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1、
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高考大題專攻練
12.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(B組)
大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)!
1.已知函數(shù)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1),其中a∈R. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號92494448
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)是否存在a的值,使得f(x)在[0,+∞)上既存在最大值又存在最小值?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)
=ln.
設(shè)
2、g(x)=,g′(x)=-.
①當(dāng)a=0時(shí),f(x)無意義,所以a≠0.
②當(dāng)a>0時(shí),f(x)的定義域?yàn)?
令g′(x)=0,得x1=-a,x2=,g(x)與g′(x)的情況如表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
g′(x)
-
0
+
0
-
g(x)
↘
g(x1)
↗
g(x2)
↘
-(-a)=>0,所以>-a.
-=-<0,所以<.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是;
單調(diào)遞減區(qū)間是.
③當(dāng)a<0時(shí),f(x)的定義域?yàn)?令g′(x)=0,得x1=-a,x2=,g(x)與g′(x)的情況如表:
x
(-
3、∞,x2)
x2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
g(x2)
↘
g(x1)
↗
-(-a)=<0,所以<-a.
-=->0,所以>.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是;
單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)①當(dāng)a>0時(shí),由(1)可知,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以f(x)在[0,+∞)上存在最大值f=lna2.
下面研究最小值:
由于f(x)的定義域?yàn)?
(ⅰ)若≥0,即01時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)
4、遞增,
所以f(x)在上存在最小值f(0);
因?yàn)閒(x)在上單調(diào)遞減,
所以f(x)在上不存在最小值.
所以,要使f(x)在[0,+∞)上存在最小值,
只可能是f(0)=ln(g(0)).
計(jì)算整理g(x)-g(0)=-(a2-1)
=.
要使f(x)在[0,+∞)上存在最小值,
只需x∈[0,+∞),g(x)-g(0)≥0.
因?yàn)閤2+1>0,則問題轉(zhuǎn)化為x∈[0,+∞)時(shí),(1-a2)x+2a≥0恒成立.
設(shè)h(x)=(1-a2)x+2a,則只需或
解得0≤a≤1,這與a>1相矛盾,
所以f(x)在[0,+∞)上沒有最小值,不合題意.
②當(dāng)a<0時(shí),由于f(x
5、)的定義域?yàn)?
(ⅰ)若≤0,即-1≤a<0時(shí),f(x)在[0,+∞)上沒有意義,也不存在最大值和最小值.
(ⅱ)若>0,即a<-1時(shí),由(1)可知f(x)在上單調(diào)遞減,f(x)存在最大值,但不存在最小值.
綜上,不存在a的值,使得f(x)在[0,+∞)上既存在最大值又存在最小值.
2.已知函數(shù)f(x)=aex+(2-e)x(a為實(shí)數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線(3-e)x-y+10=0平行. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號92494449
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)-1>xln(x+1
6、).
【解析】(1)f′(x)=aex+2-e,由題設(shè),可知曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率k=f′(0)=a+2-e=3-e,解得a=1,
所以f(x)=ex+(2-e)x,
所以x≥0時(shí),f′(x)=ex+2-e≥e0+2-e>0,
所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),
又f(0)=1>0,所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)沒有零點(diǎn).
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)-1>xln(x+1)等價(jià)于>ln(x+1),記g(x)=ex-(x+1),
則g′(x)=ex-1,當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0,
所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以g(x)>g
7、(0)=0,即ex>x+1,兩邊取自然對數(shù),得x>ln(x+1)(x>0),
所以要證明>ln(x+1)(x>0),只需證明≥x(x>0),
即證明當(dāng)x>0時(shí),ex-x2+(2-e)x-1≥0,①
設(shè)h(x)=ex-x2+(2-e)x-1,則h′(x)=ex-2x+2-e,
令φ(x)=ex-2x+2-e,
則φ′(x)=ex-2,當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí),φ′(x)<0;
當(dāng)x∈(ln2,+∞)時(shí),φ′(x)>0.
所以φ(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,又φ(0)=3-e>0,φ(1)=0,00;
當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),φ(x)<0,所以h(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
又h(0)=h(1)=0,所以h(x)=ex-x2+(2-e)x-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),取等號,即①式成立.
所以f(x)-1>xln(x+1).
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