高中數(shù)學(xué) 第1章 4數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、 2019版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 4數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)時，驗證n＝1時，左邊應(yīng)取的項是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案]　D 2．如果123＋234＋345＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)對一切正整數(shù)n都成立，則a，b的值應(yīng)該等于(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝3 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝2，b＝3 [答案]　D [解析]　當(dāng)

2、n＝1時，上式可化為ab＋a＋b＝11；① 當(dāng)n＝2時，上式可化為ab＋2(a＋b)＝16.　?、? 由①②可得a＋b＝5，ab＝6，驗證可知只有選項D適合． 3．(2014揭陽一中高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時的情況，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 [答案]　A [解析]　因為從n＝k到n＝k＋1的過渡，增加了(k＋3)3，減少了k3，故利用歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，證明余下的項9k2＋27k＋27能被9整除．

3、4．某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時該命題成立，那么可推知n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝6時該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時該命題成立 C．當(dāng)n＝4時該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時該命題成立 [答案]　C [解析]　若原命題正確，則其逆否命題正確，所以若n＝k(k∈N*)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立，可推得若n＝k＋1時命題不成立可推得n＝k(k∈N*)時命題不成立，所以答案為C． 5．(2014合肥一六八中高二期中)觀察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a

4、5＋b5＝11，…，則歸納猜測a7＋b7＝(　　) A．26 B．27 C．28 D．29 [答案]　D [解析]　觀察發(fā)現(xiàn)，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29. 二、填空題 6．(2014吉林長春一模，13)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，當(dāng)n＝1時左邊表達(dá)式是________；從k→k＋1需增添的項是________． [答案]　1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3)) [解析]　因為用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，

5、當(dāng)n＝1時，2n＋1＝3，所以左邊表達(dá)式是1＋2＋3；從k→k＋1需增添的項的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)． 7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整數(shù)是________． [答案]　5 [解析]　從n＝1,2,3,4,5，…，取值逐個驗證即可． 8．凸k邊形有f(k)條對角線，則凸k＋1邊形的對角線條數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋____________. [答案]　k－1 [解析]　設(shè)原凸k邊形的頂點為A1，A2，…，Ak，增加一個頂點Ak＋1，增加Ak＋1與A2、A3，…，Ak－1共k－2條再加上A1與Ak的一條連線共k－1條． 三、解答題 9．?dāng)?shù)列{an}滿

6、足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計算a1，a2，a3，并猜想an的通項公式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． [解析]　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝22－a2，∴a2＝； 當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝23－a3，∴a3＝. 由此猜想an＝(n∈N*) (2)證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝1結(jié)論成立， ②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時結(jié)論成立， 即ak＝， 當(dāng)n＝k＋1時， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak ∴ak＋1＝＝

7、，∴當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立， 于是對于一切的自然數(shù)n∈N*，an＝成立． 10．求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． [證明]　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＋＋＝>，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時不等式成立， 即＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋ >＋ >＋ ＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立． 由(1)(2)可知原不等式對一切n(n≥2，n∈N＋)都成立. 一、選擇題 1．(2014秦安縣西川中學(xué)高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗證n＝1時，左邊所得的項為(　　)

8、 A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案]　B [解析]　因為當(dāng)n＝1時，an＋1＝a2，所以此時式子左邊＝1＋a＋a2.故應(yīng)選B. 2．(2014衡水一模，6)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋

9、下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)＜1成立，則f(10)＜100成立 B．若f(2)＜4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥25成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立 [答案]　D [解析]　對于A，因為“原命題成立，否命題不一定成立”，所以若f(1)＜1成立，則f(10)＜100不一定成立；對于B，因為“原命題成立，則逆否命題一定成立”，所以只能得出：若f(2)＜4成立，則f(1)＜1成立，不能得出：若f(2)＜4成立，則f(1)≥1成立；對于C，當(dāng)k＝1或2時，不一定有f(k)≥k2成立；對于D，因

10、為f(4)≥25≥16，所以對于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．故選D. 4．(2014湖北重點中學(xué)高二期中聯(lián)考)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)時，從“n＝k到n＝k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． [答案]　B [解析]　n＝k時，等式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2k－1)， n＝k＋1時，等式左邊為(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)，右邊為2k＋113…(2k－1)(2k＋1)．

11、左邊需增乘2(2k＋1)，故選B. 二、填空題 5．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝________. [答案]?。? [解析]　∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋. 6．若不等式＋＋＋…＋＞對n∈N*都成立，則正整數(shù)m的最大值為____________． [答案]　11 [解析]　設(shè)f(n)＝＋＋…＋， ∴f(n＋1)＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋－ ＝f(n)＋(－) ＝f(n)＋＞f(n)， ∴f(n＋1)＞f(n)＞…＞f(1)＝＝，∴m＝11. 三、解答題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋

12、…＋. [證明]　①當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝＝＝右邊， ∴當(dāng)n＝1時，等式成立． ②假設(shè)n＝k時等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝(＋＋…＋)＋－ ＝(＋…＋＋)＋(－) ＝＋…＋＋＋＝右邊． ∴n＝k＋1時等式成立． 由①②知等式對任意n∈N＋都成立． [點評]　在利用歸納假設(shè)論證n＝k＋1等式成立時，注意分析n＝k與n＝k＋1的兩個等式的差別．n＝k＋1時，等式左邊增加兩項，右邊增加一項，而且右式的首項由變到.因此在證明中，右式中的應(yīng)與－合并，才能得到所證式．因此，在論證之前，把n＝k＋1時等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一下分析是有效的． 8．已知函數(shù)f(x)＝(x≥0)．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an－|，用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn≤. [證明]　當(dāng)x≥0時，f(x)＝1＋>1. 因為a1＝1，所以an≥1(n∈N＋)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn≤. (1)當(dāng)n＝1時，b1＝－1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，不等式成立． 即bk≤， 那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤. 所以，當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對任意n∈N＋都成立．