2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修5 第二章 解三角形 單元測試 Word版含解析

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1、北師大版 2019-2020 學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 , 學(xué)生用書單獨成冊) (時間：100 分鐘，滿分：120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1已知銳角三角形的邊長分別為 1，3，a，則 a 的取值范圍是( ) A(8，10) B( 8， 10) C( 8，10) D( 10，8) 解析：選 B.依題意，三角形為銳角三角形，則1232a2012a2320，解得 8a 10，故選B. 2在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，則 A 的取值范圍是( ) A(0，6 B6，) C(0

2、，3 D3，) 解析：選 C. 根據(jù)題意，由正弦定理得，a2b2c2bc，即 b2c2a2bc， 由余弦定理得，cos Ab2c2a22bcbc2bc12. 又 0A，所以 0A3. 3在ABC 中，若acos Abcos Bccos C，則ABC 是( ) A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形 解析：選 B.由正弦定理，原式可化為sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C， 所以 tan Atan Btan C. 又因為 A，B，C(0，)，所以 ABC. 所以ABC 是等邊三角形 4在ABC 中，A60，a 6，b4，那么滿足條件的ABC ( ) A

3、有一個解 B有兩個解 C無解 D不能確定 解析：選 C.由正弦定理得 asin Bbsin A4sin 604322 3. 又 a 6，且 60，所以 C 是銳角 所以 cos C18.因為CBCA52，所以 abcos C52，所以 ab20.又因為 ab9，所以a22abb281，所以 a2b241，所以 c2a2b22abcos C36，所以 c6，故選 C. 6在ABC 中，若 A120，AB5，BC7，則sin Bsin C的值為( ) A.85 B.58 C.53 D.35 解析：選 D.由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cos A， 即 7252AC210AC cos

4、 120， 所以 AC3(負(fù)值舍去)由正弦定理得sin Bsin CACAB35. 7已知圓的半徑為 4，a，b，c 為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若 abc16 2，則三角形的面積為( ) A2 2 B8 2 C. 2 D.22 解析：選 C.因為asin Absin Bcsin C2R8， 所以 sin Cc8， 所以 SABC12absin Cabc1616 216 2. 8在ABC 中，AB3，A60，AC4，則邊 BC 上的高是( ) A.6 1313 B.6 3913 C.3 3913 D.12 3913 解析：選 B.由余弦定理，得 BC2AB2AC22AB AC cos A， 因為

5、 AB3，AC4，A60， 所以 BC 13，設(shè)邊 BC 上的高為 h， 所以 SABC12BCh12ABACsin A， 即12 13h123432， 所以 h6 3913. 9. 某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為 1，頂角為 的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ) A2sin 2cos 2 Bsin 3cos 3 C3sin 3cos 1 D2sin cos 1 解析：選 A.四個等腰三角形的面積之和為 41211sin 2sin ，再由余弦定理可得正方形的邊長為 1212211cos 22cos ，故正方形的面積為 22cos ，所以所求八邊形

6、的面積為 2sin 2cos 2. 10在ABC 中，B30，AB2 3，AC2，則ABC 的面積為( ) A2 3 B. 3 C2 3或 4 3 D. 3或 2 3 解析： 選 D.如圖，因為 ADAB sin B 32，所以 BDAB cos B3， CD AC2AD21， CD AC2AD21. 所以 BC312，BC314， 故ABC 有兩解， SABC12BCAD 3或 SABC12BCAD2 3. 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分，把答案填在題中橫線上) 11已知ABC 的面積 S 3，A3，則ABAC_ 解析：SABC12ABACsin A， 即 31

7、2ABAC32， 所以 AB AC4， 于是ABAC|AB|AC|cos A 4122. 答案：2 12在ABC 中，若 b 2a，B2A，則ABC 為_三角形 解析：由正弦定理知 sin B 2sin A， 又因為 B2A，所以 sin 2A 2sin A， 所以 2sin Acos A 2sin A， 所以 cos A22，所以 A45，B90. 故ABC 為等腰直角三角形 答案：等腰直角 13某小區(qū)的綠化地有一個三角形的花圃區(qū)，若該三角形的三個頂點分別用 A，B，C表示，其對邊分別為 a，b，c，且滿足(2bc)cos Aacos C0，則在 A 處望 B，C 所成的角的大小為_ 解析：

8、在ABC 中，(2bc)cos Aacos C0，結(jié)合正弦定理得 2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos C0，即 2sin Bcos Asin(AC)0，即 2sin Bcos Asin B0.又因為 A，B(0，)，所以 sin B0，所以 cos A12，所以 A3，即在 A 處望 B，C 所成的角的大小為3. 答案：3 14在銳角ABC 中，BC1，B2A，則ACcos A的值等于_，AC 的取值范圍為_ 解析：設(shè) AB2. 由正弦定理得ACsin 2BCsin ， 所以AC2cos 1ACcos 2. 由銳角ABC 得 0290045. 又 01803903060

9、， 故 304522cos 32， 所以 AC2cos ( 2， 3) 答案：2 ( 2， 3) 15如圖，為測量山高 MN，選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測量觀測點從 A 點測得M 點的仰角MAN60， C 點的仰角CAB45以及MAC75； 從 C 點測得MCA60.已知山高 BC100 m，則山高 MN_m. 解析：根據(jù)題圖知，AC100 2 m. 在MAC 中，CMA180756045. 由正弦定理得ACsin 45AMsin 60AM100 3 m. 在AMN 中，MNAMsin 60， 所以 MN100 332150(m) 答案：150 三、解答題(本大題共 5 小題，共 55

10、 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16(本小題滿分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，若 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，且ACAB4，求ABC 的面積 S. 解：由已知得 b2c2a2bc， 所以 bcb2c2a22bccos A， 所以 cos A12，sin A32. 由ACAB4，得 bccos A4，所以 bc8， 所以 S12bcsin A2 3. 17(本小題滿分 10 分)設(shè)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且 ac6，b2，cos B79. (1)求 a，c 的值； (2)求 sin(A

11、B)的值 解：(1)由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 b2(ac)22ac(1cos B)， 又 b2，ac6，cos B79， 所以 ac9，解得 a3，c3. (2)在ABC 中，sin B 1cos2B4 29， 由正弦定理得 sin Aasin Bb2 23. 因為 ac，所以 A 為銳角 所以 cos A 1sin2A13. 因此 sin(AB)sin Acos Bcos Asin B10 227. 18(本小題滿分 10 分)為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍 1 km 處不能收到手機信號， 檢查員抽查青島市一考點， 在考點正西約 3

12、 km有一條北偏東 60方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時 12 km 的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多少時間該考點才算合格？ 解：如圖，考點為 A，檢查開始處為 B，設(shè)公路上 C、D 兩點到考點的距離為 1 km. 在ABC 中，AB 3，AC1，ABC30， 由正弦定理，得 sinACBsin 30ACAB32， 所以ACB120(ACB60不合題意)， 所以BAC30，所以 BCAC1， 在ACD 中，ACAD，ACD60， 所以ACD 為等邊三角形，所以 CD1. 因為BC12605(min)， 所以在 BC 上需 5 min，CD

13、 上需 5 min.最長需要 5 min 檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù) 5 min 才算合格 19(本小題滿分 12 分)如圖，A，B 是海面上位于東西方向相距 5(3 3)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于 A 點北偏東 45，B 點北偏西 60的 D 點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于 B點南偏西 60且與 B 點相距 20 3海里的 C 點的救援船立即前往營救，其航行速度為 30 海里/小時，該救援船到達 D 點需要多長時間？ 解：連接 DC. 由題意知 AB5(3 3)海里， DBA906030，DAB904545， 則ADB180(4530)105. 在DAB 中，由正弦定理得 DBsinDA

14、BABsinADB， 所以 DBABsinDABsinADB 5（3 3）sin 45sin 105 5（3 3）sin 45sin 45cos 60cos 45sin 60 5 3（ 31）31210 3(海里) 又DBCDBAABC303060， BC20 3(海里)， 在DBC 中，由余弦定理得 CD2BD2BC22BD BC cosDBC3001 200210 320 312900， 得 CD30(海里)，則需要的時間 t30301(小時) 所以該救援船到達 D 點需要 1 小時 20(本小題滿分 13 分)已知銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊長分別為 a，b，c，若 a2bsin A. (1)求 B 的大小； (2)求 cos Asin C 的取值范圍 解：(1)由 a2bsin A， 根據(jù)正弦定理得 sin A2sin Bsin A， 所以 sin B12，由ABC 為銳角三角形得 B6. (2)cos Asin Ccos Asin(6A) cos Asin(6A) cos A12cos A32sin A 3sin(A3) 由ABC 為銳角三角形且 B6知， AC56，因 0C2，0A2，故 056A2， 得3A2，23A356，所以12sin(A3)32. 所以32 3sin(A3)32 3， 故 cos Asin C 的取值范圍為(32，32)