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勾股定理的逆定理
一、選擇題(每小題4分,共12分)
1.如圖,每個小正方形的邊長為1,A,B,C是小正方形的頂點,則∠ABC的度數(shù)為
( )
A.90 B.60 C.45 D.30
2.如圖所示,在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB,CD,EF,GH四條線段,其中能構(gòu)成直角三角形三邊的線段是( )[來源:]
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
3.將直角三角形三條邊的長度都擴大同樣的倍數(shù)后得到的三角形( )
A.仍是直角三角形 B.可能是銳角
2、三角形
C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形
二、填空題(每小題4分,共12分)
4.把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2”的逆命題改寫成“如果……,那么……”的形式: .
5.觀察以下幾組勾股數(shù),并尋找規(guī)律:
①3,4,5;
②5,12,13;
③7,24,25;
④9,40,41;…
請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù): .
6.若a,b,c是直角三角形的三條邊長,斜邊c上的高的長是h,給出下列結(jié)論:
①以a2,b2,c2的長為邊的三條線段能組成一個三角形;②以a,b,c的長為邊的三條線段能
3、組成一個三角形;③以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角形;④以1a,1b,1c的長為邊的三條線段能組成直角三角形.[來源:]
其中所有正確結(jié)論的序號為 .
三、解答題(共26分)[來源:]
7.(8分)如圖,在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域,我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13nmile的A,B兩個基地前去攔截,六分鐘后同時到達C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120nmile,乙巡邏艇每小時航行50nmile,航向為北偏西40,問:甲巡邏艇的航向是多少?
8.(8分)如圖,每個小正方形的邊長均為1.求四邊形ABCD的面積和周長(精確到0.
4、1).
【拓展延伸】
9.(10分)王偉準備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈,用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長為am,由于受地勢限制,第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2m.
(1)請用a表示第三條邊長.
(2)問第一條邊長可以為7m嗎?為什么?請說明理由,并求出a的取值范圍.
(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀,且各邊長均為整數(shù)?若能,說出你的圍法;若不能,請說明理由.
答案解析
1.【解析】選C.根據(jù)勾股定理可以得到:AC=BC=5,AB=10.
∵(5)2+(5)2=(10)2,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是等腰直角三角形.
∴
5、∠ABC=45.
2.【解析】選B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,
所以AB2+EF2=GH2.
3.【解析】選A.設(shè)直角三角形的三邊分別為a,b,c,且滿足a2+b2=c2,擴大相同倍數(shù)后各邊分別為na,nb,nc,
因為(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,[來源:]
所以擴大同樣的倍數(shù)后得到的三角形仍是直角三角形.
4.【解析】逆命題為:三角形三邊長a,b,c,滿足a2+b2=c2,這個三角形是直角三角形,逆命題改寫成“如果……,那么……”的形式:如果三角形三邊長a,b,c,滿足
6、a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.
答案:如果三角形三邊長a,b,c,滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形
5.【解析】從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù),且逐步遞增2,故第5組第一個數(shù)是11,又發(fā)現(xiàn)第二、第三個數(shù)相差為1,故設(shè)第二個數(shù)為x,則第三個數(shù)為x+1,根據(jù)勾股定理得:112+x2=(x+1)2,
解得x=60,則得第⑤組勾股數(shù)是11,60,61.
答案:11,60,61
6.【解析】①直角三角形的三條邊滿足勾股定理a2+b2=c2,因而以a2,b2,c2的長為邊的三條線段不能滿足兩邊之和大于第三邊,故不能組成一個三角形,故錯誤;②直角三角形的三邊有a+b>
7、c(a,b,c中c最大),而在a,b,c三個數(shù)中c最大,如果能組成一個三角形,則有a+b>c成立,即(a+b)2>(c)2,即a+b+2ab>c(由a+b>c),則不等式成立,從而滿足兩邊之和大于第三邊,則以a,b,c的長為邊的三條線段能組成一個三角形,故正確;③a+b,c+h,h這三個數(shù)中c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,
又∵2ab=2ch=4S△ABC,∴(a+b)2+h2=(c+h)2,根據(jù)勾股定理的逆定理即以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角形,故正確;④假設(shè)a=3,b=4,c=5,則1a,1b,1c的長
8、為13,14,15,以這三個數(shù)的長為邊的三條線段不能組成直角三角形,故錯誤.
答案:②③
7.【解析】AC=120660=12(nmile),BC=50660=5(nmile),又因為AB=13nmile,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,可知∠CAB+∠CBA=90,由∠CBA=50,知∠CAB=40,所以甲巡邏艇的航向為北偏東50.
8.【解析】根據(jù)勾股定理得到:
AD=72+12=50,
AB=22+42=20,[來源:]
CD=32+42=5;
BC=12+22=5,
∴四邊形ABCD的周長是
AB+BC+CD+AD=20+5+5+50≈18.8.
9、
連接AC,BD,則AC=42+32=5.
∵(25)2+(5)2=52,52+52=(52)2,
∴AB2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.
∴∠ABC和∠ACD是直角.
∴四邊形ABCD的面積=直角△ABC的面積+直角△ACD的面積=12BCAB+12ACCD=17.5.
【歸納整合】勾股定理與其逆定理的聯(lián)系和區(qū)別
聯(lián)系:(1)兩者都與a2+b2=c2有關(guān).(2)兩者所討論的問題都是直角三角形.
區(qū)別:勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件,進而得到這個直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系,“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理則是以“一個三角形的三邊滿足a2+b2=
10、c2”為條件,進而得到“這個三角形是直角三角形”,是判別一個三角形是否是直角三角形的一個方法.
9.【解析】(1)∵第二條邊長為2a +2,
∴第三條邊長為30-a-(2a +2)=28-3a.
(2)當a =7時,三邊長分別為7,16,7.
由于7+7<16,所以不能構(gòu)成三角形,即第一條邊長不能為7m.
由(2a+2)+a>28-3a,(2a+2)-a<28-3a,可解得133
精校版人教版八年級數(shù)學下冊勾股定理的逆定理測試卷及答案
