高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案:第三章 章末小結(jié)與測(cè)評(píng) Word版含答案
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1、 一、三角恒等變形公式 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系:sin2cos21;商數(shù)關(guān)系:tan sin cos . (2)應(yīng)用:已知角的一個(gè)三角函數(shù)值可以知一求二,注意依據(jù)三角函數(shù)值確定角的終邊所在的象限在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明中有三個(gè)技巧:“1”的代換,sin2cos21;切化弦;sin cos 平方整體代換 2和(差)角公式 (1)公式 C,C的公式特點(diǎn):同名相乘,符號(hào)相反;公式 S,S的公式特點(diǎn):異名相乘,符號(hào)相同;T的符號(hào)規(guī)律為“分子同,分母反” (2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,公式成立的條件是相關(guān)三角函數(shù)有意義,尤其是正切函數(shù) 3二倍角
2、公式 (1)分別令公式 C,S,T中的,即得公式 C2,S2,T2. (2)“二倍”關(guān)系是相對(duì)的,只要兩個(gè)角滿足比值為 2 即可倍角公式揭示了具有倍角關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律 (3)公式變形 升冪公式:cos 22cos2112sin2,1cos 22cos2,1cos 22sin2. 降冪公式:cos21cos 22,sin21cos 22. 4半角公式 半角公式實(shí)際上是二倍角公式的變形,應(yīng)用公式求值時(shí)要由2所在的象限確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào) 二、公式的應(yīng)用途徑 (1)正用公式:從題設(shè)條件出發(fā),順著問(wèn)題的線索,正用三角公式,通過(guò)對(duì)信息的感知、加工、轉(zhuǎn)換,運(yùn)用已知條件進(jìn)行推算逐步達(dá)到目
3、的 (2)逆用公式:逆向轉(zhuǎn)換、逆用公式,換個(gè)角度思考問(wèn)題,逆向思維的運(yùn)用往往會(huì)使解題思路茅塞頓開(kāi) (3)變形應(yīng)用公式:思考問(wèn)題時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)、融會(huì)貫通、靈活應(yīng)用變形結(jié)論如 1sin2cos2,1cos2sin2; tan tan tan()(1tan tan ), 1tan tan tan tan tan(); sin cos 12sin 2,cos sin 22sin ; sin21cos 22,cos21cos 22; 2tan tan 2(1tan2)等 三、常見(jiàn)的三角恒等變形 (1)應(yīng)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值,包括給角求值和給值求值和給值求角三種類型 (2)應(yīng)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
4、(3)應(yīng)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的證明 注意的問(wèn)題 (1)“1”的代換 在使用公式進(jìn)行三角恒等變換的過(guò)程中, “1”的代換技巧往往使得變換過(guò)程“柳暗花明”例如,1sin2cos2,1tan4,1cos 22sin2,12cos2cos 2等 (2)輔助角公式 輔助角公式幾乎高考必考,即asin bcos a2b2sin()(tan ba)常見(jiàn)的有以下幾個(gè): sin cos 2sin(4), 3sin cos 2sin(6), sin 3cos 2sin(3) 四、三角恒等變形技巧 常用的技巧有:從“角”入手,即角的變化;從“名”入手,即函數(shù)名稱的變化;從“冪”入手,即升降冪的變化;從“形”入手,即
5、函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變化 典例 1 (江蘇高考)設(shè)為銳角,若 cos(6)45,則 sin(212)的值為_(kāi) 解析 因?yàn)闉殇J角,cos(6)45, 所以 sin(6)35,sin2(6)2425, cos2(6)725, 所以 sin212sin264 22172517 250. 答案 17 250 借題發(fā)揮 1.當(dāng)已知條件中的角與所求角不同時(shí),需要通過(guò)“拆” “配”等方法實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化,一般是尋求它們的和、差、倍、半關(guān)系,再通過(guò)三角變換得出所要求的結(jié)果 2常見(jiàn)的角的變換有:(),2()(),2(),22,(34)(4)2(),(4)(4),只要對(duì)題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角進(jìn)行仔細(xì)地觀察,往往會(huì)發(fā)現(xiàn)角與
6、角之間的關(guān)系,從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1已知 sin(4)sin(4)26(02),求 sin 2的值 解:sin4sin24cos4, 26sin(4)sin(4)sin(4)cos(4) 12sin(22) 12cos 2, cos 223.02,02,sin 273. 典例 2 已知 tan 4 3,cos()1114,090,090,求. 解 090,且 tan sin cos 4 3, sin2cos21, cos 17,sin 4 37. cos()1114,0180, sin() 1(1114)25 314. cos cos() cos()cos sin()sin (1114
7、)175 3144 3712. 又090,60. 借題發(fā)揮 1.“給值求角”的一般規(guī)律是先求出所求角的一種三角函數(shù)值,然后確定所求角的范圍,最后根據(jù)三角函數(shù)值和角的范圍求出角 2確定的所求角的范圍最好是所求三角函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間例如,若所求角的范圍是(0,2),選擇求所求角的正弦或余弦函數(shù)值均可;若所求角的范圍為(0,),選擇求所求角的余弦函數(shù)值;若所求角的范圍是(2,2),選擇求所求角的正弦函數(shù)值 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 2在ABC中,如果 4sin A2cos B1,2sin B4cos A3 3,則角C的大小為_(kāi) 解析:由 4sin A2cos B1, 2sin B4cos A3 3, 兩邊平方相加得
8、 sin(AB)12. 如果AB6,則B12與條件 4sin A2cos B1 矛盾 AB56,C6. 答案:6 典例 3 化簡(jiǎn):2cos212tan(4)sin2(4). 解 法一:原式2cos212sin(4)cos(4)sin2(4) 2cos212sin(4)cos(4)cos2(4) 2cos21sin(22)cos 2cos 21. 法二:原式cos 221tan 1tan (22sin 22cos )2 cos 2cos sin cos sin (sin cos )2 cos 2(cos sin )(cos sin ) cos 2cos2sin2cos 2cos 21. 借題發(fā)揮
9、 1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是高考命題的熱點(diǎn),常常與三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)綜合出題,題型靈活多變化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法有:直接應(yīng)用公式;切化弦;異角化同角;特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化;通分、約分;配方、去根號(hào) 2由于三角函數(shù)式中包含著各種不同的角和不同的函數(shù)種類以及不同的式子結(jié)構(gòu),所以在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明中, 應(yīng)充分利用所學(xué)的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和和、差、倍、半角等公式,首先從角入手,找出待化簡(jiǎn)(證明)的式子中的差異,然后選擇適當(dāng)?shù)墓健盎悶橥?,?shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 3求證:tan()tan 1tan tan()sin 22cos2. 證明:tan()tan sin()cos
10、()sin cos sin()cos sin cos()cos()cos sin cos()cos . 1tan tan()1sin cos sin()cos() cos cos()sin sin()cos cos() cos()cos cos()cos cos cos(). 左邊sin cos cos()cos2cos()sin 22cos2右邊 典例 4 (山東高考)已知向量m m(sin x,1),n n( 3Acos x,A2cos 2x)(A0),函數(shù)f(x)mnmn的最大值為 6. (1)求A; (2)將函數(shù)yf(x)的圖像向左平移12個(gè)單位,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
11、12倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)yg(x)的圖像,求g(x)在0,524上的值域 解 (1)f(x)mnmn 3Asin xcos xA2cos 2x A(32sin 2x12cos 2x) Asin(2x6) 因?yàn)锳0,由題意知A6. (2)由(1)f(x)6sin(2x6) 將函數(shù)yf(x)的圖像向左平移12個(gè)單位后得到 y6sin2x1266sin2x3的圖像; 再將得到圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)6sin(4x3)的圖像 因此g(x)6sin(4x3) 因?yàn)閤0,524,所以 4x33,76, 故g(x)在0,524上的值域?yàn)?,6 借題發(fā)揮 1以向量為背景,綜合
12、考查向量、三角恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題解決此類問(wèn)題要注意三角恒等變形中由于消項(xiàng)、約分、合并等原因,可能使函數(shù)定義域發(fā)生變化,所以要在變換前注意三角函數(shù)的定義域,并在這個(gè)定義域內(nèi)分析問(wèn)題 2三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容如果給出的三角函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜,我們必須先通過(guò)三角恒等變形,將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)的形式,然后根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù),討論其圖像和性質(zhì) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 4(廣東高考)已知函數(shù)f(x)Acosx46,xR R,且f3 2. (1)求A的值; (2)設(shè),0,2,f443 3017,f423 85,求 cos()的
13、值 解:(1)因?yàn)閒3 2,所以Acos1436Acos 422A 2,所以A2. (2)由(1)知f(x)2cosx46, f4432cos362sin 3017,所以 sin 1517,因?yàn)?,2,所以 cos 817;又因?yàn)閒4232cos662cos 85,所以 cos 45,因?yàn)?,2, 所以 sin 35.所以 cos()cos cos sin sin 817451517351385. (時(shí)間:90 分鐘 滿分:120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1計(jì)算 sin 21cos 9sin 69
14、sin 9的結(jié)果是( ) A.32 B.12 C12 D32 解析:選 B 原式sin 21cos 9sin(9021)sin 9 sin 21cos 9cos 21sin 9 sin 3012. 2(遼寧高考)已知 sin cos 2,(0,),則 sin 2( ) A1 B22 C.22 D1 解析:選 A sin cos 2,(sin cos )22, sin 21. 3 (重慶高考)設(shè)tan , tan 是方程x23x20的兩個(gè)根, 則tan()的值為( ) A3 B1 C1 D3 解析:選 A 依題意得tan tan 3,tan tan 2. 則 tan()tan tan 1tan
15、tan 3123. 4若 tan 2,則2sin cos sin 2cos 的值為( ) A0 B.54 C1 D.34 解析:選 D 原式2tan 1tan 2 2212234. 5(山東高考)若4,2,sin 23 78,則 sin ( ) A.35 B.45 C.74 D.34 解析:選 D 因?yàn)?,2,所以 22, ,所以 cos 2sin()35, (2,), cos()45. cos cos()cos()cos sin sin ()2 525. 8函數(shù)ysin xcos x 3cos2x的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是( ) A(3,32) B(23,32) C(23,32) D(3,32)
16、 解析:選 D y12sin 2x3(1cos 2x)2 12sin 2x32cos 2x32 sin(2x3)32, 當(dāng)x3時(shí),sin(233)0. (3,32)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心 9(江西高考)若 tan 1tan 4,則 sin 2( ) A.15 B.14 C.13 D.12 解析:選 D 法一:tan 1tan 1tan2 tan 4, 4tan 1tan2 , sin 22sin cos 2sin cos sin2 cos2 2tan 1tan22tan 4tan 12. 法二:tan 1tan sin cos cos sin 1cos sin 2sin 2 42sin 2,
17、故 sin 212. 10函數(shù)ycos 2xcos 52sin xcos xsin 65的遞增區(qū)間是( ) A.k10,k35 (kZ Z) B.k320,k720 (kZ Z) C.2k10,2k35 (kZ Z) D.k25,k10(kZ Z) 解析:選 D ycos 2xcos 5sin 2xsin 5cos(2x5) 2k2x52k,kZ Z. k25xk10,kZ Z. 二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分把答案填在題中橫線上) 11已知 cos 45,(2,),則 tan(4)等于_ 解析:由已知得 tan 34, 所以 tan(4)13413417. 答案
18、:17 12已知 sin 2cos 22 33,那么 cos 2的值為_(kāi) 解析:(sin 2cos 2)21sin 43,sin 13,cos 212sin279. 答案:79 13ABC的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C,當(dāng)A為_(kāi)時(shí),cos A2cos BC2取得最大值,且這個(gè)最大值為_(kāi) 解析:cos A2cos BC2cos A2sin A2 12sin2A22sin A2 2sin2A22sin A21 2(sin A212)232, 當(dāng) sin A212,即A60時(shí), 得(cos A2cos BC2)max32. 答案:60 32 14已知是第二象限角,且 sin 154,則sin(4)sin 2
19、cos 21_ 解析:為第二象限角, cos 1sin214. sin(4)sin 2cos 2122(sin cos )2cos (sin cos )222cos 2. 答案: 2 三、解答題(本大題共 4 小題,共 50 分,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15(本小題滿分 12 分)化簡(jiǎn)sin(2)sin 2cos() 解:法一:原式sin()sin 2cos() sin()cos cos()sin sin 2cos() sin()cos sin cos() sin()cos cos()sin sin sin()sin sin sin . 法二:原式 sin 2cos
20、cos 2sin 2(cos cos sin sin )sin sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin . (12sin2)sin 2sin2sin sin sin sin . 16(本小題滿分 12 分)已知 sin(5)35,且(2,),tan 12. (1)求 tan()的值; (2)求 sin(23)的值 解:(1)由條件得 sin 35. 又(2,),所以 tan 34. 故 tan ()34121(34)122. (2)由條件得 sin 35. 又(2,),得 cos 45. 所以 sin 2235(45)2425, cos 2(45
21、)2(35)2725. 故 sin(23)242512725327 32450. 17(本小題滿分 12 分)(北京高考)已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)sin 2xsin x. (1)求f(x)的定義域及最小正周期; (2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 解:(1)由 sin x0 得xk(kZ Z), 故f(x)的定義域?yàn)閤R R|xk,kZ Z . 因?yàn)閒(x)(sin xcos x)sin 2xsin x 2cos x(sin xcos x) sin 2xcos 2x1 2sin(2x4)1, 所以f(x)的最小正周期T22. (2)函數(shù)ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間為 2k2,2k32
22、(kZ Z) 由 2k22x42k32,xk(kZ Z), 得k38xk78(kZ Z) 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k38,k78(kZ Z) 18(安徽高考)已知函數(shù)f(x)4cos xsinx4(0)的最小正周期為. (1)求的值; (2)討論f(x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性 解:本題主要考查兩角和的正弦公式、二倍角公式、三角函數(shù)周期公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí),意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 (1)f(x)4cos xsinx4 2 2sin xcos x2 2cos2x 2(sin 2xcos 2x) 22sin2x42. 因?yàn)閒(x)的最小正周期為,且0,從而有22,故1. (2)由
23、(1)知,f(x)2sin2x4 2.若 0 x2,則42x454. 當(dāng)42x42,即 0 x8時(shí),f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)22x454,即8x2時(shí),f(x)單調(diào)遞減 綜上可知,f(x)在區(qū)間0,8上單調(diào)遞增,在區(qū)間8,2上單調(diào)遞減 模塊綜合檢測(cè) (時(shí)間:120 分鐘 滿分:150 分) 一、選擇題(本大題共 12 個(gè)小題,每小題 5 分,共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求) 1已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4),則 sin 的值等于( ) A35 B.35 C.45 D45 解析:選 C sin 4(3)24245. 2已知 cos232且|2,則 tan ( ) A3
24、3 B.33 C 3 D. 3 解析: 選 D 由 cos232得 sin 32, 又|2, 所以3, 所以 tan 3. 3已知 cos 35,0,則 tan4( ) A.15 B.17 C1 D7 解析:選 D 因?yàn)?cos 350,0,所以 02,sin 0,所以 sin 45,故 tan 43,所以 tan(4)tan tan 41tan tan 44311437. 4要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖像,只要將函數(shù)ycos 2x的圖像( ) A向左平移 1 個(gè)單位 B向右平移 1 個(gè)單位 C向左平移12個(gè)單位 D向右平移12個(gè)單位 解析:選 C ycos 2x的圖像向左平移12個(gè)單位后
25、即變成ycos 2x12cos(2x1)的圖像 5已知向量a a(2,1),b b(1,k),且a a與b b的夾角為銳角,則k的取值范圍是( ) A(2,) B.2,1212, C(,2) D(2,2) 解析:選 B 當(dāng)a a,b b共線時(shí),2k10,k12,此時(shí)a a,b b方向相同夾角為 0,所以要使a a與b b的夾角為銳角,則有a ab b0 且a a,b b不共線由a ab b2k0 得k2,且k12,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,1212, ,選 B. 7函數(shù) ysin(x)(xR R,且0,02)的部分圖像如圖所示,則( ) A2,4 B3,6 C4,4 D4,54 解析:選 C T
26、428,4. 又412, 4. 8若2, ,且 sin 45,則 sin422cos()等于( ) A.2 25 B25 C.25 D2 25 解析:選 B sin422cos() 22sin 22cos 22cos 22sin 2cos . sin 45,2, , cos 35. 22sin 2cos 2245 23525. 10 如圖, 邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A, D 分別在 x 軸、 y 軸正半軸上移動(dòng), 則的最大值是( ) A2 B1 2 C D4 11 設(shè)函數(shù) f(x)sin(x)cos(x)(0, |2)的最小正周期為, 且 f(x)f(x),則( ) Af(x)
27、在0,2單調(diào)遞減 Bf(x)在4,34單調(diào)遞減 Cf(x)在0,2單調(diào)遞增 Df(x)在4,34單調(diào)遞增 解析:選A ysin(x)cos(x) 2sin(x4),由最小正周期為得 2,又由 f(x)f(x)可知 f(x)為偶函數(shù),|2可得 4, 所以 y 2cos 2x,在0,2單調(diào)遞減 . 二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分把答案填寫在題中的橫線上) 13已知cos x2a34a,x 是第二、三象限的角,則 a 的取值范圍為_(kāi) 解析:1cos x0,12a34a0,2a34a0,2a34a1. 1a32. 答案:1,32 14已知e e1、e e2是夾角為23的兩
28、個(gè)單位向量,a ae e12e e2,b bke e1e e2.若abab0,則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi) 解析:由題意知:abab(e e12e e2)(ke e1e e2)0,即ke e21e e1e e22ke e1e e22e e220,即kcos 232kcos 2320,化簡(jiǎn)可求得k54. 答案:54 15y3 2cos3x6的定義域?yàn)開(kāi) 解析:2cos3x60, 2k23x62k2, 23k29x23k9(kZ Z), 函數(shù)的定義域?yàn)閤|23k29x23k9,kZ Z 答案:x|23k29x23k9,kZ Z 16有下列四個(gè)命題: 若,均為第一象限角,且,則 sin sin ; 若函數(shù)y2c
29、osax3的最小正周期是 4,則a12; 函數(shù)ysin2xsin xsin x1是奇函數(shù); 函數(shù)ysinx2在0,上是增函數(shù) 其中正確命題的序號(hào)為_(kāi) 解析:39030,但 sin sin ,所以不正確;函數(shù)y2cosax3的最小正周期為T2|a|4,所以|a|12,a12,因此不正確;中函數(shù)定義域是x|x2k2,kZ Z ,顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以不正確;由于函數(shù)ysinx2sin(2x)cos x,它在(0,)上單調(diào)遞增,因此正確 答案: 三、解答題(本大題共 6 小題,共 70 分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17(本小題滿分 10 分)化簡(jiǎn):sin(540 x)tan(
30、900 x) 1tan(450 x)tan(810 x)cos(360 x)sin(x). 解: 原式sin(180 x)tan(x)1tan(90 x)tan(90 x)cos xsin(x)sin xtan x tan xtan x1tan xsin x. 18(本小題滿分 12 分)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P45,35. (1)求 sin 的值; (2)求式子sin2sin()tan()cos(3)的值 解:(1)|OP|4523521, 點(diǎn)P在單位圓上,由正弦函數(shù)定義得 sin 35. (2)原式cos sin tan cos sin sin cos 1cos . 由(1)得 sin 35,P
31、在單位圓上, 由已知得 cos 45,原式54. 19(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)sin2x6sin(2x6)2cos2x. (1)求f(x)的最小值及最小正周期; (2)求使f(x)3 的x的取值集合 解:(1)f(x)sin2x6sin2x62cos2xsin 2xcos6cos 2xsin6sin 2xcos6cos 2xsin6cos 2x1 3sin 2xcos 2x1 2sin2x61, f(x)min2(1)11, 最小正周期T2|22. (2)f(x)3,2sin2x613, sin2x61, 2x62k2,kZ Z, xk6,kZ Z, 使f(x)3 的x的取值集
32、合為x|xk6,kZ Z x(2y)(x4)y0,整理得x2y0. y12x. 即(x6)(x2)(y1)(y3)0, 由(1)知x2y,將其代入上式, 整理得y22y30. 解得y13,y21. 當(dāng)y3 時(shí),x6, 21(本小題滿分 12 分)如圖,函數(shù)y2sin(x),xR R(其中 02)的圖像與y軸交于點(diǎn)(0,1) (1)求的值; (2)求函數(shù)y2sin(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (3)求使y1 的x的集合 解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)(0,1), 所以 2sin 1,即 sin 12. 因?yàn)?02,所以6. (2)由(1)得y2sinx6, 當(dāng)22kx622k,kZ Z, 即232kx13
33、2k,kZ Z 時(shí),y2sin(x6)是增函數(shù),故y2sinx6的單調(diào)遞增區(qū)間為232k,132k,kZ Z. (3)由y1,得 sinx612, 62kx6562k,kZ Z, 即 2kx232k,kZ Z, y1 時(shí),x的集合為x|2kx232k,kZ Z 22(本小題滿分 12 分)已知M(1cos 2x,1),N(1, 3sin 2xa)(xR R,aR R,a是常數(shù)),且y (O為坐標(biāo)原點(diǎn)) (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x); (2)若x0,2時(shí),f(x)的最大值為 4,求a的值,并說(shuō)明此時(shí)f(x)的圖像可由y2sinx6的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到; (3)函數(shù)yg(x)的圖像
34、和函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x1 對(duì)稱,求yg(x)的表達(dá)式,并比較g(1)和g(2)的大小 解:(1)yf(x)(1cos 2x,1)(1, 3sin 2xa) 3sin 2xcos 2x1a2sin2x61a. (2)x0,2,則2x66,76, 所以f(x)的最大值為 3a4,解得a1, 此時(shí)f(x)2sin2x62,其圖像可由y2sin(x6)的圖像經(jīng)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的12倍,再將所得圖像向上平移 2 個(gè)單位得到 (3)設(shè)M(x,y)為yg(x)的圖像上任一點(diǎn), 由函數(shù)yg(x)的圖像和函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x1 對(duì)稱,得M(x,y)關(guān)于x1 的對(duì)稱點(diǎn)M(2x,y)在yf(x)的圖像上,所以yg(x)f(2x)2sin2(2x)61a2sin(2x46)1a,g(1)2sin(26)1a,g(2)2sin61a2sin561a. 22656, g(1)g(2)
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