高考數(shù)學文科一輪總復習 第2篇 第11節(jié) 導數(shù)的簡單應用

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1、 精品資料 第二篇　第11節(jié) 一、選擇題 1．(2014安徽皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是下圖中的(　　) 解析：由f′(x)圖象知，在x∈(－2,0)時，f′(x)＞0， ∴f(x)在此區(qū)間上單調遞增，其余的區(qū)間f(x)都單調遞減， 研究選項知，只有A選項滿足，選A. 答案：A 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于(　　) A．11或18　 B．11 C．18　 D．17或18 解析：∵函

2、數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10， ∴f(1)＝10，且f′(1)＝0， 即 解得或 而當時，函數(shù)在x＝1處無極值，故舍去． ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， ∴f(2)＝18.故選C. 答案：C 3．函數(shù)f(x)＝x＋2cos x在上取得最大值時x的值為(　　) A．0　 B． C.　 D． 解析：由于f′(x)＝1－2sin x， 令f′(x)＝0得，sin x＝， 又x∈， 所以x＝. 且f＝＋， 又f(0)＝2，f＝， 所以f為最大值． 故選B. 答案：B 4．(2014濟寧模擬)若函數(shù)h(x)＝2x－＋在(1，＋

3、∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．[－2，＋∞)　 B．[2，＋∞) C．(－∞，－2]　 D．(－∞，2] 解析：因為h′(x)＝2＋， 若h(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 則h′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 故2＋≥0恒成立， 即k≥－2x2恒成立． 又x>1， ∴－2x2<－2， 因此，需k≥－2，故選A. 答案：A 5．(2012年高考大綱全國卷)已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c等于(　　) A．－2或2　 B．－9或3 C．－1或1　 D．－3或1 解析：∵y′＝3(x＋1)(x－1)， ∴當x＝－1或

4、x＝1時取得極值， 由題意得f(1)＝0或f(－1)＝0， 即c－2＝0或c＋2＝0， 解得c＝2或c＝－2.故選A. 答案：A 6．若函數(shù)f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為(　　) A.　 B． C.＋1　 D．－1 解析：f′(x)＝＝， 當x>時，f′(x)<0，f(x)單調遞減， 當－0，f(x)單調遞增， 當x＝時， 令f(x)＝＝，＝<1，不合題意． ∴f(x)max＝f(1)＝＝， a＝－1，故選D. 答案：D 二、填空題 7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那

5、么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為________． 解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， ∴f(x)在(－2,0)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減， 因此，當x＝0時，f(x)取得最大值， 即f(0)＝m＝3， 然而f(－2)＝－37，f(2)＝－5， 因此f(x)min＝f(－2)＝－37. 答案：－37 8．已知函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)內單調遞減，則實數(shù)m＝________. 解析：由已知得，m2－4＝0， ∴m＝2. 若g(x)在(－∞，＋∞)內單調遞減，

6、則g′(x)≤0恒成立， 即－3x2＋4x＋m≤0恒成立， 亦即3x2－4x－m≥0恒成立． ∴Δ＝16＋12m≤0， 解得m≤－， 故m＝－2. 答案：－2 9．函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 令f′(x)＝0得，x2＋2ax＋a＋2＝0， 若f(x)有極大值和極小值， 則方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個不等實數(shù)根， ∴Δ＝4a2－4(a＋2)>0. 解得a>2或a<－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10.(2014黃山市一

7、模)如果y＝f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，給出下列判斷： ①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內單調遞增； ②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內單調遞減； ③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4，＋∞)內單調遞增； ④當x＝2時，函數(shù)y＝f(x)有極小值； ⑤當x＝－時，函數(shù)y＝f(x)有極大值． 則上述判斷正確的為________．(填序號) 解析：當x∈(4，＋∞)，f′(x)>0，f(x)單調遞增，因此判斷③正確．f′(x)在區(qū)間，內既有大于0也有小于0的取值，不是單調區(qū)間，判斷①②錯誤；當x＝2時，導函數(shù)由正到負，函數(shù)先增后減，x＝2是函數(shù)的極大值點，判斷④錯誤；x＝－時導數(shù)不為0，不是函數(shù)

8、的極值點，判斷⑤也錯誤． 答案：③ 三、解答題 11．(2014宣城調研)已知函數(shù)f(x)＝mln x＋(m－1)x，m∈R. (1)若m＝3，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)若f(x)恒為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當m＝3時，f(x)＝3ln x＋2x. f′(x)＝＋2＝， 所以f′(1)＝5.又f(1)＝2， 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是 y－2＝5(x－1)， 即5x－y－3＝0. (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 因為f(x)恒為增函數(shù)， 所以f′(x)＝＋m－1＝≥0， 所以

9、m≥＝在(0，＋∞)上恒成立． 易知g(x)＝在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 所以g(x)<1，故m≥1. 12．(2014蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋bx，直線y＝2x－2與曲線y＝f(x)相切于點P. (1)求點P的坐標及b的值； (2)若函數(shù)g(x)＝x－(a>0)，討論函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)的單調區(qū)間． 解：(1)設P(x0，y0)為直線y＝2x－2與曲線y＝f(x)的切點， 則有2ln x0＋bx0＝2x0－2.① 因為f′(x)＝＋b， 所以＋b＝2.② 聯(lián)立①②解得b＝0，x0＝1， 則切點P(1,0)，b＝0. (2)由(1)知f(x)

10、＝2ln x，則 h(x)＝g(x)－f(x)＝x－－2ln x(x>0)． 求導得h′(x)＝1＋－＝. ①若Δ＝4－4a≤0，即a≥1時，h′(x)≥0，此時函數(shù)在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)； ②若Δ＝4－4a>0，即00. 當0x2時，h′(x)>0，h(x)為增函數(shù)； 當x1