高考數(shù)學文大一輪復習檢測：第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時作業(yè)24 Word版含答案

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1、課時作業(yè)24　解三角形的應(yīng)用 一、選擇題 1．以觀測者的位置作為原點，東、南、西、北四個方向把平面分成四個象限，以正北方向為始邊，按順時針方向旋轉(zhuǎn)280°到目標方向線，則目標方向線的位置在觀測者的(　　) A．北偏東80° B．北偏東10° C．北偏西80° D．北偏西10° 解析：注意旋轉(zhuǎn)的方向是順時針方向，作出相應(yīng)的圖形分析可得正確選項為C. 答案：C 2．已知△ABC的三邊a，b，c所對的內(nèi)角分別為A，B，C，且＝，則cosB的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：根據(jù)正弦定理得＝＝，所以

2、sin＝sinB＝2sincos，所以cos＝，所以cosB＝2cos2－1＝－. 答案：C 3．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在A處的正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ等于(　　) A. B. C. D. 解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2 800，所以BC＝20.由正弦定

3、理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝. 答案：B 4.為測出所住小區(qū)的面積，某人進行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是(　　) A. km2 B. km2 C. km2 D. km2 解析：連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC＝ km，故△ABC為直角三角形．且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC為等腰三角

4、形，設(shè)AD＝DC＝x km，根據(jù)余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3×(2－)，所以所求的面積為×1×＋×3×(2－)×＝＝(km2)． 答案：D 5．(2017·湖南岳陽一模)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果滿足條件：asinAsinB＋bcos2A＝a，則＝(　　) A．2 B．2 C. D. 解析：由正弦定理及asinAsinB＋bcos2A＝a，得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB

5、＝sinA，所以＝，故選D. 答案：D 6．(2017·福建漳州一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面積為c，則ab的最小值為(　　) A. B. C. D．3 解析：由正弦定理及2ccosB＝2a＋b，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，因為A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，則2sinC·cosB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinB·cosC＋sinB＝0，又0<B<π，所以sinB>0，則cosC＝－，因為0<C<π，所以C

6、＝，所以sinC＝，則△ABC的面積為absinC＝ab＝c，即c＝3ab，結(jié)合c2＝a2＋b2－2ab·cosC，可得a2＋b2＋ab＝9a2b2，∵a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時取等號，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是.故選B. 答案：B 二、填空題 7．(2016·山東卷)△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A＝________. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cos

7、A，即tanA＝1，又0<A<π，所以A＝. 答案： 8．(2016·天津卷)如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，則線段CE的長為________． 解析： 如圖，連接AC，BC，因為∠ACE＝∠DBE，∠AEC＝∠DEB，所以△ACE∽△DBE.因為DB＝DE，所以AC＝AE＝1.在△ABC中，cos∠EAC＝，在△ACE中，由余弦定理，得CE＝＝. 答案： 9．(2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________． 解析：由

8、sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，兩邊同時除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，因為△ABC是銳角三角形，所以2tanBtanC>2，則tanBtanC>1，m>2，又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，當且僅當m－2＝，即m＝4時取等號，故tanAtanBtanC的最小值為8. 答案：8 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx－co

9、sx)(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最大值以及取最大值時x的取值集合； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f()＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面積． 解：(1)f(x)＝cosx(sinx－cosx) ＝sinxcosx－cos2x ＝－－＝sin(2x－)－. 當2x－＝2kπ＋(k∈Z)， 即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}時，f(x)取得最大值1－. (2)由f()＝－，可得sin(A－)＝0. 因為A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝， 則a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc， 由a＝3，b＋c＝2，解得bc＝1. 所以

10、S△ABC＝bcsinA＝. 11．(2017·河北唐山統(tǒng)考)在△ABC中，AB＝2AC＝2，AD是BC邊上的中線，記∠CAD＝α，∠BAD＝β. (1)求sinαsinβ； (2)若tanα＝sin∠BAC，求BC. 解：(1)∵AD為BC邊上的中線， ∴S△ACD＝S△ABD， ∴AC·ADsinα＝AB·ADsinβ， ∴sinαsinβ＝ABAC＝21. (2)∵tanα＝sin∠BAC＝sin(α＋β)， ∴sinα＝sin(α＋β)cosα， ∴2sinβ＝sin(α＋β)cosα， ∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(

11、α＋β)cosα， ∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα， ∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tanα， 又tanα＝sin∠BAC＝sin(α＋β)≠0， ∴cos(α＋β)＝cos∠BAC＝， 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝3，∴BC＝. 1．(2017·武漢武昌區(qū)調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC. (1)求證：a，b，c成等比數(shù)列； (2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值． 解：(1)證明：在△ABC中，cosB＝

12、－cos(A＋C)．由已知，得 (1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC， ∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC) ＝－cosAcosC， 化簡，得sin2B＝sinAsinC. 由正弦定理，得b2＝ac， ∴a，b，c成等比數(shù)列． (2)由(1)及題設(shè)條件，得ac＝4. 則cosB＝＝≥＝， 當且僅當a＝c時，等號成立． ∵0<B<π，∴sinB＝≤＝. ∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝. ∴△ABC的面積的最大值為. 2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知向量m＝(cosA，sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1. (1)若a＝2，c＝2，求△ABC的面積； (2)求的值． 解：(1)由m·n＝－1，即2cos2A－2sinAcosA＝－1，得sin(2A－)＝1. ∵0<A<π，∴2A－∈， ∴A＝. 由正弦定理＝，得sinC＝， ∵C∈，∴C＝，∴B＝. ∴S△ABC＝×2×2＝2. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2.