高中數學北師大版必修四教學案：第三章 167;1 第1課時 求值問題 Word版含答案

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1、第 1 課時求 值 問 題核心必知同角三角函數基本關系式關系公式表達語言敘述平方關系sin2cos21同一個角的正弦、余弦的平方和等于 1商數關系sincostan_同一個角(k2(kZ Z)的正弦、余弦的商等于的正切問題思考1如何理解同角三角函數關系中“同角”的含義？提示：“同角”有兩層含義一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數有意義的前提下)關系式都成立，與角的表達式無關，如 sin22cos221，sin22cos221 等2平方關系對任意R R 均成立，對嗎？商數關系呢？提示：正確因為對任意R R，sin，cos都有意義，所以 sin2cos21 對任意角R R 都成立而商數關

2、系，sincostan則不然，需保證 cos0，則 tan有意義，所以商數關系，只對R R，且k2(kZ Z)成立講一講1(1)已知 sin45，是第二象限角，求 cos，tan；(2)若 cos817，試求sin，tan的值嘗試解答(1)sin2cos21，cos21sin21(45)2925.又是第二象限角，cos0，cos35.tansincos45(53)43.(2)cos8170.sin 1cos21（817）21517，tansincos1517(178)158.當是第三象限角時，sin0，是第一或第三象限角當是第一象限角時，cos0，cos55，sincostan5522 55.

3、當是第三象限角時，cos0，cos55，sincostan2 55.(2)sincossincossincoscoscossincoscoscostan1tan1212123.sincossincossin2cos2sincoscos2sin2cos2cos2tantan21222125.1已知角的正切值在求角的正弦值時，應盡量少用平方關系，一般按以下思路求解：cos211tan2開方cos用 sintancossin.2本講(2)是已知角的正切值，求關于 sin，cos的齊次式值的問題解決該類問題通常是利用商數關系和平方關系，將原式化為關于 tan的表達式，然后整體代入 tan的值求解，體現

4、了“整體化”的思想，可減少運算量并避免討論練一練2已知 tan()12，求：(1)sincos的值；(2)2sin212cos2的值解：(1)由已知得 tan120，是第二或第四象限的角，則 cos2cos2sin2cos21tan211（12）2145.當是第二象限角時，cos255，sintancos12(255)55，sincos55；當是第四象限角時，cos255，sintancos55，sincos55.(2)2sin212cos22sin212cos2sin2cos22tan212tan212（12）212（12）210.講一講3(1)已知 sin12cos，則 sin4cos4_

5、(2)若 sincos15，且 0，則 tan_.嘗試解答(1)由 sin12cos，得 tan12.cos2cos2sin2cos211tan245.sin21cos215.sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2154535.(2)由 sincos15，得 12sincos125.sincos12250.又 00，cos0，sincos （sincos）2 12sincos12（1225）75.可得 sin45，cos35，tansincos43.答案(1)35(2)431已知角的某一個三角函數值，求其他三角函數式的值時，一般先利用公式將其化簡，再利用同角三

6、角函數的基本關系求解2sincos，sincos，sincos三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關系是：(sincos)212sincos，利用此關系求 sincos或 sincos的值時，要注意判斷它們的符號練一練3已知 sin，cos是關于x的方程x2axa0 的兩個根(aR R)(1)求 sin3cos3的值；(2)求 tan1tan的值解：sin，cos是方程x2axa0 的兩個根，sincosa，且 sincosa，(sincos)212sincos.即a212a，解得a1 2，而當a1 2時，(1 2)24(1 2)12 20，a1 2，則(1)s

7、in3cos3(sincos)(1sincos)a(1a)(1 2)1(1 2) 22.(2)tan1tansincoscossinsin2cos2sincos1sincos1a11 21 2.若 sinA45，且A是三角形的一個內角，求5sinA815cosA7的值錯解sinA45，cosA1sin2A35，5sinA815cosA75458153576.錯因由 sinA45不能確定A是銳角或鈍角，那么 cosA就有正、負兩個值，此解法中忽視開方運算的符號而出現錯誤正解sinA45，且A是三角形的一個內角，A是銳角或鈍角當A為銳角時，cosA 1sin2A35.5sinA815cosA754

8、58153576；當A為鈍角時，cosA 1sin2A35.5sinA815cosA7545815（35）734.1下列各項中可能成立的是()Asin12且 cos12Bsin0 且 cos1Ctan1 且 cos1D在第二象限時，tansincos解析：選 B由平方關系知 A 不成立；由商數關系知 D 不成立對于 B，當 sin0 時，cos1，所以 B 可能成立而對于 C，當 tan1 時，cos211tan212，所以 C 不成立應選 B.2已知 sin45，是第三象限角，則 tan等于()A.34B34C.43D43解析：選 Csin45，且是第三象限角cos 1sin235，tans

9、incos43.3已知 tan 3，且為三角形的內角，那么 cos的值為()A 3B.2 33C12D2解析：選 Ccos211tan211（ 3）214.為三角形的內角，tan0，(2，)，cos12.4已知 sin55，則 sin2cos2的值為_解析：sin2cos22sin212(55)2135.答案：355已知 tan12，則12sincossin2cos2的值是_解析：原式sin2cos22sincossin2cos2（sincos）2（sincos） （sincos）sincossincostan1tan1（12）1（12）113.答案： 136已知 sin42mm5，cosm3

10、m5，是第四象限角，試求 tan的值解：sin2cos21，(42mm5)2(m3m5)21.化簡，整理得，m(m8)0，m10，m28.當m0 時，sin45，cos35，不符合是第四象限角，舍去當m8 時，sin1213，cos513，tan125.一、選擇題1已知 sin(2)13，(2，0)，則 tan的值為()A2 2B2 2C24D.24解析：選 A由已知得 cos13.(2，0)，sin 1cos2232，tansincos23232 2.2已知向量a a(3，4)，b b(sin，cos)，且a ab b，則 tan()A.34B34C.43D43解析：選 A由a ab b得，

11、sin3cos4.sincos34tan.3若 sin，cos是方程 3x26mx2m10 的兩根則實數m的值為()A12B.56C12或56D.12解析：選 A依題意得sincos2m，sincos2m13，(sincos)212sincos，(2m)2123(2m1)，即 12m24m50.解m12或56.m56時，36m212(2m1)0，則 cos_解析：sin0，是第三象限角，cos 1sin235.答案：356已知(，32)，tan2，則 cos_解析：依題意得tansincos2，sin2cos21，由此解得 cos215.又(，32)，因此 cos55.答案：557已知A為三角

12、形內角，且 sinAcosA18，則 cosAsinA_解析：(cosAsinA)212sinAcosA12(18)54.0A，sinAcosA0，cosA0.cosAsinA0，cosAsinA52.答案：528已知是第三象限角，且 sin4cos459，則 sincos_解析：sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos212(sincos)259，(sincos)229.是第三象限角，sin0，cos0.sincos23.答案：23三、解答題9已知向量a a(sin，cos2sin)，b b(1，2)(1)若a ab b，求 tan的值；(2)若|a a|b b|，0，求的值解

13、：(1)a ab b，2sin(cos2sin)0，即 4sincos，故 tan14.(2)|a a|b b|，sin2(cos2sin)25.展開得 sin2cos24sincos4sin25.把 sin21cos2代入并整理，得 cos(sincos)0.cos0 或 tan1.又(0，)，2或34.10已知 3sincos0，求下列各式的值：(1)3cos5sinsincos；(2)sin22sincos3cos2.解：法一：由已知得，cos3sin.(1)3cos5sinsincos9sin5sinsin3sin4sin4sin1.(2)sin22sincos3cos2sin22sin(3sin)3(3sin)232sin2.由cos3sin，sin2cos21，得 sin2110.sin22sincos3cos232110165.法二：由已知，得sincos13，tan13.(1)3cos5sinsincos35sincossincos135tantan13531311.(2)sin22sincos3cos2sin22sincos3cos2sin2cos2tan22tan3tan21（13）22（13）3（13）21165.