2020版高考理科數學人教版一輪復習講義：第四章 第四節(jié) 函數y＝Asinωx＋φ的圖象及三角函數模型的簡單應用 Word版含答案

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1、 第四節(jié)第四節(jié)函數函數 yAsin(x)的圖象及三角函數模型的簡單應用的圖象及三角函數模型的簡單應用 1函數函數 yAsin(x)的有關概念的有關概念 yAsin(x) (A0，0) 振幅振幅 周期周期 頻率頻率 相位相位 初相初相 A T2 f1T2 x 2.用五點法畫函數用五點法畫函數 yAsin(x)一個周期內的簡圖一個周期內的簡圖 用五點法畫函數用五點法畫函數 yAsin(x)(A0，0)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示：如下表所示： x 0 2 32 2 x 2 32 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 五點法作圖的步驟五點法作

2、圖的步驟 用用“五點法五點法”作函數作函數 yAsin(x)的簡圖，精的簡圖，精髄髄是通過變量代換是通過變量代換，設，設 zx，由，由 z取取 0，2，32，2 來求出相應的來求出相應的 x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象，其，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象，其中相鄰兩中相鄰兩點的橫向距離均為點的橫向距離均為T4. 3由函數由函數 ysin x 的圖象通過變換得到的圖象通過變換得到 yAsin(x)(A0，0)的圖象的兩種方法的圖象的兩種方法 兩種變換的聯(lián)系與區(qū)別兩種變換的聯(lián)系與區(qū)別 聯(lián)系：聯(lián)系：兩種變換方法都是針對兩種變換方法都是針對 x 而言的，即而言的，即 x 本

3、身加減多少，而不是本身加減多少，而不是 x 加減多少加減多少 區(qū)別：區(qū)別：先平移變換先平移變換(左右平移左右平移)再周再周期變換期變換(伸縮變換伸縮變換)，平移的量是，平移的量是|個單位，而先周期變個單位，而先周期變換換(伸縮變換伸縮變換)再平移變換再平移變換(左右平移左右平移)，平移的量是，平移的量是 個單位個單位 小題查驗基礎小題查驗基礎 一、判斷題一、判斷題(對的打對的打“”，錯的打，錯的打“”“”) (1)利用圖象變換作圖時利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮先平移，后伸縮”與與“先伸縮，后平移先伸縮，后平移”中平移的長度一中平移的長度一致致( ) (2)把函數把函數 ysin x 的圖

4、象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的12，所得圖象對應的函，所得圖象對應的函數解析式為數解析式為 ysin12x.( ) (3)函數函數 yAcos(x)的最小正周期為的最小正周期為 T，那么函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距，那么函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為離為T2.( ) (4)由圖象求函數解析式時，振幅由圖象求函數解析式時，振幅 A 的大小是由一個周期內圖象中最高點的值與最低點的的大小是由一個周期內圖象中最高點的值與最低點的值確定的值確定的( ) 答案答案：(1) (2) (3) (4) 二、選填題二、選填題 1函數函數 y2sin

5、2x4的振幅、頻率和初相分別為的振幅、頻率和初相分別為( ) A2，1，4 B2，12，4 C2，1，8 D2，12，8 解析：解析：選選 A 由振幅、頻率和初相的定義可知，函數由振幅、頻率和初相的定義可知，函數 y2sin 2x4的振幅為的振幅為 2，頻率為，頻率為1，初相為，初相為4. 2為了得到函數為了得到函數 y2sin 2x3的圖象，可以將函數的圖象，可以將函數 y2sin 2x 的圖象的圖象( ) A向右平移向右平移6個單位長度個單位長度 B向右平移向右平移3個單位長度個單位長度 C向左平移向左平移6個單位長度個單位長度 D向左平移向左平移3個單位長度個單位長度 解析：解析：選選

6、A 函數函數 y2sin 2x32sin 2 x6，可由函數，可由函數 y2sin 2x 的圖象向右平移的圖象向右平移6個單位長度得到個單位長度得到 3用五點法作函數用五點法作函數 ysin x6在一個周期內的圖象時，主要確定的五個點是在一個周期內的圖象時，主要確定的五個點是_、_、_、_、_. 答案：答案： 6，0 23，1 76，0 53，1 136，0 4.函數函數 yAsin(x)(A， 為常數，為常數，A0，0)在閉區(qū)間在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所上的圖象如圖所 示，則示，則 _. 答案：答案：3 5將函數將函數 y2sin 2x6的圖象向右平移的圖象向右平移14個周期后，所得圖象對應

7、的函數解析式為個周期后，所得圖象對應的函數解析式為_ 解析：解析： 函數函數 y2sin 2x6的最小正周期為的最小正周期為 ， 將函數， 將函數 y2sin 2x6的圖象向右平移的圖象向右平移14個個周期即周期即4個單位長度，所得函數為個單位長度，所得函數為 y2sin 2 x462sin 2x3. 答案答案：y2sin 2x3 考點一考點一 函數函數yAsin x 的圖象及變換的圖象及變換師生共研過關師生共研過關 典例精析典例精析 某同學用某同學用“五點法五點法”畫函數畫函數 f(x)Asin(x) 0，|2在某一個周期內的圖象時，在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：列表

8、并填入了部分數據，如下表： x 0 2 32 2 x 3 56 f(x)Asin(x) 0 5 5 0 (1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數請將上表數據補充完整，并直接寫出函數 f(x)的解析式；的解析式； (2)將函數將函數 yf(x)圖象上所有點向左平行移動圖象上所有點向左平行移動 (0)個單位長度，個單位長度，得到函數得到函數 yg(x)的圖的圖象若函數象若函數 yg(x)圖象的一個對稱中心為圖象的一個對稱中心為 512，0 ，求，求 的最小值；的最小值； (3)作出函數作出函數 f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象 解解 (1)根據表中已知數據

9、，解得根據表中已知數據，解得 A5，2，6，數據補全如下表：，數據補全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 f(x)Asin(x) 0 5 0 5 0 且函數且函數 f(x)的解析式為的解析式為 f(x)5sin 2x6. (2)由由(1)知知 f(x)5sin 2x6， 則則 g(x)5sin 2x26. 因因為函數為函數 ysin x 圖象的對稱中心為圖象的對稱中心為(k，0)，kZ， 令令 2x26k，kZ， 解得解得 xk212，kZ. 由于函數由于函數 yg(x)的圖象關于點的圖象關于點 512，0 成中心對稱，成中心對稱， 所以令所以令k212512

10、，kZ， 解得解得 k23，kZ. 由由 0 可知，當可知，當 k1 時，時， 取得最小值取得最小值6. (3)由數據作出函數由數據作出函數 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 12，1312上的圖象如圖所示，上的圖象如圖所示， 解題技法解題技法 函數函數 yAsin(x)(A0，0)的圖象變換的的注意點的圖象變換的的注意點 常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移值得注意的是，對于三角函數圖象常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移值得注意的是，對于三角函數圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量，并且在變換過程中只

11、變換自變量 x，如，如果果 x 的系數不是的系數不是 1，那么需把，那么需把 x 的系數提取后再確定平移的單位和方向的系數提取后再確定平移的單位和方向 過關訓練過關訓練 1 (2017 全國卷全國卷)已知曲線已知曲線 C1： ycos x， C2： ysin 2x23， 則下面結論正確的是， 則下面結論正確的是( ) A把把 C1上各點的橫坐標伸長到原上各點的橫坐標伸長到原來的來的 2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移6個個單位長度，得到曲線單位長度，得到曲線 C2 B 把 把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的上各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍， 縱坐

12、標不變， 再把得到的曲線向左平移倍， 縱坐標不變， 再把得到的曲線向左平移12個個單位長度，得到曲線單位長度，得到曲線 C2 C把把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移6個個單位長度，得到曲線單位長度，得到曲線 C2 D把把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個個單位單位長度，得到曲線長度，得到曲線 C2 解析：解析：選選 D 易知易知 C1：ycos xsin x2，把曲線，把曲線 C1

13、上的各點的橫坐標縮短到原來的上的各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，得到函數倍，縱坐標不變，得到函數 ysin 2x2的圖象，再把所得函數的圖象向左平移的圖象，再把所得函數的圖象向左平移12個單位長個單位長度，可得函數度，可得函數 ysin 2 x122sin 2x23的圖象，即曲線的圖象，即曲線 C2.故選故選 D. 2 若 若 0， 函數， 函數 ycos x3的圖象向右平移的圖象向右平移3個單位長度后與函數個單位長度后與函數 ysin x 的圖象的圖象重合，則重合，則 的最小值為的最小值為_ 解析：解析： 將函數將函數 ycos x3的圖象向右平移的圖象向右平移3個單位長度， 得

14、到函數個單位長度， 得到函數 ycos x33的圖象因為所得函數圖象與函數的圖象因為所得函數圖象與函數 ysin x 的圖象重合，所以的圖象重合，所以33322k(kZ)，解得解得 726k(kZ)，因為，因為 0，所以當，所以當 k1 時，時， 取得最小值取得最小值52. 答案：答案：52 考點二考點二 由圖象求函數由圖象求函數yAsin x 的解析式的解析式師生共研過關師生共研過關 典例精析典例精析 例例 1 已知函數已知函數 f(x)Asin(x)(A0，0,0)，其部分圖象如圖所示，則函，其部分圖象如圖所示，則函數數 f(x)的解析式為的解析式為( ) Af(x)2sin 12x4 B

15、f(x)2sin 12x34 Cf(x)2sin 14x34 Df(x)2sin 2x4 解析解析 由題圖可知，函數圖象上兩個相鄰的最值點分別為最高點由題圖可知，函數圖象上兩個相鄰的最值點分別為最高點 2，2 ，最低點，最低點 32，2 ， 所以函數的最大值為所以函數的最大值為 2，即，即 A2. 由圖象可得直線由圖象可得直線 x2，x32為相鄰的兩條對稱軸，為相鄰的兩條對稱軸， 所以函數的最小正周期所以函數的最小正周期 T2 32 24， 故故24，解得，解得 12. 所以所以 f(x)2sin 12x . 把點把點 2，2 代入可得代入可得 2sin 12 2 2， 即即 sin 41，所

16、以，所以 42k2(kZ)， 解得解得 2k34(kZ) 又又 0，所以，所以 34. 所以所以 f(x)2sin 12x34. 答案答案 B 例例2 如果存在正整數如果存在正整數和實數和實數使得函數使得函數f(x)sin2(x)的圖象如圖所示的圖象如圖所示(圖象經過圖象經過點點(1,0)，那么，那么 的值為的值為_ 解析解析 因為因為f(x)sin2(x)1212cos2(x)， 所以函數， 所以函數f(x)的最小正周期的最小正周期T22，由題圖知，由題圖知T21，且，且3T41，即，即43T2，所以，所以234，又因為，又因為 為正整數，所以為正整數，所以 的值的值為為 2. 答案答案 2

17、 解題技法解題技法 確定函數確定函數 yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步驟的解析式的步驟 (1)求求 A，B，確定函數的最大值，確定函數的最大值 M 和最小值和最小值 m，則，則 AMm2，BMm2. (2)求求 ，確定函數的周期，確定函數的周期 T，則，則 2T. (3)求求 ，常用方法有，常用方法有 代入法： 把圖象上的一個已知點代入代入法： 把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入或把圖象的最高點或最低點代入 五點法：確定五點法：確定 值時，往往以尋找值時，往往以尋找“五點法五點法

18、”中的特殊點作為突破口中的特殊點作為突破口 過關訓練過關訓練 1.函數函數 f(x)Asin(x) A0，0，|2的部分圖象如圖所示，則的部分圖象如圖所示，則 f 1124的值為的值為( ) A62 B32 C22 D1 解析：解析：選選 D 由圖象可得由圖象可得 A 2，最小，最小正周期正周期 T4 7123，則，則 2T2.又又 f 712 2sin 76 2，|2，得，得 3，則，則 f(x) 2sin 2x3，f 1124 2sin 111232sin541，故選，故選 D. 2(2018 咸陽三模咸陽三模)已知函數已知函數 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分圖象如圖所的部分

19、圖象如圖所示，示，則則 f(x)的解析式為的解析式為( ) Af(x)2 3sin x84 Bf(x)2 3sin x834 Cf(x)2 3sin x84 Df(x)2 3sin x834 解析：解析：選選 D 由圖象可得，由圖象可得，A2 3， T26(2)16， 所以所以 2T2168. 所以所以 f(x)2 3sin 8x . 由函數的對稱性得由函數的對稱性得 f(2)2 3， 即即 f(2)2 3sin 82 2 3， 即即 sin 4 1， 所以所以42k2(kZ)， 解得解得 2k34(kZ) 因為因為|，所以，所以 34. 故函數故函數 f(x)的解析式為的解析式為 f(x)2

20、 3sin x834. 考點三考點三 三角函數模型及其應用三角函數模型及其應用師生共研過關師生共研過關 典例精析典例精析 據市場調查，某種商品一年內每件出據市場調查，某種商品一年內每件出廠價在廠價在 7 千元的基礎上，按月呈千元的基礎上，按月呈 f(x)Asin(x)B A0，0，|2的模型波動的模型波動(x 為月份為月份)，已知，已知 3 月份達到最高價月份達到最高價 9 千元，千元，9 月份價格月份價格最低為最低為 5 千元，則千元，則 7 月份的出廠價格為月份的出廠價格為_元元 解析解析 作出函數簡圖如圖所示，三角函數模型為：作出函數簡圖如圖所示，三角函數模型為： yf(x)Asin(x

21、)B， 由題意知：由題意知：A2 000，B7 000， T2(93)12， 2T6. 將將(3，9 000)看成函數圖象的第二個特殊點，看成函數圖象的第二個特殊點， 則有則有632，0， 故故 f(x)2 000sin6x7 000(1x12，xN*) f(7)2 000sin767 0006 000. 故故 7 月份的出廠價格為月份的出廠價格為 6 000 元元 答案答案 6 000 解題技法解題技法 三角函數模型在實際應用中的三角函數模型在實際應用中的 2 種類型及其解題策略種類型及其解題策略 (1)已知函數模型，利用三角函數的有關性質解決問題，其關鍵是準確理解自變量的意義已知函數模型，

22、利用三角函數的有關性質解決問題，其關鍵是準確理解自變量的意義及自變量與函數之間的對應關系；及自變量與函數之間的對應關系； (2)把實際問題抽象轉化成數學問題，建立三角函數模型，再利用三角函數的有關知識解把實際問題抽象轉化成數學問題，建立三角函數模型，再利用三角函數的有關知識解決問題，其關鍵是建模決問題，其關鍵是建模 過關訓練過關訓練 1.如圖，某港口一天如圖，某港口一天 6 時到時到 18 時的水深變化曲線近似滿足函數時的水深變化曲線近似滿足函數 y3sin 6x k，據此，據此函數可知，這段時間水深函數可知，這段時間水深(單位：單位：m)的最大值為的最大值為_ 解析：解析：設水深的最大值為設

23、水深的最大值為 M，由題意結合函數圖象可得，由題意結合函數圖象可得 3kM，k32，解得解得 M8，即水深，即水深的的最大值為最大值為 8. 答案：答案：8 2 某城市一年中 某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用函數個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用函數yaAcos 6 x6 (x1,2,3，12)來表示，已知來表示，已知 6 月份的月平均氣溫最高為月份的月平均氣溫最高為 28 ，12 月份的月平均氣溫最低月份的月平均氣溫最低為為 18 ，則，則 10 月份的月平均氣溫為月份的月平均氣溫為_. 解析：解析：由題意得由題意得 aA28，aA18，即即 a23，A5，所以所以 y

24、235cos 6 x6 ，令，令 x10，得，得 y20.5. 答案答案：20.5 考點四考點四 三角函數圖象與性質的綜合問題三角函數圖象與性質的綜合問題師生共研過關師生共研過關 典例精析典例精析 已知函數已知函數 f(x) 3sin 2x3(0)的圖象與的圖象與 x 軸相鄰兩個軸相鄰兩個交點的距離為交點的距離為2. (1)求函數求函數 f(x)的解析式；的解析式； (2)若將若將 f(x)的圖象向左平移的圖象向左平移 m(m0)個單位長度得到函數個單位長度得到函數 g(x)的圖象恰好經過點的圖象恰好經過點 3，0 ，求當，求當 m 取得最小值時，取得最小值時，g(x)在在 6，712上的單調

25、遞增區(qū)間上的單調遞增區(qū)間 解解 (1)由函數由函數 f(x)的圖象與的圖象與 x 軸相鄰兩個交點的距離為軸相鄰兩個交點的距離為2，得函數，得函數 f(x)的的最小正周期最小正周期 T 2222，解得，解得 1，故函數，故函數 f(x)的解析式為的解析式為 f(x) 3sin 2x3. (2)將將 f(x)的圖象向左平移的圖象向左平移 m(m0)個單位長度得到函數個單位長度得到函數 g(x) 3sin 2 xm 3 3sin 2x2m3的圖象，根據的圖象，根據 g(x)的圖象恰好經過點的圖象恰好經過點 3，0 ， 可得可得 3sin 232m30，即，即 sin 2m30， 所以所以 2m3k(

26、kZ)，mk26(kZ)， 因為因為 m0， 所以當所以當 k0 時，時，m 取得最小值，且最小值為取得最小值，且最小值為6. 此時，此時，g(x) 3sin 2x23. 因為因為 x 6，712， 所以所以 2x23 3，116. 當當 2x23 3，2，即，即 x 6，12時，時，g(x)單調遞增，單調遞增， 當當 2x23 32，116，即，即 x 512，712時，時，g(x)單調遞增單調遞增 綜上，綜上，g(x)在區(qū)間在區(qū)間 6，712上的單調遞增區(qū)間是上的單調遞增區(qū)間是 6，12和和 512，712. 解題技法解題技法 三角函數圖象和性質綜合問題的解題策略三角函數圖象和性質綜合問題

27、的解題策略 (1)圖象變換圖象變換問題問題 先根據和、差角公式、倍角公式把函數表達式變?yōu)檎倚秃瘮迪雀鶕汀⒉罱枪?、倍角公式把函數表達式變?yōu)檎倚秃瘮?yAsin(x)t 或余弦或余弦型函數型函數 yAcos(x)t 的形式，再進行圖象變換的形式，再進行圖象變換 (2)函數性質問題函數性質問題 求函數周期、最值、單調區(qū)間的方法步驟：求函數周期、最值、單調區(qū)間的方法步驟： 利用公式利用公式 T2(0)求周期；求周期； 根據自變量的范圍確定根據自變量的范圍確定 x 的范圍， 根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，的范圍， 根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據所給關系式

28、的特點，也可換元轉化為求二次函數的最值；另外求最值時，根據所給關系式的特點，也可換元轉化為求二次函數的最值； 根據正、余弦函數的單調區(qū)間列不等式求函數根據正、余弦函數的單調區(qū)間列不等式求函數 yAsin(x)t 或或 yAcos(x)t 的單調區(qū)間的單調區(qū)間 過關訓練過關訓練 (2019 濟南模擬濟南模擬)已知函數已知函數 f(x)sin 2x632b. (1)若函數若函數 f(x)的圖象關于直線的圖象關于直線 x6對稱，且對稱，且 0,3，求函數，求函數 f(x)的單調遞增區(qū)間；的單調遞增區(qū)間； (2)在在(1)的條件下，當的條件下，當 x 0，712時，函數時，函數 f(x)有且只有一個零

29、點，求實數有且只有一個零點，求實數 b 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)函數函數 f(x)sin 2x632b，且函數，且函數 f(x)的圖象關于直線的圖象關于直線 x6對稱，對稱，266k2(kZ)，且，且 0,3，1.由由 2k22x62k2(kZ)，解得，解得 k3xk6(kZ)，函數函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間為 k3，k6(kZ) (2)由由(1)知知 f(x)sin 2x632b. x 0，712，2x6 6，43.當當 2x6 6，2，即，即 x 0，6時，函數時，函數 f(x)單調遞單調遞增；當增；當 2x6 2，43，即，即 x 6，712時，函數時，函數 f(x)單調遞減單調遞減 又又 f(0)f 3， 當當 f 30f 712或或 f 60 時， 函數時， 函數 f(x)有且只有一個零點， 即有且只有一個零點， 即 sin43b32sin56或或 132b0，b 2，332 52. 故實數故實數 b 的取值范圍為的取值范圍為 2，332 52.