新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;2　第1課時 兩角差的余弦函數(shù)　兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) Word版含答案

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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 第 1 課時 兩角差的余弦函數(shù) 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) 核心必知 兩角和與差的余弦、正弦公式 公式 簡記 cos()cos_cos_sin_sin_ (C) cos()cos_cos_sin_sin_ (C) sin()sin_cos_cos_sin_ (S) sin()sin_cos_cos_sin_ (S) 問題思考 1cos()與 cos cos 相等嗎？是否有相等的情況？ 提示：一般情況下不相等，但在特殊情況下也有相等的時候例如：當(dāng)取0，60時，cos(060)cos 0cos 60. 2公式(C)和(S)中，對于角與的范圍有沒有規(guī)

2、定？ 提示：在公式中，角與沒有規(guī)定，即對任意角，公式都恒成立 講一講 1求下列各式的值： (1)sin 15cos 15； (2)cos 2512cos 116sin 1112sin 56. 嘗試解答 (1)法一：sin 15sin(4530) sin 45cos 30cos 45sin 30 22322212 6 24. cos 15cos(4530) cos 45cos 30sin 45sin 30 22322212 6 24. sin 15cos 156 246 2462. 法二：sin 15cos 15 2(22sin 1522cos 15) 2(sin 15cos 45cos 15s

3、in 45) 2sin(1545) 2sin 6062. (2)原式cos(212)cos(26)sin(12)sin(6) cos 12cos 6sin 12sin 6 cos(126)cos 422. 解此類題的關(guān)鍵是將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，充分拆角、湊角轉(zhuǎn)化為和、差角的正弦、余弦公式，同時注意公式的活用、逆用， “大角”要利用誘導(dǎo)公式化為“小角” 練一練 1求 cos 105sin 195的值 解：cos 105sin 195 cos 105sin(90105) cos 105cos 1052cos 105 2cos(6045) 2(cos 60cos 45sin 60sin 45) 2

4、(12223222)2 62. 講一講 2已知234，cos()1213，sin()35.求 cos 2的值 嘗試解答 234， 04，32， sin() 1cos2（） 112132513， cos() 1sin2（） 135245. cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 451213(35)5136365. 解答此類題目要注意以下兩點(diǎn)： (1)拆拼角技巧 先分析已知角與所求角之間的關(guān)系，再決定如何利用已知角表示所求角，避免對已知條件用公式，造成不必要的麻煩常見的拆角、拼角技巧：()；()；2()()；22； (2)確定相關(guān)角的范圍 2()()；42(4)等 若

5、題目中給出了角的取值范圍，解題時一定要重視角的取值范圍對三角函數(shù)值的制約，從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值 練一練 2. 已知 cos6121362，求 cos . 解：由于 063，cos(6)1213， 所以 sin(6)513. 所以 cos cos66 cos6cos 6sin6sin 6 1213325131212 3526. 講一講 3已知，是銳角，且 sin 473，cos()1114.求角. 嘗試解答 是銳角，且 sin 4 37， cos 1sin2 1（4 37）217. 又cos()1114，均為銳角， sin() 1cos2（）5 314， sin sin() sin()

6、cos cos()sin 5 31417(1114)4 3732. 3. 1解決該類問題實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角 2解給值求角問題的步驟 (1)求解的某一個三角函數(shù)； (2)確定角的范圍； (3)據(jù)范圍寫出角 練一練 3已知，均為銳角，sin 55，cos 1010，求. 解： ，均為銳角， sin 55， cos 1010， sin 3 1010， cos 2 55.sin()sin cos cos sin 5510102 553 101022. 又22.4. 在ABC中，sin A35，cos B513

7、，求 cos C的值 錯解 cos B513，B為銳角， sin B 1cos2B1213.sin A35，0A， 當(dāng)A為銳角時， cos A 1sin2A45， cos Ccos(AB) cos(AB) sin Asin Bcos Acos B 1665； 當(dāng)A為鈍角時，cos A 1sin2A45， cos Ccos(AB) sin Asin Bcos Acos B 5665. 錯因 錯解在于沒有結(jié)合題中隱含的角的范圍，判斷出A為鈍角時不成立 在三角形中，一定要重視角的取值范圍和題目中隱含的信息本題中，已知 sin A，cos B，在求出 cos A，sin B后，要想到用 sin(AB)

8、或A，B的范圍進(jìn)行驗(yàn)證和選擇 正解 cos B513，0B， sin B 1cos2B1213. sin A35，0A， cos A 1sin2A45. 當(dāng)A為鈍角時， sin A3523. 又cos B5133，AB. 這與三角形內(nèi)角和ABC矛盾 cos A45. cos Ccos(AB)cos(AB) cos Acos Bsin Asin B455133512131665. 1cos 24cos 36cos 66cos 54的值是( ) A0 B.12 C.32 D12 解析：選 B 原式cos 24cos 36sin 24sin 36 cos(2436)cos 6012. 2若 cos

9、45，是第三象限的角，則 sin(4)( ) A7 210 B.7 210 C210 D.210 解析：選 A 是第三象限的角，且 cos 45， sin 35， sin(4)sin cos 4cos sin 4 22(3545) 7 210. 3已知 cos()35，sin 513，且(0，2)，(2，0)，則 sin 等于( ) A.3365 B.6365 C3365 D6365 解析：選 A (2，0)且 sin 513， cos 1213. 又(0，2)，(0，) 又 cos()35， sin()45. sin sin() sin()cos cos()sin 45121335(513)

10、3365. 4求值：sin 285cos 105_ 解析：原式sin(36075)cos(18075) sin 75cos 75 2(cos 45cos 75sin 45sin 75) 2cos(4575) 2cos 12022. 答案： 22 5已知向量a a(12，32)，b b(sin x，cos x)，0 x，若a ab b12，則x_ 解析：a ab b12，12sin x32cos x12， 即 sin xcos 3cos xsin 312， sin(x3)12. 0 x，3x323. x36，故x6. 答案： 6 6已知 sin(4)513，求cos2sin2cos（4）的值 解

11、：cos2sin2cos（4）（cos sin ）（cos sin ）22（cos sin ） 2(cos sin ) 2(22cos 22sin ) 2sin(4) 1013. 一、選擇題 1(重慶高考)sin 47sin 17cos 30cos 17( ) A32 B12 C.12 D.32 解析：選 C 原式sin（3017）sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 1712. 2在ABC中，若 sin(BC)2sin Bcos C，那么這個三角形一定是( ) A銳角三角形

12、B鈍角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 解析：選 D sin(BC)2sin Bcos C， sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C 即 cos Bsin Csin Bcos C，sin(BC)0 又BC， BC0，BC. 3(湖南高考)函數(shù)f(x)sin xcos(x6)的值域?yàn)? ) A2，2 B 3， 3 C1，1 D.32，32 解析：選 B f(x)sin xcos(x6)sin x32cos x12sin x 3sin(x6)， sin(x6)1，1， f(x)值域?yàn)?3， 3 4已知 sin cos 1225，02，則 2cos(4)的值為( ) A.1

13、5 B15 C.75 D15 解析：選 C 2cos(4) 2(cos 4cos sin 4sin )cos sin ， 2cos(4)2(sin cos )212sin cos 1212254925.02， 20，440. 2cos(4)75. 二、填空題 5函數(shù)ysin xcos(x4)cos xsin(x4)的最小正周期T_ 解析：ysin(xx4)sin(2x4)，T22. 答案： 6在ABC中，A，B為銳角，且 sin A55，sin B1010，則AB_ 解析：A，B為銳角，cos A 1sin2A255， cos B 1sin2B31010. cos(AB)cos Acos Bs

14、in Asin B 2553101055101022. 又 0AB，AB4. 答案：4 7(大綱全國卷)當(dāng)函數(shù)ysin x 3cos x(0 x2)取最大值時，x_ 解析：ysin x 3cos x2sin(x3)，由 0 x23x3sin ， ，(0，2) 3. 答案：3 三、解答題 9已知函數(shù)f(x)4cos xsin(x6)1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間6，4上的最大值和最小值 解：(1)f(x)4cos xsin(x6)1 4cos x(32sin x12cos x)1 3sin 2xcos 2x2sin(2x6)， f(x)的最小正周期為. (2)6x4，62x623. 當(dāng) 2x62，即x6時，f(x)取得最大值 2； 當(dāng) 2x66，即x6時，f(x)取得最小值1. 10已知 04，434，cos435，sin34513，求 sin()的值 解：434， 240. sin(4) 1（35）245. 又04， 3434， cos(34) 1（513）21213. sin()cos(2) cos344 cos34cos4sin34sin4 121335513455665.