金版教程高考數(shù)學 文二輪復習講義：第一編 數(shù)學 思想方法 第一講 函數(shù)與方程思想 Word版含解析

第一講函數(shù)與方程思想思想方法解讀 考點求最值或參數(shù)的范圍典例120xx山東高考設函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是()A. B0,1C. D1，)解析由題意知，f(a)由f(a)<1，解得a<.所以f(f(a)故當a<時，方程f(f(a)2f(a)化為9a423a1，即18a823a.如圖，分別作出直線y18x8與函數(shù)y23x8x的圖象，根據(jù)圖象分析可知，A點橫坐標為，故a<不符合題意當a<1時，方程f(f(a)2f(a)化為23a123a1，顯然方程恒成立當a1時，方程f(f(a)2f(a)化為22a22a，顯然方程恒成立所以a的取值范圍是.答案C四類參數(shù)范圍(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的問題往往要根據(jù)題設條件構建以待求字母(式子)為元的方程(組)，然后由方程(組)求得(2)求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題中的重要問題，解決這類問題一般有兩種途徑：其一，充分挖掘題設條件中的不等關系，構建以待求字母為元的不等式(組)求解；其二，充分應用題設中的等量關系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應用函數(shù)知識求值域(3)當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構建一元二次方程的明顯信息，構造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決(4)當問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成關于另一個變量的表達式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決【針對訓練1】20xx西安模擬已知f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調遞增若a>0，則當x時，f(x)>0；當x時，f(x)<0.所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減綜上，當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增；當a>0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減(2)由(1)知，當a0時，f(x)在(0，)無最大值；當a>0時，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln aln aa1.因此f>2a2等價于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調遞增，g(1)0.于是，當0<a<1時，g(a)<0；當a>1時，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1)考點解決圖象交點或方程根等問題典例2已知函數(shù)f(x)x22ext1，g(x)x(x>0)，其中e表示自然對數(shù)的底數(shù)(1)若g(x)m有實根，求m的取值范圍；(2)確定t的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個相異實根解(1)解法一：因為x>0，所以g(x)x22e，等號成立的條件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，g(x)m就有實根解法二：作出g(x)x(x>0)的圖象，如圖所示，觀察圖象可知g(x)的最小值為2e，因此要使g(x)m有實根，則只需m2e.解法三：由g(x)m，得x2mxe20，此方程有大于0的根，故等價于故m2e.(2)若g(x)f(x)0有兩個相異的實根，則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點因為f(x)x22ext1(xe)2t1e2，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線xe，開口向下，最大值為t1e2.由題意，作出g(x)x(x>0)及f(x)x22ext1的大致圖象，如圖所示故當t1e2>2e，即t>e22e1時，g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，即g(x)f(x)0有兩個相異實根所以t的取值范圍是(e22e1，)解決圖象交點及方程根問題的方法函數(shù)圖象的交點、函數(shù)零點、方程的根三者之間可互相轉化，解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想即方程的根可轉化為函數(shù)零點、函數(shù)圖象的交點，反之函數(shù)零點、函數(shù)圖象交點個數(shù)問題也可轉化為方程根的問題【針對訓練2】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實根之和為()A5 B6C7 D8答案C解析g(x)2，由題意知函數(shù)f(x)的周期為2，則函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示：由圖象知f(x)、g(x)有三個交點，故方程f(x)g(x)，在x5,1上有三個根xA、xB、xC，且xB3，2，xAxC4，xAxBxC7.考點函數(shù)與方程思想在不等式中的應用典例3設函數(shù)f(x)cos2xsinxa1，已知不等式1f(x)對一切xR恒成立，求a的取值范圍解f(x)cos2xsinxa11sin2xsinxa12a.因為1sinx1，所以當sinx時，函數(shù)有最大值f(x)maxa，當sinx1時，函數(shù)有最小值f(x)mina2.因為1f(x)對一切xR恒成立，所以f(x)max且f(x)min1，即解得3a4，所以a的取值范圍是3,4不等式恒成立問題的處理方法在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質解決問題同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系，使問題更明朗化一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)【針對訓練3】設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是_答案(，3)(0,3)解析設F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù)又當x<0時，F(xiàn)(x)f(x)g(x)f(x)g(x)>0，所以x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，所以x>0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由圖可知F(x)<0的解集是(，3)(0,3)考點函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用典例420xx湖北高考設等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當d>1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法形式結構與函數(shù)(方程)類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點，其一般解題步驟是：第一步：分析數(shù)列式子的結構特征第二步：根據(jù)結構特征構造“特征”函數(shù)(方程)，轉化問題形式第三步：研究函數(shù)性質結合解決問題的需要研究函數(shù)(方程)的相關性質，主要涉及函數(shù)單調性與最值、值域問題的研究第四步：回歸問題結合對函數(shù)(方程)相關性質的研究，回歸問題【針對訓練4】20xx東城模擬已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an的前n項和為Sn，設bn，若對任意的nN*，不等式bnk恒成立，求實數(shù)k的最小值解(1)因為a12，aa2(a41)，又因為an是正項等差數(shù)列，故公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式an2n.(2)因為Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2，當x1時，f(x)>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當x1時，f(x)minf(1)3，即當n1時，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實數(shù)k的最小值為.考點函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用典例520xx陜西高考已知橢圓E：1(a>b>0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程解(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點O到直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)解法一：由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.從而x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故橢圓E的方程為1.解法二：由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，點A，B關于圓心M(2,1)對稱，且|AB|.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2, x4y4b2，兩式相減并結合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故橢圓E的方程為1.函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用(1)利用方程求橢圓離心率的方法第一步：設橢圓的標準方程1.第二步：轉化幾何、向量、三角等關系為數(shù)量關系第三步：利用方程思想建立a、b、c的關系式構建離心率e或e(a>b>0)(2)解析幾何中的最值問題解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決(3)解析幾何中的范圍問題的解題步驟第一步：聯(lián)立方程第二步：求解判別式.第三步：代換利用題設條件和圓錐曲線的幾何性質，得到所求目標參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個等量關系，將其代換第四步：下結論將上述等量代換式代入>0或0中，即可求出目標參數(shù)的取值范圍第五步：回顧反思在研究直線與圓錐曲線的位置關系問題時，無論題目中有沒有涉及求參數(shù)的取值范圍，都不能忽視了判別式對某些量的制約，這是求解這類問題的關鍵環(huán)節(jié)【針對訓練5】已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1、F2，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線xy20相切(1)求橢圓C的標準方程；(2)設Q為橢圓C上不在x軸上的一個動點，過點F2作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個不同的點，記QF2M的面積為S1，OF2N的面積為S2，令SS1S2，求S的最大值解(1)由題意知e，所以e2，即a22b2，又以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓為x2y2b2，且與直線xy20相切，所以b，所以a24，b22，故橢圓C的標準方程為1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線OQ：xmy，則直線MN：xmy，由得(m22)y22my20，y1y2，y1y2.所以|MN|y2y1| ，因為MNOQ，所以QF2M的面積等于OF2M的面積，SS1S2SO MN，因為點O到直線MN：xmy的距離d，所以S|MN|d.令 t，則m2t21(t1)，S，因為t22(當且僅當t，即t1，也即m0時取等號)，所以當m0時，S取得最大值.考點函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用典例6已知e1，e2是單位向量，e1e2.若向量b滿足be12，be2，且對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，則x0_，y0_，|b|_.解析問題等價于|b(xe1ye2)|當且僅當xx0，yy0時取到最小值1，即|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y24x5yxy在xx0，yy0時取到最小值1，又|b|2x2y24x5yxyx2(y4)xy25y|b|22(y2)27|b|2，所以解得答案122函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用策略平面向量問題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問題，通過模、數(shù)量積等轉化為關于相應參數(shù)的函數(shù)(方程)問題，從而利用相關知識結合函數(shù)或方程思想來處理有關參數(shù)值問題其一般的解題要點如下：(1)向量代數(shù)化，利用平面向量中的模、數(shù)量積等，結合向量的位置關系、數(shù)量積公式等進行代數(shù)化，得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程)(2)代數(shù)函數(shù)(方程)化，利用函數(shù)(方程)思想，結合相應的函數(shù)(方程)的性質來求解問題(3)得出結論，根據(jù)條件建立相應的關系式，并得到對應的結論【針對訓練6】已知e1，e2是平面兩個相互垂直的單位向量，若向量b滿足|b|2，be11，be21，則對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值為_答案解析|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y22x2y(x1)2(y1)222，當且僅當x1，y1時，|b(xe1ye2)|2取得最小值2，此時|b(xe1ye2)|取得最小值，故填.