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1、(人教版)精品數學教學資料
1.1.2 集合間的基本關系
學習目標 1.掌握兩個集合之間的包含關系和相等關系,并能正確判斷(重點).2.了解Venn圖的含義,會用Venn圖表示兩個集合間的關系(難點).3.了解空集的含義及其性質(易錯點).
預習教材P6-P7,完成下面問題:
知識點1 子集的相關概念
(1)Venn圖
①定義:在數學中,經常用平面上封閉曲線的內部代表集合,這種圖稱為Venn圖,這種表示集合的方法叫做圖示法.
②適用范圍:元素個數較少的集合.
③使用方法:把元素寫在封閉曲線的內部.
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字語言
符號
2、語言
圖形語言
集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,就說這兩個集合有包含關系,稱集合A是集合B的子集
A?B(或
B?A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此時,集合A與集合B中的元素是一樣的,因此,集合A與集合B相等,記作A=B.
③真子集的概念
定義
符號表示
圖形表示
真子集
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,稱集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
④空集
定義:不含任何元素的集合叫做空集.
用符號表示為:?.
規(guī)定:空集是任何集合的子集.
【預習評價】 (正確的打“√”
3、,錯誤的打“”)
(1)1?{1,2,3}.( )
(2)任何集合都有子集和真子集.( )
(3)?和{?}表示的意義相同.( )
提示 (1) “?”表示集合與集合之間的關系,而不是元素和集合之間的關系.
(2) 空集只有子集,沒有真子集.
(3) ?是不含任何元素的集合,而{?}集合中含有一個元素?.
知識點2 集合間關系的性質
(1)任何一個集合都是它本身的子集,即A?A.
(2)對于集合A,B,C,
①若A?B,且B?C,則A?C;
②若AB,BC,則AC.
③若A?B,A≠B,則AB.
【預習評價】
若{1,2}?B?{1,2,4},則B=_
4、_______.
解析 由條件知B中一定含有元素1和2,故B可能是{1,2},{1,2,4}.
答案 {1,2}或{1,2,4}
題型一 集合關系的判斷
【例1】 指出下列各對集合之間的關系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1
5、(2)等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角形,故AB.
(3)集合B={x|x<5},用數軸表示集合A,B,如圖所示,由圖可知AB.
(4)由列舉法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM.
規(guī)律方法 判斷集合關系的方法
(1)觀察法:一一列舉觀察.
(2)元素特征法:首先確定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判斷關系.
(3)數形結合法:利用數軸或Venn圖.
【訓練1】 (1)集合A={x|(x-3)(x+2)=0},B=,則A與B的關系是( )
A.A?B B.A=B C.AB D
6、.BA
(2)已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0
7、c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7個.
答案 ?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 7
(2)解 由題意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三個元素的集合,因此所有滿足題意的集合P為:{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}.
規(guī)律方法 1.假設集合A中含有n個元素,則有:
(1)A的子集的個數有2n個;
(2)A的非空子集的個數有2n-1個;
(3)A的真子集的個數有2n-1個;
(
8、4)A的非空真子集的個數有2n-2個.
2.求給定集合的子集的兩個注意點:
(1)按子集中元素個數的多少,以一定的順序來寫;
(2)在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身.
【訓練2】 已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},試寫出A的所有子集.
解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
∴A的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
互動探究
題型三 由集合間的包含
9、關系求參數
【探究1】 設集合A={a,b},且B?A,求B.
解 B是A的子集,則B可能是?,{a},,{a,b}.
【探究2】 下列命題正確的是( )
A.A?? B.??A C.A? D.?A
解析 由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故選B.
答案 B
【探究3】 設集合A={x|ax+1=0},B={x|ax2+x+1=0},C={x|a+1時,集合B是空集;當a+1
10、≥2a,即a≤1時,集合C是空集.
【探究4】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1
11、B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若AB,求a的取值范圍;
(2)若B?A,求a的取值范圍.
解 (1)若AB,由圖可知a>2.
(2)若B?A,由圖可知1≤a≤2.
課堂達標
1.集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有( )
A.2個 B.4個 C.6個 D.8個
解析 根據題意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0,-1}、{-1,0,1}, 四個;故選B.
答案 B
2.已知集合M={x|-
12、0,1,2}
C.R={y|-π
13、{0,1}含有兩個元素0,1;{(0,1)}含有一個元素點(0,1),所以這兩個集合沒關系;④錯誤,集合{(a,b)}含有一個元素點(a,b),集合{(b,a)}含有一個元素點(b,a),這兩個元素不同,所以集合不相等;∴正確的個數是2.故選B.
答案 B
4.設集合A={x|1
14、
解 因為M=N,則(a-3)+(2a-1)+(a2+1)=-2+(4a-3)+(3a-1),即a2-4a+3=0,解得a=1,或a=3.
當a=1時,M={-2,1,2},N={-2,1,2},滿足M=N;
當a=3時,M={0,5,10},N={-2,9,8},不滿足M=N,舍去.
故實數a的值為1.
課堂小結
1.對子集、真子集有關概念的理解
(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,這是判斷A?B的常用方法.
(2)不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”,因為若A=?時,則A中不含任何元素;若A=B,則A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定義中,A、B首先要滿足A?B,其次至少有一個x∈B,但x?A.
2.集合子集的個數
求集合的子集問題時,一般可以按照子集元素個數分類,再依次寫出符合要求的子集.集合的子集、真子集個數的規(guī)律為:含n個元素的集合有2n個子集,有2n-1個真子集,有2n-2個非空真子集.
3.涉及字母參數的集合關系問題,注意數形結合思想與分類討論思想的應用.