喜歡不喜歡 4 800 7 200 6 400 1 600 電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取 100 人進行詳細的調(diào)查，為此要人進行詳細的調(diào)查，為此要進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應(yīng)抽取進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為的人數(shù)分別為( ) A.25,25,25,25 B.48,72,64,16 C.20,40,30,10 D.24,36,32,8 解析：解析： 選選 D 因為抽樣比為因為抽樣比為10020 0001200， 所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為所以每類人中應(yīng)抽取

19、的人數(shù)分別為 4 8001200 24,7 200120036，6 400120032,1 60012008. 5.為了了解高一、 高二、 高三學(xué)生的身體狀況， 現(xiàn)用分層為了了解高一、 高二、 高三學(xué)生的身體狀況， 現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為抽樣的方法抽取一個容量為 1 200的樣本，三個年級學(xué)生人數(shù)之比依次為的樣本，三個年級學(xué)生人數(shù)之比依次為 k53，已知高一年級共抽取了，已知高一年級共抽取了 240 人，則高三年級人，則高三年級抽取的人數(shù)為抽取的人數(shù)為_. 解析：解析：因為高一年級抽取學(xué)生的比例為因為高一年級抽取學(xué)生的比例為2401 20015，所以，所以kk5315，解得，解得 k

20、2，故高三，故高三年級抽取的人數(shù)為年級抽取的人數(shù)為 1 2003253360. 答案：答案：360 名師微點名師微點 1. .應(yīng)用隨機數(shù)法的兩個關(guān)鍵點應(yīng)用隨機數(shù)法的兩個關(guān)鍵點 (1)確定以表中的哪個數(shù)確定以表中的哪個數(shù)(哪行哪列哪行哪列)為起為起點，以哪個方向為讀數(shù)的方向；點，以哪個方向為讀數(shù)的方向； (2)讀數(shù)時注意結(jié)合編號特點進行讀取，若編號為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀取，若編號讀數(shù)時注意結(jié)合編號特點進行讀取，若編號為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀取，若編號為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)

21、字舍去，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本去，直到獲取整個樣本. 2.解決分層抽樣題的關(guān)鍵解決分層抽樣題的關(guān)鍵 先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù)先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù).常用公式：常用公式： (1)抽樣比抽樣比樣本容量樣本容量總體容量總體容量各層樣本容量各層樣本容量各層個體總量各層個體總量； (2)層層 1 的容量的容量層層 2 的容量的容量層層 3 的容量樣本中層的容量樣本中層 1 的容量的容量樣本中層樣本中層 2 的容量的容量樣樣本中層本中層 3 的的容量容量. 考點二考點二 頻率分布直方圖的應(yīng)用頻率分布直方圖的應(yīng)用師生共

22、研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn) x(噸噸)，一位居民的月用水量不超過，一位居民的月用水量不超過 x 的部分按的部分按平價收費，超出平價收費，超出 x 的部分按議價收費的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年 100 位位居民每人的月均用水量居民每人的月均用水量(單位：噸單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照，將數(shù)

23、據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成分成 9 組，制成了組，制成了如圖所示的頻率分布直方如圖所示的頻率分布直方圖圖. (1)求直方圖中求直方圖中 a 的值；的值； (2)設(shè)該市有設(shè)該市有 30 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 3 噸的人數(shù)，并說明理由；噸的人數(shù)，并說明理由； (3)若該市政府希望使若該市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn) x(噸噸)， 估計， 估計 x 的值， 并說明理的值， 并說明理由由. 解解 (1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5)中

24、中的頻率為的頻率為 0.080.50.04， 同理，在同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5中的頻率分別為中的頻率分別為 0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02. 由由 0.040.080.5a0.200.260.5a0.060.040.021， 解得解得 a0.30. (2)由由(1)可知，可知，100 位居民中每人月均用水量不低于位居民中每人月均用水量不低于 3 噸的頻率為噸的頻率為 0.060.040.020.12. 根據(jù)樣本中的頻率，可以估計全市根據(jù)樣本中的頻率，可以估計全市 30 萬居民中月均用水量不低于萬居民中月

25、均用水量不低于 3 噸的噸的人數(shù)為人數(shù)為 300 0000.1236 000. (3)因為前因為前 6 組的頻率之和為組的頻率之和為 0.040.080.150.200.260.150.880.85， 前前 5 組的頻率之和為組的頻率之和為 0.040.080.150.200.260.730.85， 所以所以 2.5x3. 由由 0.30(x2.5)0.850.73， 解得解得 x2.9. 所以估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為所以估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為 2.9 噸時，噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn). 解題技法解題技法 1.謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)公式謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)

26、公式 (1)直方圖中各小長方形的面積之和為直方圖中各小長方形的面積之和為 1. (2)直方圖直方圖中縱軸表示中縱軸表示頻率頻率組距組距，故每組樣本的頻率為組距，故每組樣本的頻率為組距頻率頻率組距組距，即矩形的面積，即矩形的面積. (3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總數(shù)總數(shù). 2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算 (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù). (2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的. (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的平均數(shù)是頻率分布直方

27、圖的“重心重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和. 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1.(2019 貴陽模擬貴陽模擬)在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中， 將三個年級參賽學(xué)生的成績進行整理在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中， 將三個年級參賽學(xué)生的成績進行整理后后分為分為 5 組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是 40，則成績在，則成績在

28、 80100 分的學(xué)生人數(shù)是分的學(xué)生人數(shù)是( ) A.15 B.18 C.20 D.25 解析：解析：選選 A 根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是是 0.040100.4，頻數(shù)是頻數(shù)是 40，樣本容量是樣本容量是400.4100，又成績在，又成績在 80100 分的頻率是分的頻率是(0.0100.005)100.15，成績在成績在80100 分的學(xué)生人數(shù)是分的學(xué)生人數(shù)是 1000.1515. 2.某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機抽查了某市某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機抽查了某市 200 名網(wǎng)友在名網(wǎng)友在 2018 年年 11 月月 11 日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)

29、如下表：據(jù)如下表： 網(wǎng)購金額網(wǎng)購金額(單位：千元單位：千元) 人數(shù)人數(shù) 頻率頻率 (0,1 16 0.08 (1,2 24 0.12 (2,3 x p (3,4 y q (4,5 16 0.08 (5,6 14 0.07 總計總計 200 1.00 已知網(wǎng)購金額不超過已知網(wǎng)購金額不超過 3 千元與超過千元與超過 3 千元的人數(shù)比恰為千元的人數(shù)比恰為 32. (1)試確定試確定 x，y，p，q 的值，并補全頻率分布直方圖的值，并補全頻率分布直方圖(如圖如圖)； (2)該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，從這該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，從這 200 名網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從名網(wǎng)友中

30、，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在網(wǎng)購金額在(1,2和和(4,5的兩個群體中確定的兩個群體中確定 5 人進行問卷調(diào)查， 若需從這人進行問卷調(diào)查， 若需從這 5 人中隨機選取人中隨機選取 2 人繼人繼續(xù)訪談，則此續(xù)訪談，則此 2 人來自不同群體的概率是多少？人來自不同群體的概率是多少？ 解：解：(1)根據(jù)題意有根據(jù)題意有 1624xy1614200，1624xy161432， 解得解得 x80，y50，p0.40，q0.25. 補全頻率分布直方圖如圖所示補全頻率分布直方圖如圖所示. (2)根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購金額在根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購金額在(1,2內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為 24241653(人人). 抽取網(wǎng)

31、購金額在抽取網(wǎng)購金額在(4,5內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為16241652(人人). 故此故此 2 人來自不同群體的概率人來自不同群體的概率 PC13C12C2535. 考點三考點三 莖葉圖的應(yīng)用莖葉圖的應(yīng)用師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 某良種培育基地正在培育一小麥新品種某良種培育基地正在培育一小麥新品種 A， 將其與原有的一個優(yōu)良品種， 將其與原有的一個優(yōu)良品種 B 進行對照試驗，進行對照試驗，兩種小麥各種植了兩種小麥各種植了 25 畝，所得畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)畝，所得畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)(單位：千克單位：千克)如下如下. 品種品種 A： 357,359,367,368,375,388,392,399

32、,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品種品種 B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (1)作出品種作出品種 A 與與 B 畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)的莖葉圖；畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)的莖葉圖； (2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？ (3)通過觀察莖葉圖，對品種通過觀察莖葉圖，對品種 A 與與 B 的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進

33、行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論. 解解 (1)畫出莖葉圖如圖所示畫出莖葉圖如圖所示. (2)由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有由于每個品種的數(shù)據(jù)都只有 25 個，樣本容量不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅個，樣本容量不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且可以隨時記錄新的清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù). (3)通過觀察莖葉圖可以看出：通過觀察莖葉圖可以看出：品種品種 A 的畝產(chǎn)量的平均數(shù)的畝產(chǎn)量的平均數(shù)(或均值或均值)比品種比品種 B 高；高；品種品種A

34、的畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差的畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差或方差)比品種比品種 B 大，故品種大，故品種 A 的畝產(chǎn)量的穩(wěn)定性較差的畝產(chǎn)量的穩(wěn)定性較差. 解題技法解題技法 莖葉圖的使用策略莖葉圖的使用策略 (1)莖葉圖的繪制需注莖葉圖的繪制需注意：意： “葉葉”的位置只有一個數(shù)字，而的位置只有一個數(shù)字，而“莖莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一； 重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉葉”的位置上的數(shù)據(jù)的位置上的數(shù)據(jù). (2)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可

35、以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)據(jù).通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等據(jù)分布是否均勻等. 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、 乙兩組各如圖所示的莖葉圖記錄了甲、 乙兩組各 5 名工人某日的產(chǎn)名工人某日的產(chǎn)量量數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(單位：件單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則則x 和和 y 的值分別為的值分別為( ) A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7 解析：解析：選選 A

36、甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得 y5.又甲、又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等， 15(5665627470 x)15(5961676578)，x3.故選故選 A. 2.某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分如莖葉圖所示某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分如莖葉圖所示.下列結(jié)論錯誤的是下列結(jié)論錯誤的是( ) A.乙運動員得分的中位數(shù)是乙運動員得分的中位數(shù)是 36 B.甲運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性比乙運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性差甲運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性比乙運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性差 C.甲運動員的平均分為甲運動員的平均

37、分為 27 分分 D.乙運動員的得分有乙運動員的得分有613集中在莖集中在莖 3 上上 解析：解析：選選 C 從莖葉圖知，從莖葉圖知，A、D 是正確的，乙運動員的得分較集中，甲運動員得分較分是正確的，乙運動員的得分較集中，甲運動員得分較分散，故散，故 B 是正確的，甲運動員得分的平均分為是正確的，甲運動員得分的平均分為2901127.故選故選 C. 考點四考點四 用樣本的數(shù)字特征估計用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征總體的數(shù)字特征師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的 400 名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)

38、男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了方法從中隨機抽取了 100 名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按20,30)，30,40)，80,90分成分成 7 組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)估計總體的眾數(shù)；估計總體的眾數(shù)； (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于已知樣本中分?jǐn)?shù)小于 40 的學(xué)生有的學(xué)生有 5 人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；內(nèi)的人數(shù)； (3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于 70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男

39、女學(xué)生人數(shù)相的男女學(xué)生人數(shù)相等等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例. 解解 (1)由頻率分布直方圖可估計總體的眾數(shù)為由頻率分布直方圖可估計總體的眾數(shù)為7080275. (2)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間50,90)內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為(0.010.020.040.02)1010090. 因為樣本中分?jǐn)?shù)小于因為樣本中分?jǐn)?shù)小于 40 的學(xué)生有的學(xué)生有 5 人，人， 所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為 1009055. 設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人

40、數(shù)為 x， 則則5100 x400，解得，解得 x20， 故估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間故估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為 20. (3)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的人數(shù)為的人數(shù)為(0.040.02)1010060. 因為樣本中分?jǐn)?shù)不小于因為樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男女學(xué)生人數(shù)相等，的男女學(xué)生人數(shù)相等， 所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男生人數(shù)為的男生人數(shù)為 30. 因為樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小因為樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于于70，所以樣本中男生的人數(shù)為，所以樣本中男生的人數(shù)為60，女生的人數(shù)為，女生

41、的人數(shù)為40. 由樣本估計總體，得總體中男生和女生人數(shù)的比例約為由樣本估計總體，得總體中男生和女生人數(shù)的比例約為 32. 解題技法解題技法 利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù) (1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定程度越小，越穩(wěn)定. (2)用樣本估計總體就是利

42、用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征. 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 5 次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則( ) A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析：解析：選選 C 甲的平均數(shù)是甲

43、的平均數(shù)是4567856，中位數(shù)是，中位數(shù)是 6，極差是，極差是 4，方差是，方差是 2 2 1 202122252；乙的平均數(shù)是；乙的平均數(shù)是5556956，中位數(shù)是，中位數(shù)是 5，極差是，極差是 4，方，方差是差是 1 2 1 2 1 202325125，比較可得選項，比較可得選項 C 正確正確. 2.已知一組數(shù)據(jù)已知一組數(shù)據(jù) x1， x2， x3， x4， x5的方差是的方差是2， 則數(shù)據(jù)， 則數(shù)據(jù) 2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標(biāo)準(zhǔn)差為的標(biāo)準(zhǔn)差為_. 解析：解析：由由 s21ni1n (xi x )22，則數(shù)據(jù)，則數(shù)據(jù) 2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是的方差是

44、8，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 2 2. 答案：答案：2 2 3.甲、乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績甲、乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績(單位：分單位：分)如圖所示：如圖所示： (1)分別求出甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差；分別求出甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)根據(jù)(1)的結(jié)果，對兩人的成績作出評價的結(jié)果，對兩人的成績作出評價. 解：解：(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：甲：10 分，分，13 分，分，12 分，分，14 分，分，16 分；分； 乙：乙：13 分，分，14 分，分，12 分，分，12 分，分，14 分分. x甲甲1013121416513, x乙乙1314121214513， s2甲甲15(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24， s2乙乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8. (2)由由 s2甲甲s2乙乙，可知乙的成績較穩(wěn)定，可知乙的成績較穩(wěn)定. 從題圖看，甲的成績基本呈上升趨勢，而乙的成績上下波動，因此甲的成績在不斷提高，從題圖看，甲的成績基本呈上升趨勢，而乙的成績上下波動，因此甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高而乙的成績則無明顯提高.