2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;1 第1課時(shí) 求值問題 Word版含答案

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1、北師大版 2019-2020 學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 第 1 課時(shí) 求 值 問 題 核心必知 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 關(guān)系 公式表達(dá) 語言敘述 平方關(guān)系 sin2cos21 同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于 1 商數(shù)關(guān)系 sin cos tan_ 同一個(gè)角(k2(kZ Z)的正弦、余弦的商等于的正切 問題思考 1如何理解同角三角函數(shù)關(guān)系中“同角”的含義？ 提示：“同角”有兩層含義一是“角相同”，二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)式無關(guān)，如 sin22cos221，sin22cos221 等 2平方關(guān)系對任意R R 均成立，對嗎？商數(shù)關(guān)系呢？ 提示：正確因?yàn)閷θ我釸

2、 R，sin ，cos 都有意義，所以 sin2cos21 對任意角R R 都成立而商數(shù)關(guān)系，sin cos tan 則不然，需保證 cos 0，則 tan 有意義，所以商數(shù)關(guān)系，只對R R，且k2(kZ Z)成立 講一講 1(1)已知 sin 45，是第二象限角，求 cos ，tan ；(2)若 cos 817，試求sin ，tan 的值 嘗試解答 (1)sin2cos21， cos21sin21(45)2925. 又是第二象限角， cos 0，cos 35. tan sin cos 45(53)43. (2)cos 8170. sin 1cos2 1（817）21517， tan sin

3、cos 1517(178)158. 當(dāng)是第三象限角時(shí)，sin 0， 是第一或第三象限角 當(dāng)是第一象限角時(shí)，cos 0， cos 55， sin cos tan 5522 55. 當(dāng)是第三象限角時(shí)，cos 0， cos 55， sin cos tan 2 55. (2)sin cos sin cos sin cos cos cos sin cos cos cos tan 1tan 1212123. sin cos sin cos sin2cos2sin cos cos2sin2cos2cos2tan tan21 222125. 1已知角的正切值在求角的正弦值時(shí)，應(yīng)盡量少用平方關(guān)系，一般按以下思路

4、求解： cos211tan2 開方cos 用sin tan cos sin . 2本講(2)是已知角的正切值，求關(guān)于 sin ，cos 的齊次式值的問題解決該類問題通常是利用商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，將原式化為關(guān)于 tan 的表達(dá)式，然后整體代入 tan 的值求解，體現(xiàn)了“整體化”的思想，可減少運(yùn)算量并避免討論 練一練 2已知 tan()12，求： (1)sin cos 的值； (2)2sin212cos2的值 解：(1)由已知得 tan 120，是第二或第四象限的角， 則 cos2cos2sin2cos21tan211（12）2145. 當(dāng)是第二象限角時(shí)，cos 255， sin tan cos

5、12(255)55， sin cos 55； 當(dāng)是第四象限角時(shí)，cos 255， sin tan cos 55，sin cos 55. (2)2sin212cos22sin212cos2sin2cos2 2tan212tan212（12）212（12）210. 講一講 3(1)已知 sin 12cos ，則 sin4cos4_ (2)若 sin cos 15，且 0，則 tan _. 嘗試解答 (1)由 sin 12cos ，得 tan 12. cos2cos2sin2cos211tan245. sin21cos215. sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2) sin2cos

6、2154535. (2)由 sin cos 15，得 12sin cos 125. sin cos 12250. 又 00，cos 0， sin cos （sin cos ）2 12sin cos 12（1225）75. 可得 sin 45，cos 35， tan sin cos 43. 答案 (1)35 (2)43 1已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值時(shí)，一般先利用公式將其化簡，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解 2sin cos ，sin cos ，sin cos 三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin cos )212sin cos

7、 ，利用此關(guān)系求 sin cos 或 sin cos 的值時(shí)，要注意判斷它們的符號 練一練 3已知 sin ，cos 是關(guān)于x的方程x2axa0 的兩個(gè)根(aR R) (1)求 sin3cos3的值； (2)求 tan 1tan 的值 解：sin ，cos 是方程x2axa0 的兩個(gè)根， sin cos a，且 sin cos a， (sin cos )212sin cos . 即a212a，解得a1 2，而當(dāng)a1 2時(shí)， (1 2)24(1 2)12 20， a1 2，則 (1)sin3cos3(sin cos )(1sin cos ) a(1a)(1 2)1(1 2) 22. (2)tan

8、 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 1sin cos 1a11 21 2. 若 sin A45，且A是三角形的一個(gè)內(nèi)角，求5sin A815cos A7的值 錯(cuò)解 sin A45， cos A 1sin2A35， 5sin A815cos A75458153576. 錯(cuò)因 由 sin A45不能確定A是銳角或鈍角，那么 cos A就有正、負(fù)兩個(gè)值，此解法中忽視開方運(yùn)算的符號而出現(xiàn)錯(cuò)誤 正解 sin A45，且A是三角形的一個(gè)內(nèi)角， A是銳角或鈍角 當(dāng)A為銳角時(shí)， cos A 1sin2A35. 5sin A815cos A75458153576； 當(dāng)A為

9、鈍角時(shí)， cos A 1sin2A35. 5sin A815cos A7545815（35）734. 1下列各項(xiàng)中可能成立的是( ) Asin 12且 cos 12 Bsin 0 且 cos 1 Ctan 1 且 cos 1 D在第二象限時(shí)，tan sin cos 解析：選 B 由平方關(guān)系知 A 不成立；由商數(shù)關(guān)系知 D 不成立對于 B，當(dāng) sin 0 時(shí)，cos 1，所以 B 可能成立而對于 C，當(dāng) tan 1 時(shí)，cos211tan212，所以 C 不成立應(yīng)選 B. 2已知 sin 45，是第三象限角，則 tan 等于( ) A.34 B34 C.43 D43 解析：選 C sin 45，

10、且是第三象限角 cos 1sin235，tan sin cos 43. 3已知 tan 3，且為三角形的內(nèi)角，那么 cos 的值為( ) A 3 B.2 33 C12 D2 解析：選 C cos211tan211（ 3）214. 為三角形的內(nèi)角，tan 0， (2，)，cos 12. 4已知 sin 55，則 sin2cos2的值為_ 解析：sin2cos2 2sin212(55)2135. 答案：35 5已知 tan 12，則12sin cos sin2cos2的值是_ 解析：原式sin2cos22sin cos sin2cos2 （sin cos ）2（sin cos ）（sin cos

11、） sin cos sin cos tan 1tan 1 （12）1（12）113. 答案： 13 6已知 sin 42mm5，cos m3m5，是第四象限角， 試求 tan 的值 解：sin2cos21， (42mm5)2(m3m5)21. 化簡，整理得， m(m8)0，m10，m28. 當(dāng)m0 時(shí)，sin 45，cos 35，不符合是第四象限角，舍去 當(dāng)m8 時(shí)，sin 1213，cos 513，tan 125. 一、選擇題 1已知 sin(2)13，(2，0)，則 tan 的值為( ) A2 2 B2 2 C24 D.24 解析：選 A 由已知得 cos 13.(2，0)， sin 1c

12、os2232， tan sin cos 23232 2. 2已知向量a a(3，4)，b b(sin ，cos )，且a ab b，則 tan ( ) A.34 B34 C.43 D43 解析：選 A 由a ab b得，sin 3cos 4. sin cos 34tan . 3若 sin ，cos 是方程 3x26mx2m10 的兩根則實(shí)數(shù)m的值為( ) A12 B.56 C12或56 D.12 解析：選 A 依題意得sin cos 2m，sin cos 2m13， (sin cos )212sin cos ， (2m)2123(2m1)， 即 12m24m50. 解m12或56. m56時(shí)，

13、36m212(2m1)0，則 cos _ 解析：sin 0，是第三象限角， cos 1sin235. 答案：35 6已知(，32)，tan 2，則 cos _ 解析：依題意得tan sin cos 2，sin2cos21，由此解得 cos215. 又(，32)，因此 cos 55. 答案：55 7已知A為三角形內(nèi)角，且 sin Acos A18，則 cos Asin A_ 解析：(cos Asin A)212sin Acos A12(18)54. 0A，sin Acos A0，cos A0. cos Asin A0，cos Asin A52. 答案：52 8已知是第三象限角，且 sin4cos

14、459， 則 sin cos _ 解析：sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos2 12(sin cos )259，(sin cos )229. 是第三象限角，sin 0，cos 0. sin cos 23. 答案：23 三、解答題 9已知向量a a(sin ，cos 2sin )，b b(1，2) (1)若a ab b，求 tan 的值； (2)若|a a|b b|，0，求的值 解：(1)a ab b，2sin (cos 2sin )0， 即 4sin cos ，故 tan 14. (2)|a a|b b|，sin2(cos 2sin )25. 展開得 sin2cos24sin

15、 cos 4sin25. 把 sin21cos2代入并整理， 得 cos (sin cos )0. cos 0 或 tan 1. 又(0，)， 2或34. 10已知 3sin cos 0，求下列各式的值： (1)3cos 5sin sin cos ； (2)sin22sin cos 3cos2. 解：法一：由已知得，cos 3sin . (1)3cos 5sin sin cos 9sin 5sin sin 3sin 4sin 4sin 1. (2)sin22sin cos 3cos2 sin22sin (3sin )3(3sin )2 32sin2. 由cos 3sin ，sin2cos21，得 sin2110. sin22sin cos 3cos232110165. 法二：由已知，得sin cos 13，tan 13. (1)3cos 5sin sin cos 35sin cos sin cos 135tan tan 13531311. (2)sin22sin cos 3cos2 sin22sin cos 3cos2sin2cos2 tan22tan 3tan21 （13）22（13）3（13）21 165.