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第10章 算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例
第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例
考點(diǎn)一 變量間的相關(guān)性
1.(2013福建,5分)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為=x+,若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是( )
A.>b′,>a′ B.>b′,<a′
C.&
2、lt;b′,>a′ D.<b′,<a′
解析:本題主要考查線性回歸直線方程,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力.由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y=2x-2,b′=2,a′=-2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù),可求得===,=-=-×=-,所以<b′,>a′.
答案:C
2.(2013重慶,13分)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,x=720.
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收
3、入x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中,b=,a=-b,其中,為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為
=x+.
解:本題主要考查兩個(gè)變量的相關(guān)性、線性回歸方程的求法及預(yù)報(bào)作用,考查考生的運(yùn)算求解能力與邏輯思維能力.
(1)由題意知n=10,=xi==8,=y(tǒng)i==2.
又x-n2=720-10×82=80,xiyi-n =184-10×8×2=24,
由此可得b===0.3,a=-b=2-0.3×8=-0.4,
4、
故所求回歸方程為y=0.3x-0.4.
(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b=0.3>0),故x與y之間是正相關(guān).
(3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
3.(2012湖南,5分)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(,)
C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加
5、0.85 kg
D.若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.79 kg
解析:由于回歸直線的斜率為正值,故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,選項(xiàng)A中的結(jié)論正確;回歸直線過樣本點(diǎn)的中心,選項(xiàng)B中的結(jié)論正確;根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項(xiàng)C中的結(jié)論正確;由于回歸分析得出的是估計(jì)值,故選項(xiàng)D中的結(jié)論不正確.
答案:D
4.(2011山東,5分)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
廣告費(fèi)用x(萬元)
4
2
3
5
銷售額y(萬元)
49
26
39
54
根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為( )
A
6、.63.6萬元 B.65.5萬元
C.67.7萬元 D.72.0萬元
解析:樣本中心點(diǎn)是(3.5,42),則=-=42-9.4×3.5=9.1,所以回歸直線方程是=9.4x+9.1,把x=6代入得=65.5.
答案:B
5.(2011陜西,5分)設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn),直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖),以下結(jié)論中正確的是( )
A.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率
B.x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間
C.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同
D.直線l過點(diǎn)(,)
解析
7、:回歸直線過樣本中心點(diǎn)(,).
答案:D
6.(2011遼寧,5分)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程:=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加________萬元.
解析:以x+1代x,得=0.254(x+1)+0.321,與=0.254x+0.321相減可得,年飲食支出平均增加0.254萬元.
答案:0.254
7.(2012福建,12分)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行
8、試銷,得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
銷量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回歸直線方程=bx+a,其中b=-20,a=-b;
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷售收入-成本)
解:(1)由于=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,
=(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.
所以a=-b=80+20×8.5=250,從而回歸直線方程為=-20x+250.
(
9、2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元,依題意得
L=x(-20x+250)-4(-20x+250)
=-20x2+330x-1 000
=-20(x-)2+361.25.
當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí),L取得最大值.
故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí),工廠可獲得最大利潤(rùn).
考點(diǎn)二 統(tǒng)計(jì)案例
1.(2013福建,12分)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均
10、生產(chǎn)件數(shù)分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;
(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附:χ2=
解:本題主要考查古典
11、概型、抽樣方法、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.
(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名.
所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),記為B1,B2.
從中隨機(jī)抽取2名工人,所有的可能結(jié)果共有10種,它們是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2
12、).
其中,至少1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,它們是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.
(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:
生產(chǎn)能手
非生產(chǎn)能手
合計(jì)
25周歲以上組
15
45
60
25周歲以下組
15
25
40
合計(jì)
30
70
100
所以得
13、χ2===≈1.79.
因?yàn)?.79<2.706,
所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.
2.(2010新課標(biāo)全國(guó),12分)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
性別
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人
14、的比例?說明理由.
附:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=
解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為=14%.
(2)K2=≈9.967.
由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).
(3)由(2)的結(jié)論知,該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān),并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法,比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好.