高考數(shù)學理一輪資源庫 第一章 1.1

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1、 精品資料 1.1　集合的概念與運算 1．集合與元素 (1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的關(guān)系 (1)子集：對任意的x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，則AB(或BA)． (3)空集：空集是任意一

2、個集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)． (4)若A含有n個元素，則A的子集有2n個，A的非空子集有2n－1個． (5)集合相等：若A?B，且B?A，則A＝B. 3．集合的運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 圖形 符號 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 4.集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì)： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性質(zhì)： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 補集的性質(zhì)： A∪(?UA

3、)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A. 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (　　) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． (　√　) (3)?＝{0}． (　　) (4)若A∩B＝A∩C，則B＝C. (　　) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，則M∩N＝N. (　√　) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，則?UP＝{2}．

4、(　√　) 2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，則A∩B等于________． 答案　{－1,0} 解析　∵－1,0∈B,1?B，∴A∩B＝{－1,0}． 3．已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是________． 答案　5 解析　x－y∈. 4．(2013課標全國Ⅱ改編)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，則M∩N等于________． 答案　{0,1,2} 解析　化簡集合M得M＝{x|－1

5、x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}， 因為函數(shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的對稱軸為x＝a>0，f(0)＝－1<0， 根據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù)， 則這個整數(shù)為2， 所以有f(2)≤0且f(3)>0， 即所以 即≤a<. 題型一　集合的基本概念 例1　(1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為________． (2)設(shè)a，b

6、∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________. 思維啟迪　解決集合問題首先要理解集合的含義，明確元素的特征，抓住集合的“三性”． 答案　(1)10　(2)2 解析　(1)由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y， 當y＝1時，x可取2,3,4,5，有4個； 當y＝2時，x可取3,4,5，有3個； 當y＝3時，x可取4,5，有2個； 當y＝4時，x可取5，有1個． 故共有1＋2＋3＋4＝10(個)． (2)因為{1，a＋b，a}＝，a≠0， 所以a＋b＝0，得＝－1， 所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 思維升華　(1)用描述法表示集合，首先

7、要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題． 　(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個數(shù)為________． (2)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有兩個，則實數(shù)a＝________. 答案　(1)2　(2)0或 解析　(1)集合A表示的是圓心在原點的單位圓，集合B表示的是直線y＝x，據(jù)此畫出圖象，可得圖象有兩個交點，即A∩B的元素個數(shù)為2.

8、 (2)∵集合A的子集只有兩個，∴A中只有一個元素． 當a＝0時，x＝符合要求． 當a≠0時，Δ＝(－3)2－4a2＝0，∴a＝. 故a＝0或. 題型二　集合間的基本關(guān)系 例2　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

9、析　(1)用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個數(shù)． 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}． 由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)當B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2. 當B≠?時，若B?A，如圖． 則，解得2

10、、Venn圖來直觀解決這類問題． 　(1)設(shè)M為非空的數(shù)集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有________個． (2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 答案　(1)6　(2)4 解析　(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(個)，集合{2}的所有子集共有2個，故滿足要求的集合M共有8－2＝6(個)． (2)由log2x≤2，得04，即c＝4. 題型三

11、　集合的基本運算 例3　(1)(2013湖北改編)已知全集為R，集合A＝，B＝，則A∩(?RB)等于________． (2)(2012天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. 思維啟迪　集合的運算問題可先對集合進行化簡，然后結(jié)合數(shù)軸或Venn圖計算． 答案　(1){x|0≤x<2或x>4}　(2)－1　1 解析　(1)A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4} ∴A∩(?RB)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2} ＝{x|0≤x<2或x>4}． (

12、2)先求出集合A，再根據(jù)集合的交集的特點求解． A＝{x|－50}，則A∩B＝________. (2)設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，則m的值是_

13、_______． 答案　(1){3}　(2)1或2 解析　(1)A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}， ∴A∩B＝{x∈Z|2

14、(－2)＝－3，且m＝(－1)(－2)＝2，由這兩式得m＝2. 經(jīng)檢驗知m＝1和m＝2符合條件． ∴m＝1或2. 題型四　集合中的新定義問題 例4　在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論： ①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”． 其中，正確結(jié)論的個數(shù)是________． 思維啟迪　解答本題要充分理解[k]的意義，然后對選項逐一驗證． 答案　3 解析　因為2 014＝4

15、025＋4， 又因為[4]＝{5n＋4|n∈Z}， 所以2 014∈[4]，故①正確； 因為－3＝5(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正確； 因為所有的整數(shù)Z除以5可得的余數(shù)為0,1,2,3,4，所以③正確； 若a，b屬于同一“類”，則有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k， 所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]， 反過來，如果a－b∈[0]， 也可以得到a，b屬于同一“類”，故④正確． 故有3個結(jié)論正確． 思維升華　解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定

16、義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì)． 　已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一個子集，當x∈A時，若有x－1?A，且x＋1?A，則稱x為A的一個“孤立元素”，那么S中無“孤立元素”的4個元素的子集共有________個． 答案　6 解析　由成對的相鄰元素組成的四元子集都沒有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，這樣的集合共有6個． 遺忘空集致誤 典例：(5分)若集合P

17、＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，則由a的可取值組成的集合為__________． 易錯分析　從集合的關(guān)系看，S?P，則S＝?或S≠?，易遺忘S＝?的情況． 解析　P＝{－3,2}．當a＝0時，S＝?，滿足S?P； 當a≠0時，方程ax＋1＝0的解集為x＝－， 為滿足S?P可使－＝－3或－＝2， 即a＝或a＝－.故所求集合為. 答案　 溫馨提醒　(1)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)是高考的一個重點內(nèi)容．解答此類問題的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征．(2)在解答本題時，存在兩個典型錯誤．一是忽略對空集的討論，如a＝0時，S＝?；二是易忽略對字母的討論

18、．如－可以為－3或2.因此，在解答此類問題時，一定要注意分類討論，避免漏解. 方法與技巧 1．集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到．解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化． 2．對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號． 3．對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． 失誤與防范 1．集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對集合進行化簡． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真

19、子集，時刻關(guān)注對空集的討論，防止漏解． 3．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系． 4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心． 5．要注意A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?UA??UB、A∩(?UB)＝?這五個關(guān)系式的等價性. A組　專項基礎(chǔ)訓練 (時間：25分鐘) 1．(2013重慶改編)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)等于________． 答案　{4} 解析　因為A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,

20、3,4}，所以?U(A∪B)＝{4}． 2．下列集合中表示同一集合的是________．(填序號) ①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}； ②M＝{2,3}，N＝{3,2}； ③M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}； ④M＝{2,3}，N＝{(2,3)}． 答案　② 解析?、僦械募螹表示由點(3,2)所組成的單點集，集合N表示由點(2,3)所組成的單點集，故集合M與N不是同一個集合．③中的集合M表示由直線x＋y＝1上的所有點組成的集合，集合N表示由直線x＋y＝1上的所有點的縱坐標組成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M與N不是同一個集合．④中的集

21、合M有兩個元素，而集合N只含有一個元素，故集合M與N不是同一個集合．對②，由集合元素的無序性，可知M，N表示同一個集合． 3．(2013南京期末)已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?SA＝{3}，則實數(shù)a等于_ _______． 答案　0 解析　由題意，知則a＝2. 4．設(shè)集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則(?ZM)∩N等于________． 答案　{－1,0,1} 解析　由已知，得?ZM＝{－2，－1,0,1}， N＝{－1,0,1,2,3}，所以(?ZM)∩N＝{－1,0,1}． 5．已知集合M＝{0,1,2,3,4

22、}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有________個． 答案　4 解析　∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}． ∴M∩N的子集共有22＝4個． 6．(2013遼寧改編)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，則A∩B等于________． 答案　(1,2] 解析　A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 7． 設(shè)全集U為整數(shù)集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1

23、N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝ {x∈N|1≤x≤6}， 由題意，知題圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{1,2,3}， 所以其真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7個． 8．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，則a＝__________. 答案?。?或2 解析　由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，經(jīng)檢驗符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2. 9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A

24、∩B＝__________. 答案　{(0,1)，(－1,2)} 解析　A、B都表示點集，A∩B即是由A中在直線x＋y－1＝0上的所有點組成的集合，代入驗證即可． 10．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

25、5,6,7,8}，則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個數(shù)是________． 答案　56 解析　集合S的個數(shù)為26－23＝64－8＝56. 2．已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，則M∩N等于________． 答案　{x|x>1} 解析　由≥0，得 ∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}， M∩N＝{x|x>1}． 3．已知U＝{x∈Z|y＝ln}，M＝{x∈Z||x－4|≤1}，N＝{x∈N|∈Z}，則M∩(?UN)等于________． 答案　{4,5} 解析　集合U為函數(shù)y＝ln的定義域內(nèi)的整數(shù)集， 由

26、－1>0，即>0，解得01}，P＝{y|y＝，x>2}，則?UP＝________. 答案　 解析　∵U＝{y|

27、y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}， P＝{y|y＝，x>2}＝{y|00}，若A?B，則實數(shù)c的取值范圍是_ _______． 答案　[1，＋∞) 解析　A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)， 因為A?B，畫出數(shù)軸，如右圖所示，得c≥1. 6．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一個真子集，則實數(shù)a的取值范圍是___

28、_____． 答案　(1，＋∞) 解析　由于集合B中的元素是指數(shù)函數(shù)y＝bx的圖象向上平移一個單位長度后得到的函數(shù)圖象上的所有點，要使集合A∩B只有一個真子集，那么y＝bx＋1(b>0，b≠1)與y＝a的圖象只能有一個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． 7．已知M＝{(x，y)|＝a＋1}，N＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若M∩N＝?，則a的值為____________． 答案　1，－1，，－4 解析　集合M表示挖去點(2,3)的直線，集合N表示一條直線，因此由M∩N＝?知，點(2,3)在集合N所表示的直線上或兩直線平行，由此求得a的值為1，－1，，－

29、4. 8．對任意兩個集合M、N，定義：M－N＝{x|x∈M且x?N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，設(shè)M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sin x，x∈R}，則M*N＝________. 答案　{y|y>3或－3≤y<0} 解析　∵M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}， N＝{y|y＝3sin x，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}， ∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}， ∴M*N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0} ＝{y|y>3或－3≤y<0}． 9．已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}， (1)當m＝3時，求A∩(?RB)； (2)若A∩B＝{x|－1