3、n的關系
若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，
則an＝
[知識拓展]
1．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an恒成立．
2．數(shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an恒成立．
[基本能力自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達．( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{
4、an}的任何一項．( )
[答案] (1) (2)√ (3)√ (4)√
2．設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為( )
A．15 B．16
C．49 D．64
A [當n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖511)．
圖511
則第7個三角形數(shù)是( ) 【導學號：00090153】
A．27 B．28
C．29 D．30
B [由題圖可知，第7個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋
5、6＋7＝28.]
4．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an是__________．
[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為.]
5．(20xx張掖模擬)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________.
[由an＋1＝，得an＝1－，
∵a8＝2，∴a7＝1－＝，
a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，
∴{an}是以3為周期的數(shù)列，∴a1＝a7＝.]
(對應學生用書第68頁)
由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式
寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，－，，－，，…；
(3)3,33
6、,333,3 333，….
(4)－1,1，－2,2，－3,3…
[解] (1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(2)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，
所以an＝.
(3)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1)．
(4)數(shù)列的奇數(shù)項為－1，－2，－3，…可用－表示
數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3，…可用表示．
因此an＝
[規(guī)律方法] 1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征：
7、(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項的變化特征；
(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征；
(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想．
2．若關系不明顯時，應將部分項作適當?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來．對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整，可代入驗證歸納的正確性．
[變式訓練1] (1)數(shù)列0，，，，…的一個通項公式為( ) 【導學號：00090154】
A．an＝(n∈N*)
B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*)
D．an＝(n∈N*)
(2)數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項
8、公式是an＝__________.
(1)C (2) [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可．
(2)數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝.]
由an與Sn的關系求通項an
(1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝________.
(1) (2)(－2)n－1 [(1)當n＝1時，a1＝S1＝312－21＋1＝2；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)
9、＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．
故數(shù)列的通項公式為an＝
(2)由Sn＝an＋，得當n≥2時，Sn－1＝an－1＋，
兩式相減，得an＝an－an－1，
∴當n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2.
又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，
∴an＝(－2)n－1.]
[規(guī)律方法] 由Sn求an的步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；
(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通
10、項公式合寫；如果不符合，則應寫成分段函數(shù)的形式．
易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤．
[變式訓練2] (1)(20xx河南八校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.
【導學號：00090156】
(1)－2n－1 (2) [(1)依題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a
11、1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以a1＝－1為首項、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1.
(2)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝23n－1.
顯然當n＝1時，不滿足上式．
∴an＝]
由遞推公式求數(shù)列的通項公式
根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【導學號：00090157】
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－
12、1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n≥2)．
當n＝1時，a1＝(31＋1)＝2符合公式，
∴an＝n2＋.
(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝…a1
＝2n－12n－2…21＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2.
又a1＝1適合上式，故an＝2.
(3)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝23n－1，因此an＝23n－1－1.
13、 [規(guī)律方法] 1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為{an＋k}為等比數(shù)列．
易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式，(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零．
[變式訓練3] 根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)．
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3.
[解] (
14、1)由題意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
(2)因為an＝an－1(n≥2)，
所以當n≥2時，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1個式子相乘得…＝…，
即＝21，所以an＝.
當n＝1時，a1＝＝，也與已知a1＝相符，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)
又a1＝1，∴a1＋3＝4.
故數(shù)列{an＋3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列
∴an＋3＝42n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學案 文 北師大版
