《高中數(shù)學(xué)人教A版選修11學(xué)業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質(zhì) Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)人教A版選修11學(xué)業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質(zhì) Word版含解析(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(人教版)精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料
學(xué)業(yè)分層測評
(建議用時:45分鐘)
[學(xué)業(yè)達標(biāo)]
一、選擇題
1.過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A,B兩點,它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( )
A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條
C.有無窮多條 D.不存在
【解析】 由定義,知|AB|=5+2=7,因為|AB|min=4,所以這樣的直線有且僅有兩條.
【答案】 B
2.過點(1,0)作斜率為-2的直線,與拋物線y2=8x交于A,B兩點,則弦AB的長為( )
A.2 B.2
C.2 D.2
【解析】 設(shè)A,B兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)
2、,由直線AB斜率為-2,且過點(1,0)得直線AB的方程為y=-2(x-1),代入拋物線方程y2=8x得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,則x1+x2=4,x1x2=1,|AB|===2.故選B.
【答案】 B
3.(2014全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦點F,準線方程為l:x=-,設(shè)A點到準線的距離為d,由拋物線的定義可知d=|AF|,從而x0+=x0,解得x0=1,故選A.
【答案】 A
4.已知
3、拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準線方程為( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B兩點在拋物線上,得y=2px1,①
y=2px2,②
由①-②,得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2).又線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,即y1+y2=4,直線AB的斜率為1,故2p=4,p=2,因此拋物線的準線方程為x=-=-1.
【答案】 B
5.設(shè)O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點,A為拋物線上一點,若OA=-4,則點
4、A的坐標(biāo)為( ) 【導(dǎo)學(xué)號:26160061】
A.(2,2) B.(1,2)
C.(1,2) D.(2,2)
【解析】 設(shè)A(x,y),則y2=4x,①
O=(x,y),A=(1-x,-y),OA=x-x2-y2=-4,②
由①②可解得x=1,y=2.
【答案】 B
二、填空題
6.拋物線y2=4x上的點到直線x-y+4=0的最小距離為________.
【解析】 可判斷直線y=x+4與拋物線y2=4x相離,
設(shè)y=x+m與拋物線y2=4x相切,
則由消去x得y2-4y+4m=0.
∴Δ=16-16m=0,m=1.
又y=x+4與y=x+1的距離d==,
則所求
5、的最小距離為.
【答案】
7.已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y+y的最小值是________.
【解析】 設(shè)AB的方程為x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,則y1+y2=4m,y1y2=-16,
∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,
當(dāng)m=0時,y+y最小為32.
【答案】 32
8.過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AB|=,|AF|<|BF|,則|AF|=________.
【解析】 設(shè)過拋物線焦點的直線為y=k,
聯(lián)立得
整理得k2x2
6、-(k2+2)x+k2=0,
x1+x2=,x1x2=.
|AB|=x1+x2+1=+1=,得k2=24,
代入k2x2-(k2+2)x+k2=0
得12x2-13x+3=0,
解之得x1=,x2=,又|AF|<|BF|,
故|AF|=x1+=.
【答案】
三、解答題
9.求過定點P(0,1),且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程.
【解】 如圖所示,若直線的斜率不存在,
則過點P(0,1)的直線方程為x=0,
由得
即直線x=0與拋物線只有一個公共點.
若直線的斜率存在,
則設(shè)直線為y=kx+1,代入y2=2x得:
k2x2+(2k-2)x+1=
7、0,
當(dāng)k=0時,直線方程為y=1,與拋物線只有一個交點.
當(dāng)k≠0時,Δ=(2k-2)2-4k2=0?k=.此時,直線方程為y=x+1.
可知,y=1或y=x+1為所求的直線方程.
故所求的直線方程為x=0或y=1或y=x+1.
10.已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標(biāo)準方程.
【解】 由題意,拋物線方程為y2=2px(p≠0),
焦點F,直線l:x=,
∴A,B兩點坐標(biāo)為,,
∴|AB|=2|p|.
∵△OAB的面積為4,
∴2|p|=4,∴p=2.
∴拋物線方程為y2=
8、4x.
[能力提升]
1.(2014全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,則|AB|=( )
A. B.6
C.12 D.7
【解析】 ∵F為拋物線C:y2=3x的焦點,
∴F,
∴AB的方程為y-0=tan 30,
即y=x-.
聯(lián)立得x2-x+=0.
∴x1+x2=-=,即xA+xB=.
由于|AB|=xA+xB+p,所以|AB|=+=12.
【答案】 C
2.已知AB是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,O為原點,若||=||,且拋物線的焦點恰好為△AOB的垂心,則直線AB的方程是( )
A.x=p B.x
9、=p
C.x=p D.x=3p
【解析】 ∵||=|O|,
∴A,B關(guān)于x軸對稱.
設(shè)A(x0,),B(x0,-).
∵AF⊥OB,F(xiàn),
∴=-1,
∴x0=p.
【答案】 C
3.(2014湖南高考)平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是________.
【解析】 由題意知機器人行進軌跡為以F(1,0)為焦點,x=-1為準線的拋物線,其方程為y2=4x.設(shè)過點(-1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1).代入y2=4x,得k2x2+(2k2-4)x+k2=
10、0.∵機器人接觸不到該直線,∴Δ=(2k2-4)2-4k4<0,∴k2>1.∴k>1或k<-1.
【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞)
4.已知直線l:y=x+,拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準線上.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩個動點,過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點N,若OO=0(O為原點,A,B異于原點),試求點N的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號:26160062】
【解】 (1)直線l:y=x+.①
過原點且垂直于l的直線方程為y=-2x.②
由①②,得x=-.
∵拋物線的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準線上,
∴-=-2,∴p=2.
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y).
由OO=0,得x1x2+y1y2=0.
又y=4x1,y=4x2,
解得y1y2=-16.③
直線ON:y=x,即y=x.④
由③④及y=y(tǒng)1,得點N的軌跡方程為x=-4(y≠0).