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1、專題升級訓練 導數(shù)及其應用
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.函數(shù)y=f(x)的圖象在點x=5處的切線方程是y=-x+8,則f(5)+f(5)等于( )
A.1 B.2 C.0 D.
2.f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的圖象最有可能是下圖中的( )
3.當x∈(0,5)時,函數(shù)y=xln x( )
A.是單調增函數(shù)
B.是單調減函數(shù)
C.在上單調遞增,在上單調遞減
D.在上單調遞減,在上單調遞增
4.函數(shù)y=xsin x+cos x在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( )
A. B
2、.(π,2π)
C. D.(2π,3π)
5.已知函數(shù)f(x)=x3+2bx2+cx+1有兩個極值點x1,x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],則f(-1)的取值范圍是( )
A. B.
C.[3,12] D.
6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲線過原點,且在x=1處的切線斜率均為-1,給出以下結論:
①f(x)的解析式為f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];
②f(x)的極值點有且僅有一個;
③f(x)的最大值與最小值之和等于0.
其中正確的結論有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
二、填空題(本大題共3小
3、題,每小題6分,共18分)
7.(2013山東煙臺模擬,13)由曲線y=3-x2和直線y=2x所圍成的面積為 .
8.函數(shù)f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的極大值是正數(shù),極小值是負數(shù),則a的取值范圍是 .
9.已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,5],部分對應值如表:
x
-1
0
4
5
f(x)
1[來源:]
2
2
1
f(x)的導函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示:
下列關于f(x)的命題:
①函數(shù)f(x)是周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù);
③如果當x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4
4、;
④當1
5、)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)當t≠0時,求f(x)的單調區(qū)間.
12.(本小題滿分16分)(2013福建福州模擬,21)已知對任意的實數(shù)m,直線x+y+m=0都不與曲線f(x)=x3-3ax(a∈R)相切.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x∈[-1,1]時,函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在一點P,使得點P到x軸的距離不小于.試證明你的結論.
##
1.B 解析:由題意知f(5)=-5+8=3,f(5)=-1,故f(5)+f(5)=2.故選B.
2.A 解析:根據(jù)導函數(shù)f(x)的圖象可知f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上單調遞減,在(-2,0)上單調
6、遞增.故選A.
3.D 解析:y=ln x+1,令y=0,得x=.
在上y<0,在上y>0,
∴y=xln x在上單調遞減,
在上單調遞增.故選D.
4.C 解析:∵y=xsin x+cos x,
∴y=(xsin x)+(cos x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
∴當0,即y>0.
故函數(shù)y=xsin x+cos x在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).故選C.
5.C 解析:由于f(x)=3x2+4bx+c,據(jù)題意方程3x2+4bx+c=0有兩個根x1,x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],
令g(x)=3x2+4bx+c,結合二
7、次函數(shù)圖象可得只需此即為關于點(b,c)的線性約束條件,作出其對應平面區(qū)域,f(-1)=2b-c,問題轉化為在上述線性約束條件下確定目標函數(shù)f(-1)=2b-c的最值問題,由線性規(guī)劃易知3≤f(-1)≤12,故選C.
6.C 解析:∵f(0)=0,∴c=0.∵f(x)=3x2+2ax+b,
∴
解得a=0,b=-4,∴f(x)=x3-4x,
∴f(x)=3x2-4.
令f(x)=0得x=∈[-2,2],
∴極值點有兩個.
∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(x)max+f(x)min=0.
∴①③正確,故選C.
7. 解析:由得x=1或x=-3,所以曲線y=3-x2和直線y=2x所
8、圍成的面積為(3-x2-2x)dx=.
8. 解析:f(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),由f(x)=0得x=a,當-aa或x<-a時,f(x)>0,函數(shù)遞增.
∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,且f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>.
9.②⑤ 解析:因為函數(shù)f(x)的定義域為[-1,5],所以函數(shù)f(x)不是周期函數(shù),故①錯誤;當x∈[0,2]時,f(x)<0,故②正確;由f(x)的圖象知f(x)的最大值是2,故t的最大值是5,③錯誤;由f(x)的圖象知,當x=2時,f(x)有極小值,但f(2)大小不確定,故④錯誤,⑤
9、正確.
10.解:(1)f(x)=+2bx+1.
由已知
?解得
(2)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
∴在x=1處,函數(shù)f(x)取得極小值.
在x=2處,函數(shù)f(x)取得極大值ln 2.
11.解:(1)當t=1時,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f(x)=12x2+6x-6,f(0)=-6,
所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=-6x.
(2)f(x)=12x2+6t
10、x-6t2.
令f(x)=0,解得x=-t或x=.
因為t≠0,以下分兩種情況討論:
①若t<0,則<-t.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-t,+∞)
f(x)
+
-[來源:]
+
f(x)
↗
↘
↗
所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是,(-t,+∞);f(x)的單調遞減區(qū)間是.
②若t>0,則-t<.
當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-t)
f(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是(-∞,-t),;f(x)的單調遞減區(qū)間是.
11、
12.解:(1)f(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞),
∵對任意m∈R,直線x+y+m=0都不與y=f(x)相切,
∴-1?[-3a,+∞),-1<-3a,實數(shù)a的取值范圍是a<.
(2)存在,證明方法1:
問題等價于當x∈[-1,1]時,|f(x)|max≥,
設g(x)=|f(x)|,則g(x)在x∈[-1,1]上是偶函數(shù),
故只要證明當x∈[0,1]時,|f(x)|max≥,
①當a≤0時,f(x)≥0,f(x)在[0,1]上單調遞增,且f(0)=0,
g(x)=f(x),g(x)max=f(1)=1-3a>1>;[來源:]
②當0
12、=3(x+)(x-),列表:
x
(-∞,-)
-
(-)
(,+∞)
f(x)[來源:]
+
0
-
0
+[來源:
f(x)
↗
極大值
2a
↘
極小值
-2a
↗
f(x)在(0,)上遞減,在(,1)上遞增,
注意到f(0)=f()=0,且<1,
∴x∈(0,)時,g(x)=-f(x),x∈(,1)時,g(x)=f(x),
∴g(x)max=max{f(1),-f()},
由f(1)=1-3a≥及0
專題二 第3講 導數(shù)及其應用 專題升級訓練含答案解析
