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1、專題09 圓錐曲線
一.基礎(chǔ)題組
1. 【2007高考陜西版理第3題】拋物線y=x2的準線方程是
(A)4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0
【答案】A
考點:拋物線的幾何性質(zhì),容易題.
2. 【2011高考陜西版理第2題】設(shè)拋物線的頂點在原點,準線方程為,則拋物線的方程是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
考點:拋物線的幾何性質(zhì),容易題.
3. 【2013高考陜西版理第11題】雙曲線的離心率為,則m等于__________.
【答案】9
2、
考點:雙曲線的幾何性質(zhì),容易題.
4. 【2015高考陜西,理14】若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點,則 .
【答案】
【考點定位】雙曲線的幾何性質(zhì)和拋物線標準方程
二.能力題組
1. 【2006高考陜西版理第7題】已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
考點:雙曲線的幾何性質(zhì).
2. 【2007高考陜西版理第7題】已知雙曲線C:(a>0,b>0),以C的右焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是
A. B.
3、 C.a D.b【答案】D
【解析】
考點:雙曲線的幾何性質(zhì).
3. 【2008高考陜西版理第8題】雙曲線(,)的左、右焦點分別是,過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點,若垂直于軸,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
考點:雙曲線的幾何性質(zhì).
4. 【2009高考陜西版理第7題】””是”方程表示焦點在y軸上的橢圓”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充要條件 (
4、D) 既不充分也不必要條件
【答案】C
考點:橢圓的定義.
5. 【2010高考陜西版理第8題】已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓x2+y2-6 x-7=0相切,則p的值為【 】
(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4
【答案】C
【解析】
試題分析:由已知可得與圓相切.圓心為,半徑為4,圓心到直線的距離,解得.
w.考點:拋物線的幾何性質(zhì).
6. 【2011高考陜西版理第17題】如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=45|PD|.
(1)當(dāng)P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方
5、程;
(2)求過點(3,0)且斜率為45的直線被C所截線段的長度.
【答案】(1);(2) .
w.考點:橢圓的方程與性質(zhì).
7. 【2012高考陜西版理第13題】右圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬 米.
【答案】
考點:拋物線的應(yīng)用.
8. 【2012高考陜西版理第19題】已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)為坐標原點,點分別在橢圓和上,,求直線的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.
考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.
9. 【2013高考陜西
6、版理第20題】已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.
【答案】(1) y2=8x;(2) 詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)解:如圖,設(shè)動圓圓心O1(x,y),由題意,|O1A|=|O1M|,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
將①,②代入③得2kb2+(k+b)(
7、8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此時Δ>0,
∴直線l的方程為y=k(x-1),
即直線l過定點(1,0).
考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.
三.拔高題組
1. 【2006高考陜西版理第21題】如圖,三定點A(2,1),B(0,-1),C(-2,1); 三動點D,E,M滿足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求動直線DE斜率的變化范圍; (Ⅱ)求動點M的軌跡方程.
y
x
O
M
D
A
B
C
-1
-1
-2
1
2
B
E
【答案】(Ⅰ) [-1,1]; (Ⅱ) x2
8、=4y, x∈[-2,2].
考點:軌跡方程.
2. 【2007高考陜西版理第21題】已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
(2)當(dāng)與軸不垂直時,
考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.
3. 【2008高考陜西版理第20題】已知拋物線:,直線交于兩點,是線段的中點,過作軸的垂線交于點.
(Ⅰ)證明:拋物線在點處的切線與平行;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)使,若存在,求的值;若不存在,說明理由.
9、
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)存在,使.
【解析】
試題分析:解法一:(Ⅰ)如圖,設(shè),,
把代入得,
解法二:(Ⅰ)如圖,設(shè),把代入得
.由韋達定理得.
考點:拋物線的方程,直線與拋物線的位置關(guān)系.
4. 【2009高考陜西版理第21題】已知雙曲線C的方程為,離心率,頂點到漸近線的距離為。
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)如圖,P是雙曲線C上一點,A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,求面積的取值范圍。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
因為
又
考點:雙曲線的方程,直線與雙曲線的位置關(guān)系.
5. 【2010高考陜西版理第2
10、0題】如圖,橢圓C:的頂點為A1,A2,B1,B2,焦點為F1,F(xiàn)2,|A1B1|=,A1B1A2B2=2B1F1B2F2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)n是過原點的直線,l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A,B兩點的直線,||=1.是否存在上述直線l使=1成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 使=1成立的直線不存在.
【解析】
將④⑤代入上式并化簡得
(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0, ⑥
將m2=1+k2代入⑥并化簡得-5(k2+1)=0,矛盾.
即此時直線l不存在.
考
11、點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.
6. 【2014高考陜西版理第20題】如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成,的公共點為,其中的離心率為.
(1) 求的值;
(2) 過點的直線與分別交于(均異于點),若,求直線的方程.
【答案】(1),;(2)
(2)由(1)知,上半橢圓的方程為,
易知,直線與軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為
代入的方程中,整理得:
(*)
設(shè)點的坐標
由韋達定理得
又,得,從而求得
所以點的坐標為
考點:橢圓和拋物線的幾何性質(zhì);直線與圓錐曲線的綜合問題.
7. 【2015高考陜西,理20】(本小題滿分12分)已知橢圓()的半
12、焦距為,原點到經(jīng)過兩點,
的直線的距離為.
(I)求橢圓的離心率;
(II)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點,求橢圓的
方程.
【答案】(I);(II).
【解析】
試題分析:(I)先寫過點,的直線方程,再計算原點到該直線的距離,進而可得橢圓的離心率;(II)先由(I)知橢圓的方程,設(shè)的方程,聯(lián)立,消去,可得和
解法二:由(I)知,橢圓的方程為. (2)
依題意,點,關(guān)于圓心對稱,且.
設(shè)則,,
兩式相減并結(jié)合得.
易知,不與軸垂直,則,所以的斜率
考點:1、直線方程;2、點到直線的距離公式;3、橢圓的簡單幾何性質(zhì);4、橢圓的方程;5、圓的方程;6、直線與圓的位置關(guān)系;7、直線與圓錐曲線的位置.