一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第8章 第4節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想． 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr?相離． (2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計(jì)算判別式Δ＝b2－4ac，Δ>0?相交，Δ＝0?相切，Δ<0?相離． 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝

2、r(r1>0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置 關(guān)系　　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：聯(lián)立兩個(gè)圓的方程組成方程組的解的情況 相離 d>r1＋r2 無(wú)解 外切 d＝r1＋r2 一組實(shí)數(shù)解 相交 |r2－r1|

3、(　　) (2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．(　　) (3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交．(　　) (4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程．(　　) [解析]　依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，只有(4)正確． [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切　　　　 B．相交 C．外切 D．相離 B　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

4、3＋2，∴兩圓相交．] 3．(2017合肥調(diào)研)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962384】 A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 D　[由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圓心(1,1)，半徑為1，所以＝1，解得b＝2或12.] 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________． 　[圓心為(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長(zhǎng)為2＝2＝.] 5．(2016全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C

5、：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為_(kāi)_______． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝.|AB|＝2，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π22＝4π.] 直線與圓的位置關(guān)系 　(1)(2017豫南九校聯(lián)考)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　 B．相切 C．相離 D．不確定 (2)已知直線l：x＋ay－1

6、＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)軸．過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 (1)A　(2)C　[(1)法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<. 故直線l與圓相交． 法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過(guò)定點(diǎn)(1,1)，∵點(diǎn)(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交． (2)由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. ∴圓心為C(2,1)，半徑r＝2， 由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay

7、－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． 于是|AB|2＝|AC|2－r2＝40－4＝36，則|AB|＝6.] [規(guī)律方法]　1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系； (2)注意靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化運(yùn)算．如“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直”等． 2．與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形進(jìn)行求解． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2017山西忻州模擬)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條

8、，則該切線的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962385】 A．2x＋y－5＝0　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 (2)(2016全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝__________. (1)B　(2)4　[(1)依題意知，點(diǎn)(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點(diǎn)． ∴圓心(1,0)與切點(diǎn)(3,1)連線的斜率為. 因此切線的斜率k＝－2. 故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. (2)由圓x2＋y2＝12知圓

9、心O(0,0)，半徑r＝2. ∴圓心(0,0)到直線x－y＋6＝0的 距離d＝＝3，|AB|＝2＝2. 過(guò)C作CE⊥BD于E. 如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2. ∵直線l的方程為x－y＋6＝0， ∴kAB＝，則∠BPD＝30，從而∠BDP＝60. ∴|CD|＝＝＝＝4.] 圓與圓的位置關(guān)系 　(2016山東高考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 B　[法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)． ∵圓M截直線所

10、得線段長(zhǎng)度為2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交． 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a. ∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2. 以下同法一．] [規(guī)律方法]　1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和

11、與差的大小關(guān)系． 2．若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到． 3．若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦． [變式訓(xùn)練2]　若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是__________． 4　[由題意⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過(guò)另一圓的圓心， ∴O1A⊥OA. 又∵|OA|＝，|O1A|＝2， ∴|OO1|＝5. 又A，B關(guān)于OO1對(duì)稱(chēng)， ∴AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍． 又∵OAO1A＝OO1AC，得AC＝2

12、. ∴AB＝4.] 直線與圓的綜合問(wèn)題 　(2016江蘇高考改編)如圖841，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)． 圖841 (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程． [解]　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25， 所以圓心M(6,7)，半徑為5. 1分 (1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)． 因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切， 所以0

13、半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1. 4分 因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. 5分 (2)因?yàn)橹本€l∥OA， 所以直線l的斜率為＝2. 設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 則圓心M到直線l的距離 d＝＝. 8分 因?yàn)锽C＝OA＝＝2， 而MC2＝d2＋， 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15. 故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)

14、到直線的距離公式及勾股定理求解． 2．求弦長(zhǎng)常用的方法：①弦長(zhǎng)公式；②半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)． [變式訓(xùn)練3]　(2017天津南開(kāi)中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切． (1)求圓C的方程； (2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱(chēng)，且|MN|＝2，求直線MN的方程． [解]　(1)將圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化為(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m. 1分 ∵圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切， ∴圓心(－2,1)到直線x－y＋－2

15、＝0的距離d＝＝2＝r， 4分 ∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝4. 5分 (2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱(chēng)，則可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋c＝0. 7分 ∵|MN|＝2，半徑r＝2， ∴圓心(－2,1)到直線MN的距離為＝1. 則＝1，∴c＝5.10分 ∴直線MN的方程為2x－y＋5＝0. 12分 [變式訓(xùn)練3]　(文)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線：x－y＝4相切． (1)求圓O的方程； (2)若圓O上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱(chēng)，且|MN|＝2，求直線MN的方程． [解]　(1)依題意，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到

16、直線x－y＝4的距離， 則r＝＝2. 所以圓O的方程為x2＋y2＝4. 5分 (2)由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋m＝0. 則圓心O到直線MN的距離d＝. 7分 由垂徑分弦定理，得＋()2＝22，即m＝. 10分 所以直線MN的方程為2x－y＋＝0或2x－y－＝0. 12分 [思想與方法] 1．直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時(shí)要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用． 2．計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法： (1)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算． (2)代數(shù)方法：弦長(zhǎng)公式|AB|＝|xA－xB|＝. [易錯(cuò)與防范] 1．求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“－1”列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算． 2．過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．