高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案：第一單元 1.3.1 第2課時(shí) 函數(shù)的最大值、最小值 Word版含答案

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料第2課時(shí)函數(shù)的最大值、最小值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義(難點(diǎn)).2.會(huì)借助單調(diào)性求最值(重點(diǎn)).3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(重點(diǎn))預(yù)習(xí)教材P30，完成下面問(wèn)題：知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M結(jié)論稱M是函數(shù)yf(x)的最大值稱M是函數(shù)yf(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)任何函數(shù)f(x)都有最大值和最小值()(2)若存在實(shí)數(shù)m，使f(x)m，則m是函數(shù)f(x)的最小值()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則f(x)在區(qū)間a，b上的最小值是f(a)，最大值是f(b)()提示(1)反例：f(x)x既無(wú)最大值，也無(wú)最小值(2)若使m是f(x)的最小值，還需在f(x)的定義域內(nèi)存在x0，使f(x0)m.(3)由于f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，所以f(a)f(x)f(b)故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)題型一用圖象法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值【例1】(1)已知函數(shù)f(x)則f(x)的最大值、最小值分別為_(kāi)，_.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上的最大值與最小值(1)解析作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)由圖象可知，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取最大值為f(1)1.當(dāng)x0時(shí)，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.答案10(2)解任取2x1<x25，則f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1<x25，x1x2<0，x21>0，x11>0，f(x2)f(x1)<0，f(x2)<f(x1)f(x)在區(qū)間2,5上是單調(diào)減函數(shù)f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).規(guī)律方法1.圖象法求最值的步驟2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)求函數(shù)的最值時(shí)應(yīng)首先求函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進(jìn)行(2)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，易出現(xiàn)的失誤是不判斷函數(shù)的單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入，認(rèn)為是函數(shù)的最值【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)x.(1)求證f(x)在1，)上是增函數(shù)；(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值(1)證明設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2).1x1x2，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1，)上是增函數(shù)(2)解由(1)可知，f(x)在1,4上遞增，當(dāng)x1時(shí)，f(x)minf(1)2，當(dāng)x4時(shí)，f(x)maxf(4).綜上所述，f(x)在1,4上的最大值是，最小值是2.題型二函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用【例2】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益總成本利潤(rùn))解(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20 000100x，從而f(x)(2)當(dāng)0x400時(shí)，f(x)(x300)225 000；當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25 000，當(dāng)x400時(shí)，f(x)60 000100x是減函數(shù)，f(x)60 00010040025 000.當(dāng)x300時(shí) ，f(x)max25 000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25 000元規(guī)律方法求解實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟(1)讀題：分為讀懂和深刻理解兩個(gè)層次，把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系(目標(biāo)與條件的關(guān)系)(2)建模：把問(wèn)題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)解析式，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題(3)求解：選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解函數(shù)(4)評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以改正，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或預(yù)測(cè)特別提醒：求解實(shí)際問(wèn)題的步驟也可認(rèn)為分成“設(shè)元列式求解作答”四個(gè)步驟【訓(xùn)練2】某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時(shí)向蓄水池注水80噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)供水，t小時(shí)內(nèi)供水量為80噸現(xiàn)在開(kāi)始向池中注水并同時(shí)向居民供水，多少小時(shí)后蓄水池中水量最少？解設(shè)t小時(shí)后，池中水量為y噸，則y45080t804(10)250，當(dāng)10，即t5時(shí)，ymin50，所以5小時(shí)后蓄水池中水量最少，最少為50噸.互動(dòng)探究題型三二次函數(shù)的最值【探究1】(1)求函數(shù)yx22x2的單調(diào)區(qū)間(2)求函數(shù)yx22x2的單調(diào)區(qū)間解(1)函數(shù)yx22x2是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x1的拋物線，故其單減區(qū)間是(，1)，單增區(qū)間是(1，)(2)函數(shù)yx22x2的圖象是開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x1的拋物線，故其單減區(qū)間是(1，)，單增區(qū)間是(，1)【探究2】函數(shù)f(x)x22x2在區(qū)間1,0，1,2，2,3上的最大值和最小值分別是什么？解函數(shù)f(x)x22x2的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x1，(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間1,0上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間1,0上的最大值為f(1)5，最小值為f(0)2；(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為f(1)1，又因?yàn)閒(1)5，f(2)2，f(1)>f(2)，所以f(x)在區(qū)間1,2上的最大值為f(1)5.(3)因?yàn)閒(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值為f(2)2，最大值為f(3)5.【探究3】已知函數(shù)f(x)x2ax1，(1)求f(x)在0,1上的最大值；(2)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2ax1的圖象開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸為x，所以區(qū)間0,1的哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，則在哪個(gè)端點(diǎn)取到最大值，當(dāng)，即a1時(shí)，f(x)的最大值為f(1)2a；當(dāng)>，即a>1時(shí)，f(x)的最大值為f(0)1.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2x1，其圖象的對(duì)稱軸為x.當(dāng)t時(shí)，f(x)在t，t1上是增函數(shù)，f(x)minf(t)t2t1；當(dāng)t1，即t時(shí)，f(x)在上是減函數(shù)，f(x)minf(t1)t2t1；當(dāng)t<<t1，即<t<時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)minf.規(guī)律方法含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，首先將二次函數(shù)化為ya(xh)2k的形式，再依a的符號(hào)確定拋物線開(kāi)口的方向，依對(duì)稱軸xh得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(2)對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù)通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論課堂達(dá)標(biāo)1函數(shù)f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分別為()A3,5B3,5C1,5D5，3解析因?yàn)閒(x)2x1(x2,2)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)的最小值為3.當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)的最大值為5.答案B2函數(shù)yx22x，x0,3的值域?yàn)?)A0,3B1,0C1，)D1,3解析函數(shù)yx22x(x1)21，x0,3，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為1，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)取得最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)?,3，故選D答案D3若函數(shù)yax1在1,2上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是()A2B2C2或2D0解析由題意a0，當(dāng)a>0時(shí)，有(2a1)(a1)2，解得a2；當(dāng)a<0時(shí)，有(a1)(2a1)2，解得a2.綜上知a2.答案C4函數(shù)f(x)3x在區(qū)間2,4上的最大值為_(kāi)解析在區(qū)間2,4上是減函數(shù)，3x在區(qū)間2,4上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)3x在區(qū)間2,4上是減函數(shù)，f(x)maxf(2)324.答案45已知函數(shù)f(x)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值解作出f(x)的圖象如圖：由圖象可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取最大值為2；當(dāng)x時(shí)，f(x)取最小值為.所以f(x)的最大值為2，最小值為.課堂小結(jié)1函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系(1)對(duì)一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y.如果有最值，則最值一定是值域中的一個(gè)元素(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上單調(diào)，則f(x)的最值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般要先作出yf(x)的草圖，然后根據(jù)圖象的增減性進(jìn)行研究特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問(wèn)題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得