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1、課時提升作業(yè)(七十九)
一、選擇題
1.a2+b2與2a+2b-2的大小關(guān)系是 ( )
(A)a2+b2>2a+2b-2 (B)a2+b2<2a+2b-2
(C)a2+b2≤2a+2b-2 (D)a2+b2≥2a+2b-2
2.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,則a,b,c的取值范圍是 ( )
(A)a>0,b>0,c<0 (B)a>0,b<0,c<0
(C)a<0,b<0,c<0 (D)a>0,b>0,c>0
3.設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是 ( )
(A)a+b>2ab
(B)(
2、a-b)+1a-b≥2
(C)a2+b2+c2>ab+bc+ca
(D)|a-b|≤|a-c|+|c-b|
二、填空題
4.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,則x2+y2+z2與13的大小關(guān)系為 .
5.(2013西安模擬)已知a>b>0,c>d>0,m=ac-bd,n=(a-b)(c-d),則m與n的大小關(guān)系為 .
6.若x≥4,則x-1-x-2 x-3-x-4.
三、解答題
7.(2013南昌檢測)(1)求證:a2+b2+3≥ab+3(a+b).
(2)a,b分別取何值時,上面不等式取等號.
8.(2013蘇州模擬)設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3
3、≥3a2b+2ab2.
9.已知a>b>0,求證:(a-b)28alga+lgb+lgc.
11.(2013濟寧模擬)已知a,b,c是全不相等的正實數(shù),求證:b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.
12.證明不等式:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
答案解析
1.【解析】選D.∵a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a2+b2≥2a+2b-2.
2.【
4、解析】選D.由abc>0,知a,b,c要么同時大于零,要么有兩個負,一個正,下面利用反證法說明.不妨假設(shè)a>0,b<0,c<0.由a+b+c>0知a>-(b+c),又b+c<0,
∴a(b+c)<-(b+c)2,從而-a(b+c)>(b+c)2,
又由ab+bc+ca>0,知bc>-a(b+c),
∴bc>(b+c)2,即b2+bc+c2<0,
即(b+c2)2+3c24<0,與平方和不小于0矛盾,故假設(shè)錯誤,故a>0,b>0,c>0.
3.【解析】選B.選項A,如果a,b是正數(shù),則a+b2≥ab(當且僅當a=b時取等號),而a,b是互不相等的正數(shù),故正確;
選項B,a-b不一定
5、是正數(shù),故不正確;
選項C,a2+b2+c2=12(a2+b2+c2+a2+b2+c2)≥12(2ab+2ca+2bc)=ab+bc+ca,而a,b,c是互不相等的正數(shù),故正確;
選項D,|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|,當且僅當a-c與c-b同號時取等號,故正確.
4.【解析】x2+y2+z2-13=13(3x2+3y2+3z2-1)
=13[3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2]
=13[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]≥0
即x2+y2+z2≥13.
答案:x2+y2+z2≥13
5.【解析】∵a>b>0,c>d>0,∴m2=ac+bd
6、-2abcd,
n2=ac+bd-bc-ad,∴m2-n2=bc+ad-2abcd=(bc-ad)2≥0,
∴m2≥n2,又∵m>0,n>0,∴m≥n.
答案:m≥n
6.【解析】要比較x-1-x-2與x-3-x-4,
可比較x-1+x-4與x-2+x-3的大小.
令M=x-1+x-4>0,
N=x-2+x-3>0.
M2=2x-5+2(x-1)(x-4)
=2x-5+2x2-5x+4,
N2=2x-5+2(x-2)(x-3)
=2x-5+2x2-5x+6.
∵x2-5x+4
7、1-x-20,故a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2=2(a+b)(a-b)≥0,
所以(3a2-2b2)(a-b)≥0,即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
9.【證明】要證原不等式組成立,
8、只需證(a-b)24ab>0,∴ba<1lga+lgb+lgc,
只需證:lg(a+b2b+c2c+a2)>lg(abc),
只需證:a+b2b+c2c+a2>abc.
∵a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,c+a2≥ca>0,
∴a+b2b+c2c+a
9、2≥abc>0成立.
∵a,b,c為不全相等的正數(shù),∴上式中等號不成立.
∴原不等式成立.
方法二:∵a,b,c∈{正實數(shù)},
∴a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,c+a2≥ca>0,
又∵a,b,c為不全相等的實數(shù),
∴a+b2b+c2c+a2>abc,
∴l(xiāng)g(a+b2b+c2c+a2)>lg(abc),
即lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.
11.【證明】方法一:要證b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3,
只需證明ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1>3,
即證:ba+ca+cb+ab+ac+bc>6.
由a
10、,b,c為全不相等的正實數(shù)得
ba+ab>2,ca+ac>2,cb+bc>2,
∴ba+ca+cb+ab+ac+bc>6,
∴b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3成立.
方法二:∵a,b,c全不相等,
∴ba與ab,ca與ac,cb與bc全不相等,
∴ba+ab>2,ca+ac>2,cb+bc>2,
三式相加得ba+ca+cb+ab+ac+bc>6,
∴(ba+ca-1)+(cb+ab-1)+(ac+bc-1)>3,
即b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.
12.【證明】∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+a2c2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+a2c2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c,
b2c2+a2c2≥2abc2,
a2b2+a2c2≥2a2bc,
∴2(a2b2+b2c2+a2c2)≥2(a2bc+ab2c+abc2),
即a2b2+b2c2+a2c2≥abc(a+b+c).
所以原不等式成立.
選修45 第二節(jié)
