2019屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理(含解析).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理(含解析) 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合，，則集合與的關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根據(jù)函數(shù)定義域求集合M，再根據(jù)定義求集合Q，最后根據(jù)集合交集與并集定義確定選項(xiàng). 【詳解】由； 因?yàn)椋? ,選C. 【點(diǎn)睛】集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn) (1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提． (2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決． (3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖． 2. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i(2?i),i2?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B，則線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模為（ ） A. 85 B. 2105 C. 4105 D. 325 【答案】B 【解析】 【分析】 先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義求線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)模的定義求結(jié)果. 【詳解】線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12[i(2?i)+i2?i]=12[2i+1+2i?15]=25+65i， 所以模為(25)2+(65)2=2105，選B. 【點(diǎn)睛】首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R). 其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實(shí)部為、虛部為b、模為a2+b2、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(a,b)、共軛為a?bi. 3. 已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線y=3x垂直，則雙曲線C的離心率為（ ） A. 72 B. 103 C. 3 D. 72或103 【答案】B 【解析】 【分析】 先求漸近線，再根據(jù)垂直關(guān)系得a,b關(guān)系，最后得離心率. 【詳解】因?yàn)殡p曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=bax， 所以?ba3=?1∴a=3b,c=10b,e=ca=103.選B. 【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 4. 已知函數(shù)f(x)=22sinx-2cosθ在點(diǎn)(π4,f(π4))處的切線的傾斜角為α，則sin2α=（ ） A. 45 B. 54 C. 35 D. 53 【答案】A 【解析】 【分析】 先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得tanα,最后根據(jù)弦化切得結(jié)果. 【詳解】∵f′(x)=22cosx∴tanα=f′(π4)=2, sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45.選A. 【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解. 5. 設(shè)函數(shù)fx=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)t,ft處切線的斜率為gt，則函數(shù)y=gt的圖象一部分可以是( ) A. B. . C. D. 【答案】A 【解析】 分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率的函數(shù)的解析式，然后判斷函數(shù)的圖象即可． 詳解：由fx=xsinx+cosx可得：f′x=sinx+xcosx?sinx=xcosx． 即g（t）=tcost ， 函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B，D； 當(dāng)x∈（0，π2） 時(shí)，y＞0 ，排除選項(xiàng)C． 故選：A． 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的判斷，是基本知識(shí)的考查． 6. 二項(xiàng)式2x?1x5的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是( ） A. 80 B. 48 C. -40 D. -80 【答案】D 【解析】 由題意可得Tr+1=C5r(2x)5?r(?1x)r，令r=1,T4=?C5124x3,所以x3的系數(shù)為-80.選B. 7. 如圖，是某幾何體的三視圖，其中正視圖與側(cè)視圖都是底邊為4，高位22的等腰三角形，俯視圖是邊長(zhǎng)為22的正方形，則該幾何體的體積為（ ） A. 643 B. 1623 C. 83 D. 223 【答案】B 【解析】 分析：由題意首先確定該幾何體的幾何特征，然后結(jié)合幾何特征求解幾何體的體積即可. 詳解：由三視圖可知，該幾何體是所有棱長(zhǎng)都是4的一個(gè)四面體， 如圖所示，將幾何體放入正方體，結(jié)合題意可知其體積V=133442463=1623. 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則的值變動(dòng)時(shí)輸出的值不可能是（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 分析：由題意模擬程序的運(yùn)行，考查可能的輸出結(jié)果，據(jù)此即可求得最終結(jié)果. 詳解：運(yùn)行程序x=2，2是偶數(shù)，x=3，3不是偶數(shù)， x=5，輸出5或執(zhí)行程序；不滿足條件， x=6，6是偶數(shù)，x=7，7不是偶數(shù)，x=9，輸出9或執(zhí)行程序；不滿足條件， x=10，10是偶數(shù)，x=11，11不是偶數(shù)，x=13，輸出13或執(zhí)行程序；不滿足條件， 據(jù)此可知，輸出的x值不可能是11. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查流程圖知識(shí)與程序運(yùn)行等知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析問(wèn)題和計(jì)算求解能力. 9. 設(shè)x,y滿足約束條件2x+y?3≥0x?2y+2≥02x?y?2≤0，則9x2+4y2xy的最小值為 A. 12 B. 13 C. 685 D. 50528 【答案】A 【解析】 【分析】 先作可行域，根據(jù)可行域確定yx取值范圍，最后根據(jù)基本不等式求最值. 【詳解】作可行域，A(54,12),B(45,75),根據(jù)可行域確定yx∈[kOA,kOB]=[1254,7545]=[25,74], 所以9x2+4y2xy=9xy+4yx≥29xy4yx=12，當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y時(shí)取等號(hào)， 因此選A. 【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍. 10. 中國(guó)古代名詞“芻童”原來(lái)是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之。亦倍下袤，上袤從之。各以其廣乘之，并以高乘之，皆六而一?！逼溆?jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一。已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長(zhǎng)為18的矩形，上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為 A. 392 B. 752 C. 39 D. 6018 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)定義列“芻童”的體積函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值. 【詳解】設(shè)下底面的長(zhǎng)寬分別為x,y，有2(x+y)=18,x+y=9. 則“芻童”的體積為163[2(6+x)+(2x+3)y]=12(30+2xy+y)=12(?2x2+17x+39), 當(dāng)x=174時(shí)，“芻童”的體積取最大值6018，選D. 【點(diǎn)睛】研究二次函數(shù)最值問(wèn)題,一般通過(guò)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系,確定單調(diào)性,進(jìn)而確定最值取法. 11. 已知圓(x?1)2+y2=34的一條切線y=kx與雙曲線C：x2a2?y2b2=1?(a>0,b>0)有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C離心率的取值范圍是 A. (1,3) B. （1，2） C. (3,+∞) D. (2,+∞) 【答案】D 【解析】 由已知|k|k2+1=32?k2=3，由y=kxx2a2?y2b2=1，消去y得，(b2?a2k2)x2?a2b2=0，則4(b2?a2k2)a2b2>， b2>a2k2?c2>(k2+1)a2，所以e2>k2+1=4，即e>2，故選D. 12. 已知函數(shù)f(x)=lnx?x3與g(x)=x3?ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. (?∞,e) B. (?∞,e] C. (?∞,1e) D. (?∞,1e] 【答案】D 【解析】 函數(shù)f(x)=lnx-x3與g(x)=x3-ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴fx=?gx有解，∴l(xiāng)nx?x3=?x3+ax，∴l(xiāng)nx=ax，在（0，+∞）有解，分別設(shè)y=lnx，y=ax，若y=ax為y=lnx的切線，∴y′=1x，設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0），∴a=1x0，ax0=lnx0，∴x0=e，∴a=1e，結(jié)合圖象可知，a≤1e ，故選D. 點(diǎn)睛：本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為y=lnx與y=ax有交點(diǎn)，屬于中檔題；由題意可知fx=?gx有解，即y=lnx與y=ax有交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切點(diǎn)，結(jié)合圖象，可知的范圍. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13. 向量a=(m,n)，b=(?1,2)，若向量，b共線，且a=2b，則mn的值為__________． 【答案】?8 【解析】 由題意可得：a=2b=(?2,4) 或a=?2b=(2,?4) ， 則：mn=(?2)4=?8 或mn=2(?4)=?8 . 14. 設(shè)點(diǎn)M是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若ΔPMQ為銳角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍為__________． 【答案】6?22c>22y,y=b2a，從而可求橢圓的離心率的取值范圍. 詳解：因?yàn)閳AM與x軸相切于焦點(diǎn)F， 所以圓心與F的連線必垂直于x軸，不妨設(shè)M(c,y)， 因?yàn)镸(c,y)在橢圓上，則y=b2a(a2=b2+c2)，所以圓的半徑為b2a， 由題意y>c>22y，所以c2<(1?e2)2<2e2，所以6?22Tn恒成立？若存在，求m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）Sn=1?13n；（2）1 【解析】 分析：(1)根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及前n項(xiàng)和公式求結(jié)果，(2)先代入化簡(jiǎn)bn，再根據(jù)1bnbn+1=1n+1-1n+2，，利用裂項(xiàng)相消法求Tn，分別研究Sn，Tn取值范圍得Sn>Tn對(duì)一切正整數(shù)恒成立，因此可得m的最大值. 詳解： （1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，由S1=1-12a1，得a1=23. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=1-12an，Sn-1=1-12an-1， 所以an=Sn-Sn-1=1-12an-1-12an-1=12an-1-12an，即an=13an-1， 所以an是以23為首項(xiàng)，13為公比的等比數(shù)列， 所以Sn=231-13n1-13=1-13n. （2）由（1）可知，bn=-log31-Sn+1=-log31-1-13n=-log313n+1=n+1， 所以1bnbn+1=1n+1n+2=1n+1-1n+2， 所以Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+?+1bnbn+1=12-13+13-14+14-15+?+1n+1-1n+2 =12-1n+2<12. 又Sn=1-13n，所以Sn為遞增數(shù)列，Sn≥S1=23. 而23>12，所以?n∈N*恒有Sn>Tn，故存在正整數(shù)，當(dāng)n≥m時(shí)Sn>Tn恒成立，其m的最大值為1. 點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如canan+1 (其中an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如1(n+1)(n+3)或1n(n+2). 18. 有120粒試驗(yàn)種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一：將120粒種子分種在40個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒；方案二：120粒種子分種在60個(gè)坑內(nèi)，每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，并且，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種（每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，且第二次補(bǔ)種的種子顆粒同第一次）.假定每個(gè)坑第一次播種需要2元，補(bǔ)種1個(gè)坑需1元；每個(gè)成活的坑可收貨100粒試驗(yàn)種子，每粒試驗(yàn)種子收益1元. (1)用表示播種費(fèi)用，分別求出兩種方案的的數(shù)學(xué)期望； (2)用η表示收益，分別求出兩種方案的收益η的數(shù)學(xué)期望； (3)如果在某塊試驗(yàn)田對(duì)該種子進(jìn)行試驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案？ 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析 【解析】 分析：(1)先確定播種費(fèi)用隨機(jī)變量，再計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，利用數(shù)學(xué)期望公式求期望，(2) 先確定收益隨機(jī)變量，再計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，利用數(shù)學(xué)期望公式求期望，(3)根據(jù)純利潤(rùn)的大小確定選擇方案. 詳解： （1）方案一：用X1表示一個(gè)坑播種的費(fèi)用，則X1可取2，3. X1 2 3 P 78 123 ∴ EX1=278+318=178. ∴ Eξ1=40EX1=85元. 方案二：用X2表示一個(gè)坑播種的費(fèi)用，則X2可取2，3. X2 2 3 P 34 122 ∴ EX2=234+314=94. ∴ Eξ2=60EX2=135元. （2）方案一：用Y1表示一個(gè)坑的收益，則Y1可取0，100. Y1 0 100 P 182 6364 ∴ EY1=1006364=157516. ∴ Eη1=40EY1=3937.5元. 方案二：用Y2表示一個(gè)坑的收益，則Y2可取0，100. Y2 0 100 P 142 1516 ∴ EY2=1001516=3754. ∴ Eη2=60EY2=5625元. （3）方案二所需的播種費(fèi)用比方案一多50元，但是收益比方案一多1687.5元，故應(yīng)選擇方案二. 點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為： 第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義； 第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率； 第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確； 第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值。 19. 如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=DC=AP=2AB=2，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)， （1）證明：BE⊥DC； （2）若點(diǎn)F為棱PC上一點(diǎn)，且BF⊥AC，求二面角F?AB?P的余弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）31010． 【解析】 分析：（Ⅰ）由題意可得AB,AD,AP．兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)BE?DC=0可證得BE⊥DC．（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)F在棱PC上可設(shè)CF=λCP，再由BF⊥AC，得BF?AC=0，由此可得λ=34，從而可得BF=-12,12,32．然后可求得平面FAB的法向量為n1=0,-3,1，又平面ABP的一個(gè)法向量n2=0,1,0，可得cos?n1,n2?=-31010，然后結(jié)合圖形可得所求． 詳解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB ?平面ABCD，AD平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD， 又AB⊥AD， ∴AB,AD,AP．兩兩垂直． 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 則由題意得B1,0,0,P0,0,2,C2,2,0,E1,1,1,D0,2,0， ∴BE=0,1,1,DC=2,0,0， ∴BE?DC=0， ∴BE⊥DC． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得BC=1,2,0,CP=-2,2,2,AC=2,2,0,AB=1,0,0． 由點(diǎn)F在棱PC上， 設(shè)CF=λCP=-2λ,-2λ,2λ，0≤λ≤1， ∴BF=BC+CF=1-2λ,2-2λ,2λ ∵BF⊥AC， ∴BF?AC=21-2λ+22-2λ=0, 解得λ=34， ∴BF=-12,12,32． 設(shè)平面FAB的法向量為n1=x,y,z，則 由n1?AB=x=0n1?BF=-12x+12y+32z=0，得x=0y=-3z， 令z=1，得n1=0,-3,1． 由題意取平面ABP的一個(gè)法向量n2=0,1,0． ∴cos?n1,n2?=n1?n2n1?n2=-310=-31010， 由圖形知二面角F-AB-P是銳角， 所以二面角F-AB-P的余弦值為31010． 點(diǎn)睛：用坐標(biāo)法解答立體幾何問(wèn)題的幾個(gè)注意點(diǎn)： （1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)首先要判斷是否滿足條件，即是否有三條兩兩垂直的直線； （2）求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)一定要準(zhǔn)確，對(duì)于不容易求的點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)向量的共線等方法求解； （3）求二面角的余弦值時(shí)，在求得兩平面法向量夾角的余弦值后，還要根據(jù)圖形判斷出二面角為銳角還是鈍角，最后再下結(jié)論． 20. 如圖，分別過(guò)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的動(dòng)直線l1，l2相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A，B與C，D不同四點(diǎn)，直線OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4滿足k1+k2=k3+k4．已知當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，AB=23，CD=433， （1）求橢圓E的方程； （2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得PM+PN為定值？若存在，求出M，N點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（1）x23+y22=1；（2）22． 【解析】 試題分析：（1）當(dāng)與軸重合時(shí)，垂直于軸，得,得,從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把坐標(biāo)化，可得點(diǎn)的軌跡是橢圓，從而求得定點(diǎn)和點(diǎn). 試題解析：當(dāng)與軸重合時(shí)，, 即,所以垂直于軸，得，，, 得,橢圓的方程為. 焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為, 當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或; 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為, 設(shè)由, 得： , 所以:，, 則： . 同理：, 因?yàn)? , 所以, 即, 由題意知, 所以 ， 設(shè)，則，即，由當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或也滿足此方程，所以點(diǎn)在橢圓上.存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得為定值，定值為. 考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，性質(zhì)，方程. 【方法點(diǎn)晴】本題是對(duì)圓錐曲線的綜合應(yīng)用進(jìn)行考查，第一問(wèn)通過(guò)兩個(gè)特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問(wèn)由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關(guān)鍵是從這個(gè)角度出發(fā)，把k1+k2=k3+k4=0坐標(biāo)化，求得點(diǎn)的軌跡方程是橢圓y22+x2=1，從而求得存在兩定點(diǎn)和點(diǎn). 21. 已知函數(shù)fx=xlnx?12mx2?xm∈R． （1）若函數(shù)fx在0,+∞上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）若函數(shù)fx在0,+∞上存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x12． 【答案】（1）m≥1e；（2）證明見(jiàn)解析． 【解析】 試題分析：（1）由條件可知f′x≤0恒成立，通過(guò)參變分離的方法得到m>lnxx恒成立，即m>lnxxmax 轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)φx=lnxx的最大值，即求m的取值范圍；（2）根據(jù)條件可知f′x1=0,f′x2=0，m=lnx1+lnx2x1+x2 和m=lnx1?lnx2x1?x2 ，經(jīng)過(guò)變形整理為lnx1+lnx2=x1x2+1?lnx1x2x1x2?1 ，經(jīng)過(guò)換元，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明t+1lntt?1>2 ，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明. 試題解析：(1)由函數(shù)fx在0,+∞上是減函數(shù)，知fx≤0恒成立， fx=xlnx-12mx2-x?fx=lnx-mx. 由fx≤0恒成立可知lnx-mx≤0恒成立，則m≥lnxxmax， 設(shè)φx=lnxx，則φx=1-lnxx2， 由φx>0?x∈0,e，φx<0?x>e知， 函數(shù)φx在0,e上遞增，在e,+∞上遞減，∴φxmax=φe=1e， ∴m≥1e. (2)由(1)知fx=lnx-mx. 由函數(shù)fx在0,+∞上存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x12， 只需證t+1?lntt-1>2，只需證lnt<2t-1t+1，只需證lnt-2t-1t+1<0. 構(gòu)造函數(shù)gt=lnt-2t-1t+1，則gt=1t-4t+12=t-12tt+12>0. 故gt=lnt-2t-1t+1在t∈0,1上遞增，gt2. 【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的鞥努力，尤其是第二問(wèn)，利用條件可變形為lnx1+lnx2=x1x2+1lnx1x2x1x2?1 ，這樣通過(guò)換元設(shè)t=x1x2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)y=t+1lntt?1>2 . 22. 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，已知直線的參數(shù)方程為x=tcosα,y=2+tsinα（為參數(shù)，0≤α<π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=4sinθ． （1）若α=π6，求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求|AB|的最小值． 【答案】（1）x?3y+23=0，x2=4y；（2）42 【解析】 分析：（1）將α=π6代入到直線的參數(shù)方程，消去即可得直線的普通方程，再根據(jù)x=ρcosθy=ρsinθ，即可求得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入到曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得t1+t2，t1t2，結(jié)合參數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得|AB|的最小值． 詳解：（1）當(dāng)α=π6時(shí)，由直線的參數(shù)方程x=tcosα,y=2+tsinα,消去得y=33x+2，即直線的普通方程為x-3y+23=0； 因?yàn)榍€過(guò)極點(diǎn)，由ρcos2θ=4sinθ，得(ρcosθ)2=4ρsinθ， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2=4y． （2）將直線的參數(shù)方程代入x2=4y，得t2cos2α-4tsinα-8=0. 由題意知α∈[0,π2)∪(π2,π)，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1+t2=4sinαcos2α，t1t2=-8cos2α. ∴|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2 =(4sinαcos2α)2+32cos2α=41cos4α+1cos2α=4(1cos2α+12)2-14． ∵α∈[0,π2)∪(π2,π)，cos2α∈(0,1]，1cos2α≥1. ∴當(dāng)cos2α=1，即α=0時(shí)，|AB|的最小值為42． 點(diǎn)睛：本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化的方法，直線的參數(shù)方程及其幾何意義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解.把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法. 23. 已知函數(shù)f(x)=|2x?1|?a (a∈R)． （1）若f(x)在?1,2上的最大值是最小值的2倍，解不等式f(x)≥5； （2）若存在實(shí)數(shù)x使得f(x)<12f(x+1)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）x|x≥32或x≤?12；（2）(?2,+∞) 【解析】 分析：（1）根據(jù)在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分離參數(shù)得，再求右邊式子的最小值，得到a的取值范圍. 詳解：（1）∵，∴，， ∴，解得， 不等式，即，解得或， 故不等式的解集為． （2）由，得， 令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為， 又故， 則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查不等式的解法和求絕對(duì)值不等式的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.(2)本題易錯(cuò)，得到a>|4x-2|-|2x+1|，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a>g(x)min，不是轉(zhuǎn)化為a>g(x)max,因?yàn)樗谴嬖谛詥?wèn)題.