高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第五章 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算

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1、 精品資料 第五章 平面向量 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算 一、填空題 1．已知平面上不共線的四點(diǎn)O、A、B、C.若－3＋2＝0，則等于________． 解析 由已知得，－＝2(－)， ∴＝2，∴＝2. 答案 2 2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 解析 依題意得a－c＝(3－k，－6)， 由(a－c)∥b得－6＝3(3－k)，k＝5. 答案 5 3．在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是CD和BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則

2、λ＋μ＝________. 解析　如圖，設(shè)＝a，＝b，則 ＝＋＝a＋b， ＝＋＝a＋b， ＝＋＝a＋b，所以＋＝(a＋b)＝， 即＝＋.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝. 答案　 4． 在△ABC中，已知點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0.＝λ，則實數(shù)λ的值為________． 解析　如圖所示，由＝λ，且＋＋＝0，則P為以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)，因此＝－2，則λ＝－2. 答案?。? 5．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c，都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實數(shù))，則m的取值范圍是________．

3、解析 本題考查平面向量基本定理．任意兩個不共線的向量均可作為基底向量來表示平面內(nèi)的任一向量，故本題需滿足a，b不共線，當(dāng)a∥b，即向量a，b共線時，滿足3m－2＝2m，解得m＝2.故a，b不共線時，m∈(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案 (－∞，2)∪(2，＋∞) 6．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點(diǎn)，那么＝________. 解析 在△CEF中，有＝＋，因為E為DC的中點(diǎn)，所以＝.因為點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－. 答案 － 7．在△AOB中，已知OA＝4，OB＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則＝________. 解析 特值法：設(shè)△

4、ABO為直角三角形，建立坐標(biāo)系如圖，＝(＋) ＝(＋)(－)＝(－)＝－6.[來源: ] 答案 －6[來源:] 8. 如圖所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，則＝________(用a，b表示)． 解析?。剑剑? ＝＋(＋)＝＋＋ ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋＝－a＋b. 答案　－a＋b 9．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 解析?。?＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|. 故A，B，C為矩形的三個頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形． 答案　直角三角形 10．已知向量a、b、c中任意兩個都不共線，并

5、且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于________． 解析 ∵a＋b與c共線，∴a＋b＝λ1c.① 又∵b＋c與a共線，∴b＋c＝λ2a.② 由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴，即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0. 答案 0 二、解答題 11．如圖，以向量＝a，＝b為邊作?OADB，＝，＝，用a、b表示、、. 解 ＝a＋b，＝a＋b，＝a－b 12. 如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM的值． 解　設(shè)＝e1，＝e2， 則＝＋＝－3e2－e

6、1， ＝2e1＋e2，因為A、P、M和B、P、N分別共線，所以存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2， 而＝＋＝2e1＋3e2， 所以所以 所以＝，所以＝，即AP∶PM＝4∶1. 13．已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)． (1)求＋＋； (2)若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證：＋＝3. (1)解　因為＋ ＝2，又2＝－，所以＋＋＝－＋＝0. (2)證明　因為＝(a＋b)，且G是△ABO的重心， 所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三點(diǎn)共線， 得∥，所以有且只有一個實數(shù)

7、λ，使＝λ. 又＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b， ＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b， 所以a＋b＝λ. 又因為a、b不共線，所以 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3. 14. 如圖所示，已知△ABC的面積為14 cm2，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，且＝＝2，求△APC的面積． 解　設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝a＋b. 因為點(diǎn)A，P，E和點(diǎn)D，P，C均三點(diǎn)共線，所以存在λ和μ，使得＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb. 又因為＝＋＝a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝14＝8 (cm2)，S△PBC＝14＝2 (cm2)， 故S△APC＝14－8－2＝4(cm2).