高中數學 第3章 2第1課時 實際問題中導數的意義課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、 2019年北師大版精品數學資料 【成才之路】高中數學 第3章 2第1課時 實際問題中導數的意義課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數W＝W(t)，則W′(t0)表示(　　) A．t＝t0時做的功 B．t＝t0時的速度 C．t＝t0時的位移 D．t＝t0時的功率 [答案]　D [解析]　W′(t)表示t時刻的功率． 2．一個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，(s的單位是s，t的單位是s)，那么物體在3 s末的瞬時速度是(　　) A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 [答案]　C [解

2、析]　s′(t)＝2t－1， ∴s′(3)＝23－1＝5. 3．如果質點A按規(guī)律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為(　　) A．6　　 B．18　　 C．54　 D．81 [答案]　B [解析]　瞬時速度v＝ ＝ ＝3(6＋Δt)＝18. 4．如圖，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，它的圖像大致是(　　) [答案]　D [解析]　由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快． 選項A表示面積的增速是常數，與實際不符； 選項B

3、表示最后時段面積的增速較快，也與實際不符； 選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段快，與實際不符； 選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快．符合實際． [點評]　函數變化的快慢可通過函數的導數體現(xiàn)出來，導數的絕對值越大，函數變化越快，函數圖像就比較“陡峭”，反之，函數圖像就“平緩”一些． 5．設一輛轎車在公路上做加速直線運動，假設速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)的函數關系為v＝v(t)＝t3＋3t，則t＝t0s時轎車的加速度為(　　)m/s2 A．t＋3t0 B．3t＋3 C．3t＋3t0 D．t＋3 [答案]　B [解析]　∵v′(t

4、)＝3t2＋3， 則當t＝t0s時的速度變化率為v′(t0)＝3t＋3(m/s2)． 即t＝t0s時轎車的加速度為(3t＋3)m/s2. [點評]　運動方程s＝s(t)的導數表示的是t時刻時的瞬時速度，速度方程v＝v(t)的導數表示的是t時刻時的加速度． 二、填空題 6．人體血液中藥物的質量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________． [答案]　服藥后2分鐘時血液中藥物的質量濃度以每分鐘0.3mg/mL的速度增加． 7．假設某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價p(單位：元)與時間t(單位：年)有

5、如下函數關系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時的物價．假定某種商品的p0＝1，那么在第10個年頭，這種商品價格上漲的速度大約是________元/年(精確到0.01)． [答案]　0.08 [解析]　因為p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10個年頭，這種商品價格上漲的速度，即為函數的導函數在t＝10時的函數值． 因為p′(t)＝(1.05t)′＝1.05tln1.05， 所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲． 8.設底為正三角形的直棱柱的體積為V，那么

6、其表面積最小時，底面邊長為________． [答案]　 [解析]　設底面邊長為x，側棱長為l，則V＝x2sin60l， ∴l(xiāng)＝.∴S表＝2S底＋3S側＝x2sin60＋3xl＝x2＋. 令S表′＝x－＝0 ∴x3＝4V，即x＝，又當x∈(0，)時，S表′<0；當x∈(，V)時，S表′>0 ∴當x＝時，表面積最?。? 三、解答題 9．甲、乙二人跑步的路程與時間的關系及百米賽跑路程和時間的關系分別如圖①②，試問： (1)甲、乙二人哪一個跑得快？ (2)甲、乙二人百米賽跑，問快到終點時誰跑得較快？ [分析]　用路程與時間的關系以及導數的幾何意義來比較甲、乙二人誰跑得快．

7、[解析]　從圖①可以看出在相同的時刻t，乙跑的路程要比甲跑的路程遠，所以乙跑得快． 從圖②可以看出甲是勻速跑的，而乙快到終點時，變化率越來越大，即速度越來越快，所以快到終點時乙跑得較快． 10．某機械廠生產某種機器配件的最大生產能力為每日100件，假設日產品的總成本C(元)與日產量x(件)的函數關系式為C(x)＝x2＋60x＋2 050.求： (1)日產量75件時的總成本和平均成本； (2)當日產量由75件提高到90件，總成本的平均改變量； (3)當日產量為75件時的邊際成本． [解析]　(1)當x＝75時，C(75)＝752＋6075＋2 050＝7 956.25(元)，∴≈10

8、6.08(元/件)． 故日產量75件時的總成本和平均成本分別為7 956.25元，106.08元/件． (2)當日產量由75件提高到90件時，總成本的平均改變量＝＝101.25(元/件)． (3)當日產量為75件時的邊際成本 ∴C′(x)＝x＋60， ∴C′(75)＝97.5(元). 一、選擇題 1．質點運動的速度v(單位：m/s)是時間t(單位：s)的函數，且v＝v(t)，則v′(1)表示(　　) A．t＝1s時的速度 B．t＝1s時的加速度 C．t＝1s時的位移 D．t＝1s時的平均速度 [答案]　B [解析]　v(t)的導數v′(t)表示t時刻的加速度．

9、2．某汽車啟動階段的路程函數為s(t)＝2t3－5t2(t表示時間)，則t＝2時，汽車的加速度是(　　) A．14　 B．4　 C．10　 D．6 [答案]　A [解析]　速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t. 所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當t＝2時，a(t)＝14，即t＝2時汽車的加速度為14. 3．下列四個命題： ①曲線y＝x3在原點處沒有切線； ②若函數f(x)＝，則f′(0)＝0； ③加速度是動點位移函數s(t)對時間t的導數； ④函數y＝x5的導函數的值恒非負． 其中真命題的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答

10、案]　A [解析]?、僦衴′＝3x2，x＝0時，y′＝0，∴y＝x3在原點處的切線為y＝0； ②中f(x)在x＝0處導數不存在； ③中s(t)對時間t的導數為瞬時速度； ④中y′＝5x4≥0. 所以命題①②③為假命題，④為真命題． 4．設球的半徑為時間t的函數R(t)．若球的體積以均勻速度C增長，則球的表面積的增長速度與球半徑(　　) A．成正比，比例系數為C　 B．成正比，比例系數為2C C．成反比，比例系數為C D．成反比，比例系數為2C [答案]　D [解析]　本題主要考查導數的有關應用． 根據題意，V＝πR3(t)，S＝4πR2(t)， 球的體積增長速度為V

11、′＝4πR2(t)R′(t) 球的表面積增長速度S′＝24πR(t)R′(t)， 又∵球的體積以均勻速度C增長， ∴球的表面積的增長速度與球半徑成反比，比例系數為2C． 二、填空題 5．一質點沿直線運動，如果由始點起經過t s后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時的時刻t＝________. [答案]　 [解析]　s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，設6t＋1＝10， 則t＝. 三、解答題 6．一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會逐漸下降．溫度T(單位：℃)與時間t(單位：min)間的關系，由函數T＝f(t)給出．請問： (1)f′(t)的符號是什么

12、？為什么？ (2)f′(3)＝－4的實際意義是什么？如果f(3)＝65℃，你能畫出函數在點t＝3min時圖像的大致形狀嗎？ [解析]　(1)f′(t)是負數．因為f′(t)表示溫度隨時間的變化率，而溫度是逐漸下降的，所以f′(t)為負數． (2)f′(3)＝－4表明在3min附近時，溫度約以4℃/min的速度下降，如圖所示． 7．當銷售量為x，總利潤為L＝L(x)時，稱L′(x)為銷售量為x時的邊際利潤，它近似等于銷售量為x時，再多銷售一個單位產品所增加或減少的利潤． 某糕點加工廠生產A類糕點的總成本函數和總收入函數分別是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01

13、x2. 求邊際利潤函數和當日產量分別是200 kg,250 kg和300 kg時的邊際利潤． [解析]　(1)總利潤函數為L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，邊際利潤函數為L′(x)＝5－0.02 x. (2)當日產量分別是200 kg、250 kg和300 kg時的邊際利潤分別是L′(200)＝1(元)， L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)． 8.現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35nmile/h，A地至B地之間的航行距離約為500nmile，每小時的運輸成本由燃料費用和其余費用組成，輪船每小時的燃料費用與輪船速度的

14、平方成正比(比例系數為0.6)，其余費用為每小時960元． (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(nmile/h)的函數：y＝f(x)； (2)求x從10變到20的平均運輸成本； (3)求f′(10)并解釋它的實際意義． [解析]　(1)依題意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函數的定義域為0