高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第9章第3節(jié)幾何概型

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1、 精品資料 高考真題備選題庫 第9章 概率 第3節(jié) 幾何概型 考點(diǎn) 幾何概型 1.(2013湖南,5分)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P,使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為,則=(  ) A.             B. C. D. 解析:本題主要考查幾何概型與三角形的最大角的性質(zhì),結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力.由已知,點(diǎn)P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn),由勾股定理可得AB2=2+AD2,解得2=,即=. 答案:D 2.(2013福建,4分)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~

2、1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為________. 解析:本題考查了幾何概型與隨機(jī)模擬等知識(shí),意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力. 因?yàn)?≤a≤1,由3a-1>0得0”發(fā)生的概率為=. 答案: 3.(2013湖北,5分)在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為,則m=________. 解析:本題以非常簡(jiǎn)單的區(qū)間和不等式的解集立意,考查幾何概型.由幾何概型知:=?m=3. 答案:3 4.(2012北京,5分)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的

3、距離大于2的概率是(  ) A.             B. C. D. 解析:不等式組表示坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)正方形區(qū)域,設(shè)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則隨機(jī)事件:在區(qū)域D內(nèi)取點(diǎn),此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2表示的區(qū)域就是圓x2+y2=4的外部,即圖中的陰影部分,故所求的概率為. 答案:D 5.(2012湖北,5分)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓,在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(  ) A.- B. C.1- D. 解析:設(shè)OA=OB=r,則兩個(gè)以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π()2-()2]=,兩個(gè)半圓

4、外部的陰影部分面積為πr2-[π()22-]=,所以所求概率為=1-. 答案:C 6.(2011福建,5分)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(  ) A.             B. C. D. 解析:點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),故所求的概率P==. 答案:C 7.(2011湖南,5分)已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25. (1)圓C的圓心到直線l的距離為________; (2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為________. 解析:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d==5

5、;設(shè)直線4x+3y=c到圓心的距離為3,則=3,取c=15,則直線4x+3y=15把圓所截得的劣弧的長(zhǎng)度和整個(gè)圓的周長(zhǎng)的比值即是所求的概率,由于圓半徑是2,則可得直線4x+3y=15截得的圓弧所對(duì)的圓心角為60,故所求的概率是. 答案:5  8.(2010福建,12分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合),且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點(diǎn)分別為F,G. (1)證明:AD∥平面EFGH; (2)設(shè)AB=2AA1=2a,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自幾何體A1ABFE-

6、D1DCGH內(nèi)的概率為P.當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱A1B1,B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a,求P的最小值. 解:法一:(1)證明:在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD∥A1D1. 又∵EH∥A1D1,∴AD∥EH. ∵AD?平面EFGH,EH?平面EFGH, ∴AD∥平面EFGH. (2)設(shè)BC=b,則長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積V=ABBCAA1=2a2b, 幾何體EB1F-HC1G的體積V1=(EB1B1F)B1C1=EB1B1F. ∵EB+B1F2=a2, ∴EB1B1F≤=,當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=a時(shí)等號(hào)成立. 從而V1≤. ∴p=1-≥1-=,當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=a時(shí)等號(hào)成立. 所以P的最小值等于. 法二:(1)同解法一. (2)設(shè)BC=b,則長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積V=ABBCAA1=2a2b, 幾何體EB1F-HC1G的體積 V1=(EB1B1F)B1C1=EB1B1F. 設(shè)∠B1EF=θ(0≤θ≤90),則EB1=acosθ,B1F=asinθ. 故EB1B1F=a2sinθcosθ=sin2θ≤,當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=45時(shí)等號(hào)成立. 從而V1≤. ∴P=1-≥1-=,當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=45時(shí)等號(hào)成立. 所以P的最小值等于.

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