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新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 1.2.1充分條件與必要條件練習(xí) 北師大版選修1-1
一、選擇題
1．(2015四川文，4)設(shè)a，b為正實數(shù)，則“a＞b＞1”是“l(fā)og2a＞log2b＞0”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] A
[解析] a＞b＞1時，有l(wèi)og2a＞log2b＞0成立，反之也正確．選A.
2．“a＝1”是“直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] C
2、
[解析] 本題考查兩條直線垂直的充要條件．
當(dāng)a＝1時，直線x－ay＝0化為直線x－y＝0，∴直線x＋y＝0與直線x－y＝0垂直；
當(dāng)直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直時，有1－a＝0，
∴a＝1，故選C.
3．設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] A
[解析] 本題考查充要條件，解一元二次不等式．
由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，即x<－1或x>，所以x>?2x2＋x－1>0，而2x2＋x－1>0x>，選A.
4．(2014鄭州市質(zhì)
3、檢)設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，則“a∥b”是“x＝2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
[答案] B
[解析] a∥b?x2－4＝0?x＝2，故a∥b是x＝2的必要不充分條件．
5．(2014甘肅省三診)設(shè)a，b∈R，則(a－b)a2<0是a
4、14豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則p：a1
5、是方程x2＋5x－6＝0的兩根，
∴x1＋x2＝－5.
當(dāng)x1＝－1，x2＝－4時，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的兩根．
8．已知數(shù)列{an}，那么“對任意的n∈N＋，點Pn(n，an)，都在直線y＝2x＋1上”是“{an}為等差數(shù)列”的______條件．
[答案] 充分不必要
[解析] 點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，
即an＝2n＋1，∴{an}為等差數(shù)列，
但是{an}是等差數(shù)列時卻不一定有an＝2n＋1.
三、解答題
9．是否存在實數(shù)p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍．
[答案]
6、p≥4
[解析] x2－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－.
要想使x<－時，x>2或x<－1成立，必須有－≤－1，即p≥4，所以當(dāng)p≥4時，x<－?x<－1?x2－x－2>0.
所以p≥4時，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件．
10．求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根的充要條件．
[答案] a≤1
[解析]?、賏＝0時適合．
②當(dāng)a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實根，則a<0；若方程有兩個負(fù)的實根，
則必須滿足
解得0
7、個負(fù)的實根，因此，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根的充要條件是a≤1.
一、選擇題
1．“m＝”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 由于直線方程中含有字母m，需對m進(jìn)行討論．
(m＋2)x＋3my＋1＝0與(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要條件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，
即(m＋2)(4m－2)＝0，所以m＝－2或m＝.
顯然m＝只是m取值的一種情況．故為
8、充分不必要條件．
2．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] A
[解析] “tanx＝1”的充要條件為“x＝kπ＋(k∈Z)”，而“x＝2kx＋(k∈Z)”是“x＝kx＋(k∈Z)”的充分不必要條件，所以“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的充分不必要條件，故選A.
3．設(shè)α∈R，則“α＝0”是“sinα
9、出sinα＝0，cosα＝1，sinα
10、2ax－sin2ax的最小正周期為2π”的________條件．
[答案] 充分不必要
[解析] 由a＝，得y＝cos2x－sin2x＝cosx，T＝2π；反之，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，由T＝＝2π，得a＝.故是充分不必要條件．
6．下列說法正確的是________．
①x2≠1是x≠1的必要條件；
②x>5是x>4的充分不必要條件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要條件；
④x2<4是x<2的充分不必要條件．
[答案]?、冖?
[解析] “若x2≠1，則x≠1”的逆否命題為“若x＝1，則x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要條件，故①不正確．③中，
11、由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則③不正確．②④正確．
三、解答題
7．求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個負(fù)實根的充要條件是m≥2.
[證明] (1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有實根，
設(shè)x2＋mx＋1＝0的兩根為x1、x2，
由韋達(dá)定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同號，
又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同為負(fù)根．
(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的兩個實根x1，x2均為負(fù)，且x1x2＝1，
需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.
綜上可知，命題成立．
8．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
[證明] 必要性：∵關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，
∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a12＋b1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：
∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
因此，方程有一個根為x＝1.
故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
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