高考數(shù)學浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性

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1、 精品資料 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 一、選擇題 1．設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)等于(　　)． A．3 B．1 C．－1 D．－3 解析　由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.則b＝－1， f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案　D 2．已知定義在R上的奇函數(shù)，f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為 (　　)． A．－1

2、 B．0 C．1 D．2 解析　(構(gòu)造法)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝sin x，則有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一個滿足條件的函數(shù)，所以f(6)＝sin 3π＝0，故選B. 答案　B 3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，當x∈[3,5]時，f(x)＝2－|x－4|，則下列不等式一定成立的是 (　　)． A．f>f B．f(sin 1)<f(cos 1) C．f<f D．f(cos 2)>

3、f(sin 2) 解析　當x∈[－1,1]時，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|， 顯然當x∈[－1,0]時，f(x)為增函數(shù)；當x∈[0,1]時，f(x)為減函數(shù)，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f. 答案　A 4．已知函數(shù)f(x)＝則該函數(shù)是 (　　)． A．偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減 C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 解析　當x>0時，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當x<0時，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f

4、(x)．當x＝0時，f(0)＝0，故f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上為增函數(shù)，又x≥0時1－2－x≥0，x<0時2x－1<0，故f(x)為R上的增函數(shù)． 答案　C 5．已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數(shù)，當x∈[0,1)時，f(x)＝4x－1，則f(－5.5)的值為(　　) A．2 B．－1 C．－ D．1 解析 f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1. 答案　D 6．設函數(shù)D(x)

5、＝則下列結(jié)論錯誤的是 (　　)． A．D(x)的值域為{0,1} B．D(x)是偶函數(shù) C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調(diào)函數(shù) 解析　顯然D(x)不單調(diào)，且D(x)的值域為{0,1}，因此選項A、D正確．若x是無理數(shù)，－x，x＋1是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，－x，x＋1也是有理數(shù)．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．則D(x)是偶函數(shù)，D(x)為周期函數(shù)，B正確，C錯誤． 答案　C 二、填空題 7．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 解析　由題意知，函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－

6、1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0. 答案　0 8．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________. 解析　因為y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時，y＝2，所以當x＝－1時，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 答案　－1 9．設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，當x∈[0,5]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y＜0的x的取值集合為________． 解析　由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關(guān)于坐標

7、原點對稱，由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，得它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數(shù)值y＜0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)． 答案　(－2,0)∪(2,5) 10． 設f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)＝f的所有x之和為________． 解析 ∵f(x)是偶函數(shù)，f(2x)＝f， ∴f(|2x|)＝f， 又∵f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)， ∴|2x|＝， 即2x＝或2x＝－， 整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0， 設方程2x2＋7x－1＝0的兩根為x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的兩根為x

8、3，x4. 則(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8. 答案 －8 三、解答題 11．已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性． 解　(1)因為對定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，所以令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝0，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)＝0. (2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)． 12．已知函數(shù)

9、f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)求證f(x)是奇函數(shù)； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)證明　令x＝y(tǒng)＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x， 則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)為奇函數(shù)． (2)解　任取x1＜x2，則x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)為減函數(shù)．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. 所以f(x)max

10、＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6. 13.已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1， (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當x∈[1,2]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值． 解析 (1)證明　函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2) 當x∈[1,

11、2]時，2－x∈[0,1]， 又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]． (3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1 又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013) ＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 14．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)若f(x)為奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的個數(shù)．

12、 (1)證明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2)解　當0≤x≤1時，f(x)＝x， 設－1≤x≤0，則0≤－x≤1， ∴f(－x)＝(－x)＝－x. ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x. 故f(x)＝x(－1≤x≤1)． 又設1<x<3，則－1<x－2<1， ∴f(x－2)＝(x－2)． 又∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù) ∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)， ∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)． ∴f(x)＝ 由f(x)＝－，解得x＝－1. ∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)． 令0≤4n－1≤2 014，則≤n≤. 又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)， ∴在[0,2 014]上共有503個x使f(x)＝－.