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1、 精品資料
第4講 基本不等式
一、選擇題
1．若x＞0，則x＋的最小值為( )．
A．2 B．3 C．2 D．4
解析 ∵x＞0，∴x＋≥4.
答案 D
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是( )．
A. B．4 C. D．5
解析 依題意得＋＝(a＋b)＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝，
b＝時取等號，即＋的最小值是.
答案 C
3．小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(a
2、 ( )．
A．a(chǎn)＝0，∴v>a.
答案 A
4．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則( )．
A.＋有最大值4 B．a(chǎn)b有最小值
C.＋有最大值 D．a(chǎn)2＋b2有最小值
解析 由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B錯；＋＝＝≥4，故A錯；由基本不等式得≤ ＝ ，即＋≤ ，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2＝，故D錯．
答案
3、C
5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，
即x＝4，y＝2時取等號，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4
4、y＝(m>0)，l1與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當(dāng)m變化時，的最小值為 ( )．
A．16 B．8 C．8 D．4
解析 如圖，作出y＝|log2x|的圖象，由圖可知A，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，而且xC－xA與xB－xD同號，所以＝，根據(jù)已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝
5、2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即2m＋1＝4，即m＝時等號成立，故的最小值為2＝8.
答案 B
二、填空題
7．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)．若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________．
解析 依題意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋2xy≤1＋2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝時，2x＋y取最大值.
答案
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)＝的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的最小值是________．
解析 假設(shè)直線與函數(shù)f(x)＝的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為Q，由題意知線段
6、PQ的長為OP長的2倍．
假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則|PQ|＝2|OP|＝2≥4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x0＝時，取“＝”號．
答案 4
9．若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．
解析 由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，
則ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0? ≥3，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10．已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝的最小值為________。
解析 z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，則0
7、小值，所以當(dāng)x＝y(tǒng)＝時，z有最小值.
答案
三、解答題
11．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明 ∵a，b，c都是正數(shù)，∴，，都是正數(shù)．
∴＋≥2c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，
＋≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立，
＋≥2b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立．
三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立．
12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20
8、，∴2≤20，xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時，等號成立．
因此有解得
此時xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴當(dāng)x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝＝
≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立．
由解得
∴＋的最小值為.
13．設(shè)f(x)＝(x>0)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)證明：對任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)
9、，b2－3b＋有最小值3，
由(1)知，f(a)有最大值2，
∴對任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)
高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第4講基本不等式
