人教版高中數學選修11課時跟蹤檢測十二 拋物線的簡單幾何性質 Word版含解析

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1、（人教版）精品數學教學資料課時跟蹤檢測（十二）拋物線的簡單幾何性質層級一層級一學業(yè)水平達標學業(yè)水平達標1已知拋物線的對稱軸為已知拋物線的對稱軸為 x 軸，頂點在原點，焦點在直線軸，頂點在原點，焦點在直線 2x4y110 上，則此拋上，則此拋物線的方程是物線的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x解析：解析：選選 C在方程在方程 2x4y110 中，中，令令 y0 得得 x112，拋物線的焦點為拋物線的焦點為 F112，0，即即p2112，p11，拋物線的方程是拋物線的方程是 y222x，故選，故選 C2過點過點(2,4)作直線作直線 l，與拋物線，與拋物線 y28x 只有一

2、個公共點，這樣的直線只有一個公共點，這樣的直線 l 有有()A1 條條B2 條條C3 條條D4 條條解析：解析：選選 B可知點可知點(2,4)在拋物線在拋物線 y28x 上，上，過點過點(2,4)與拋物線與拋物線 y28x 只有一個公只有一個公共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行3設設 O 為坐標原點，為坐標原點，F 為拋物線為拋物線 y24x 的焦點，的焦點，A 為拋物線上一點，若為拋物線上一點，若OA AF4，則點，則點 A 的坐標為的坐標為()A(2，22)B(1，2)C(1,2)D(2,2 2)

3、解析：解析：選選 B設設 A(x，y)，則，則 y24x，又又OA (x，y)，AF(1x，y)，所以所以OA AFxx2y24由由可解得可解得 x1，y24過點過點(1,0)作斜率為作斜率為2 的直線，與拋物線的直線，與拋物線 y28x 交于交于 A，B 兩點，則弦兩點，則弦 AB 的長為的長為()A2 13B2 15C2 17D2 19解析：解析：選選 B設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)由題意知由題意知 AB 的方程為的方程為 y2(x1)，即即 y2x2由由y28x，y2x2，得得 x24x10，x1x24，x1x21|AB| 1k2 x1x2 24x1x2 14 164 512

4、2 155設設 F 為拋物線為拋物線 C：y23x 的焦點，過的焦點，過 F 且傾斜角為且傾斜角為 30的直線交的直線交 C 于于 A，B 兩點，兩點，O 為坐標原點，則為坐標原點，則OAB 的面積為的面積為()A3 34B9 38C6332D94解析：解析：選選 D易知拋物線中易知拋物線中 p32，焦點，焦點 F34，0，直線，直線 AB 的斜率的斜率 k33，故直線，故直線 AB的方程為的方程為 y33x34 ，代入拋物線方程，代入拋物線方程 y23x，整理得，整理得 x2212x9160設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，則 x1x2212由拋物線的定義可得弦長由拋物線的定義可

5、得弦長|AB|x1x2p2123212，結合圖，結合圖象可得象可得 O 到直線到直線 AB 的距離的距離 dp2sin 3038，所以，所以OAB 的面積的面積 S12|AB|d946直線直線 yx1 被拋物線被拋物線 y24x 截得的線段的中點坐標是截得的線段的中點坐標是_解析：解析：將將 yx1 代入代入 y24x，整理，得，整理，得 x26x10由根與系數的關系，得由根與系數的關系，得 x1x26，x1x223，y1y22x1x2226222所求點的坐標為所求點的坐標為(3,2)答案：答案：(3,2)7過拋物線過拋物線 y24x 的焦點作直線交拋物線于點的焦點作直線交拋物線于點 A(x1

6、，y1)，B(x2，y2)，若，若|AB|7，則則AB 的中點的中點 M 到拋物線準線的距離為到拋物線準線的距離為_解析解析： 拋物線的焦點為拋物線的焦點為 F(1,0)， 準線方程為準線方程為 x1 由拋物線的定義知由拋物線的定義知|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p，即，即 x1x227，得，得 x1x25，于是弦，于是弦 AB 的中點的中點 M 的橫坐的橫坐標為標為52因此，點因此，點 M 到拋物線準線的距離為到拋物線準線的距離為52172答案：答案：728過拋物線過拋物線 x22py(p0)的焦點的焦點 F 作傾斜角為作傾斜角為 30的直線，與拋物線分別交于的直線，與拋物線分

7、別交于 A，B兩點兩點(點點 A 在在 y 軸左側軸左側)，則，則|AF|FB|_解析解析： 由題意可得焦點由題意可得焦點 F0，p2 ， 故直線故直線 AB 的方程為的方程為 y33xp2， 與與 x22py 聯立得聯立得 A，B 兩點的橫坐標為兩點的橫坐標為 xA33p，xB 3p，故故 A33p，16p，B 3p，32p，所以所以|AF|23p，|BF|2p，所以，所以|AF|BF|13答案：答案：139已知拋物線已知拋物線 y26x，過點，過點 P(4,1)引一弦，使它恰在點引一弦，使它恰在點 P 被平分，求這條弦所在的直被平分，求這條弦所在的直線方程線方程解：解：設弦的兩個端點為設弦

8、的兩個端點為 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在拋物線上，在拋物線上，y216x1，y226x2兩式相減得兩式相減得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入，代入得得 ky2y1x2x13直線的方程為直線的方程為 y13(x4)，即，即 3xy11010已知直線已知直線 l 經過拋物線經過拋物線 y24x 的焦點的焦點 F，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于 A，B 兩點兩點(1)若若|AF|4，求點，求點 A 的坐標；的坐標；(2)求線段求線段 AB 的長的最小值的長的最小值解解：由由 y24x，得得 p2，其準線方程為其準線方程為 x1，焦點焦點 F(1,0)

9、設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由拋物線的定義可知由拋物線的定義可知， |AF|x1p2， 從而從而 x1413 代入代入 y24x， 解得解得 y12 3點點 A 的坐標為的坐標為(3,2 3)或或(3，2 3)(2)當直線當直線 l 的斜率存在時，的斜率存在時，設直線設直線 l 的方程為的方程為 yk(x1)與拋物線方程聯立，與拋物線方程聯立，得得yk x1 ，y24x，消去消去 y，整理得，整理得k2x2(2k24)xk20直線與拋物線相交于直線與拋物線相交于 A，B 兩點，兩點，則則 k0，并設其兩根為，并設其兩根為 x1，x2，x1x224k2由拋物線的定義可知，由拋物

10、線的定義可知，|AB|x1x2p44k24當直線當直線 l 的斜率不存在時的斜率不存在時，直線直線 l 的方程為的方程為 x1，與拋物線相交于與拋物線相交于 A(1,2)，B(1，2)，此時此時|AB|4，|AB|4，即線段，即線段 AB 的長的最小值為的長的最小值為 4層級二層級二應試能力達標應試能力達標1邊長為邊長為 1 的等邊三角形的等邊三角形 AOB，O 為坐標原點，為坐標原點，ABx 軸，以軸，以 O 為頂點且過為頂點且過 A，B的拋物線方程是的拋物線方程是()Ay236xBy236xCy236xDy233x解析解析：選選 C設拋物線方程為設拋物線方程為 y2ax(a0)又又 A32

11、，12 (取點取點 A 在在 x 軸上方軸上方)，則有則有1432a，解得，解得 a36，所以拋物線方程為，所以拋物線方程為 y236x故選故選 C2過拋物線過拋物線 y24x 的焦點的焦點，作一條直線與拋物線交于作一條直線與拋物線交于 A，B 兩點兩點，若它們的橫坐標之若它們的橫坐標之和等于和等于 5，則這樣的直線，則這樣的直線()A有且僅有一條有且僅有一條B有兩條有兩條C有無窮多條有無窮多條D不存在不存在解析解析： 選選 B設設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由拋物線的定義由拋物線的定義， 知知|AB|x1x2p527 又又直線直線 AB 過焦點且垂直于過焦點且垂直于 x 軸

12、的直線被拋物線截得的弦長最短，且軸的直線被拋物線截得的弦長最短，且|AB|min2p4，所以這，所以這樣的直線有兩條故選樣的直線有兩條故選 B3直線直線 ykx2 交拋物線交拋物線 y28x 于于 A，B 兩點，若兩點，若 AB 中點的橫坐標為中點的橫坐標為 2，則，則 k()A2 或或2B1 或或1C2D3解析：解析：選選 C由由y28x，ykx2，得得 k2x24(k2)x40又由又由16(k2)216k20，得得 k1則由則由4 k2 k24，得，得 k2故選故選 C4已知拋物線已知拋物線 C：y28x 與點與點 M(2,2)，過，過 C 的焦點且斜率為的焦點且斜率為 k 的直線與的直線

13、與 C 交于交于 A，B 兩點，若兩點，若MA MB 0，則，則 k()A12B22C 2D2解析解析： 選選 D由題意可知拋物線由題意可知拋物線 C 的焦點坐標為的焦點坐標為(2,0)， 則直線則直線 AB 的方程為的方程為 yk(x2)，將其代入將其代入 y28x，得，得 k2x24(k22)x4k20設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則x1x24 k22 k2，x1x24.由由y1k x12 ，y2k x22 y1y2k x1x2 4k，y1y2k2x1x22 x1x2 4.MA MB 0，(x12，y12)(x22，y22)0(x12)(x22)(y12)(y22)0，即即

14、x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40由由解得解得 k2故選故選 D 項項5直線直線 yx3 與拋物線與拋物線 y24x 交于交于 A，B 兩點，過兩點，過 A，B 兩點向拋物線的準線作垂兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為線，垂足分別為 P，Q，則梯形，則梯形 APQB 的面積為的面積為_解析解析： 由由y24x，yx3，消去消去 y 得得 x210 x90， 得得 x1 或或 9， 即即x1，y2或或x9，y6.所以所以|AP|10， |BQ|2 或或|BQ|10， |AP|2， |PQ|8， 所以梯形所以梯形 APQB 的面積的面積 S1022848答案：答案：486頂點為坐

15、標原點頂點為坐標原點，焦點在焦點在 x 軸上的拋物線軸上的拋物線，截直線截直線 2xy10 所得的弦長為所得的弦長為 15，則拋物線方程為則拋物線方程為_解析：解析：設所求拋物線方程為設所求拋物線方程為 y2ax(a0)，聯立聯立y2ax，2xy10，得得 4x2(4a)x10，則則(4a)2160，得，得 a8 或或 a0)的焦點為的焦點為 F，直線，直線 y4 與與 y 軸的交點為軸的交點為 P，與，與 C 的交的交點為點為 Q，且，且|QF|54|PQ|(1)求求 C 的方程；的方程；(2)過過 F 的直線的直線 l 與與 C 相交于相交于 A，B 兩點兩點，若若 AB 的垂直平分線的垂

16、直平分線 l與與 C 相交于相交于 M，N 兩兩點，且點，且 A，M，B，N 四點在同一圓上，求四點在同一圓上，求 l 的方程的方程解：解：(1)設設 Q(x0,4)，代入，代入 y22px 得得 x08p所以所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p由題設得由題設得p28p548p，解得，解得 p2(舍去舍去)或或 p2所以所以 C 的方程為的方程為 y24x(2)依題意知依題意知 l 與坐標軸不垂直，與坐標軸不垂直，故可設故可設 l 的方程為的方程為 xmy1(m0)代入代入 y24x 得得 y24my40設設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，則 y1y24m，y1y24故故 AB

17、 的中點為的中點為 D(2m21,2m)，|AB| m21|y1y2| m21 y1y2 24y1y24(m21)又又 l的斜率為的斜率為m，所以所以 l的方程為的方程為 x1my2m23將上式代入將上式代入 y24x，并整理得并整理得 y24my4(2m23)0設設 M(x3，y3)，N(x4，y4)，則則 y3y44m，y3y44(2m23)故故 MN 的中點為的中點為 E2m22m23，2m ，|MN|11m2|y3y4|11m2 y3y4 24y3y44 m21 2m21m2由于由于 MN 垂直平分垂直平分 AB，故，故 A，M，B，N 四點在同一圓上等價于四點在同一圓上等價于|AE|BE|12|MN|，從而從而14|AB|2|DE|214|MN|2，即，即 4(m21)22m2m22m2224 m21 2 2m21 m4化簡得化簡得 m210，解得，解得 m1 或或 m1所求直線所求直線 l 的方程為的方程為 xy10 或或 xy10