人教版高中數(shù)學選修11：2.1 橢 圓 課時提升作業(yè)十 2.1.2.1 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 課時提升作業(yè)(十) 橢圓的簡單幾何性質 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.橢圓6x2+y2=6的長軸的端點坐標是　(　　) A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) C.(-6,0),(6,0) D.(0,-6),(0,6) 【解析】選D.橢圓6x2+y2=6可化為x2+y26=1, 故橢圓長軸的端點坐標為(0,-6),(0,6). 2.橢圓x22+y24=1的短軸長為　(　　) A.2 B.2 C.22 D.4 【解析】選C.由題意可知b2=2,所以b=2,所以2b=22

2、. 3.(2015·安陽高二檢測)已知橢圓x2a2+y2b2=1有兩個頂點在直線x+2y=2上,則此橢圓的焦點坐標是　(　　) A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±5,0) D.(0,±5) 【解析】選A.直線x+2y=2與坐標軸的交點為橢圓的頂點, 又因為橢圓的焦點在x軸上,所以a=2,b=1, 所以c=a2-b2=3. 所以橢圓的焦點坐標是(±3,0). 4.橢圓C1:x225+y29=1和橢圓C2:x29-k+y225-k=1(0<k<9)有　(　　) A.等長的長軸 B.相

3、等的焦距 C.相等的離心率 D.等長的短軸 【解題指南】依據(jù)橢圓的幾何性質求解,注意變量的取值范圍. 【解析】選B.依題意知橢圓C2的焦點在y軸上,對于橢圓C1:焦距=225-9=8,對于橢圓C2:焦距=2(25-k)-(9-k)=8,故選B. 5.(2014·大綱版全國卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F2,離 心率為33,過F2的直線l交C于A,B兩點,若△AF1B的周長為43,則C的方程 為　(　　) A.x23+y22=1 B.x23+y2=1 C.x212+y28=1 D.x212+y24

4、=1 【解題指南】利用橢圓的定義,將△AF1B的周長轉化為4a=43,確定出a的值,然后結合離心率確定c的值,從而求出橢圓方程. 【解析】選A.由橢圓的定義可知,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a, 又因為AF1+AF2+BF1+BF2=43, 即4a=43,解得a=3. 又ca=33, 則c=1,b2=a2-c2=2, 所以橢圓的方程為x23+y22=1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(2015·冀州高二檢測)橢圓x225+y216=1的半焦距是　　　　. 【解析】因為a2=25,b2=16, 所以c2=25-16=9,所以c=3. 答案

5、:3 7.以坐標軸為對稱軸,且過點(5,0),離心率e=255的橢圓的方程是　　　　　. 【解析】當焦點在x軸上時, 因為a=5,e=ca=255, 所以c=25,所以b2=a2-c2=25-20=5. 所以橢圓方程為x225+y25=1. 當焦點在y軸上時,因為b=5,e=ca=255, 所以a2-b2a=255,所以a2=125. 所以橢圓的方程為x225+y2125=1. 答案:x225+y25=1或x225+y2125=1 【誤區(qū)警示】本題常常因為忘記對焦點所在的位置討論,導致漏解. 8.(2015·濰坊高二檢測)若橢圓x2k+2+y24=1的離心率e=

6、13,則k的值等于　　　　　. 【解析】當焦點在x軸上時,a=k+2,b=2,c=k-2,e=ca=k-2k+2=13,解得k=52;當焦點在y軸上時,a=2,b=k+2,c=2-k,e=ca=2-k2=13,解得k=149.所以k=52或k=149. 答案:52或149 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=32,求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標. 【解析】橢圓方程可化為x2m+y2mm+3=1. 因為m-mm+3=m(m+2)m+3>0, 所以m>mm+3, 即a2=m,b2=mm

7、+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3. 由e=32得m+2m+3=32,所以m=1. 所以橢圓的標準方程為x2+y214=1. 所以a=1,b=12,c=32. 所以橢圓的長軸長為2,短軸長為1; 兩焦點分別為F1-32,0,F232,0; 四個頂點分別為 A1(-1,0),A2(1,0),B10,-12,B20,12. 10.(2015·安徽高考)設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1a>b>0,點O為坐標原點,點A的坐標為a,0,點B的坐標為0,b,點M在線段AB上,滿足BM=2MA,直線OM的斜率為510. (1)求E的離心率e. (2)設點

8、C的坐標為0,-b,N為線段AC的中點,點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為72,求E的方程. 【解題指南】(1)由kOM=510和橢圓的離心率公式求得. (2)根據(jù)點N關于直線AB的對稱點S的中點T在直線AB上且kNS·kAB=-1聯(lián)立方程組求得b的值. 【解析】(1)由題意可知點M的坐標是23a,13b,又kOM=510,所以b2a=510,進而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255. (2)直線AB的方程為x5b+yb=1,點N的坐標為52b,-12b, 設點N關于直線AB的對稱點S的坐標為x1,72,則NS的中點T的坐標為54b+x12,-14b+74,

9、又點T在直線AB上,且kNS·kAB=-1,從而有5b4+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5?b=3,所以a=35, 故橢圓的方程為x245+y29=1. 【補償訓練】已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓上位于第一象限內的一點,若AF2→·F1F2→=0,橢圓的離心率等于22,△AOF2的面積為22,求橢圓的方程. 【解析】因為AF2→·F1F2→=0, 所以AF2⊥F1F2, 因為橢圓的離心率e=ca=22, 則b2=12a2,設A(x,y)(x>0,y>

10、;0), 由AF2⊥F1F2知x=c, 所以A(c,y),代入橢圓方程得c2a2+y2b2=1, 所以y=b2a,因為△AOF2的面積為22, 所以S△AOF2=12x×y=22, 即12c·b2a=22, 因為ca=22,所以b2=8, 所以a2=2b2=16,故橢圓的方程為x216+y28=1. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率 是　(　　) A.45 B.35 C.25 D.15 【解題指南】由橢圓的幾何性質建立關于a,b,c的等

11、量關系,進而求其離心率. 【解析】選B.由題意知,2a+2c=2×2b,即a+c=2b. 所以a2+2ac+c2=4b2,又因為b2=a2-c2, 所以3a2-2ac-5c2=0, 所以5e2+2e-3=0 解得e=35或-1(舍去). 2.(2015·東莞高二檢測)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,以線段F1F2為邊作正 △MF1F2,若邊MF1的中點在此橢圓上,則此橢圓的離心率為　(　　) A.3-12 B.2-1 C.22 D.3-1 【解析】選D.如圖,△F1PF2為直角三角形, ∠PF2F1=30°, 又|F1F2|=2c

12、,所以|PF1|=c,|PF2|=3c, 所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+3)c, 所以ca=21+3=2(3-1)2=3-1. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.經過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點的橢圓方程為　　　　　. 【解析】橢圓9x2+4y2=36可化為x24+y29=1, 則焦點為(0,-5)與(0,5). 設所求橢圓的方程為x2λ+y2λ+5=1(λ>0). 又橢圓過點(2,-3), 所以4λ+9λ+5=1,解得λ=10或λ=-2(舍去). 所以所求橢圓的方程為x210+y215=1. 答案:x210+y215=1

13、4.(2015·浙江高考)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關于直線y=bcx的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是　　　　　. 【解題指南】利用已知條件求出點Q的坐標,從而求出a,b,c的關系. 【解析】設F(c,0)關于直線y=bcx的對稱點為Q(m,n),則有nm-c·bc=-1,n2=bc×m+c2,解得m=c3-cb2a2,n=2bc2a2, 所以Qc3-cb2a2,2bc2a2在橢圓上,即有(c3-cb2)2a6+(2bc2)2a4b2=1,解得a2=2c2,所以離心率e=ca=22. 答案:22 三、

14、解答題(每小題10分,共20分) 5.(2015·成都高二檢測)已知F是橢圓C的一個焦點,B是短軸的一個端點,線段BF的延長線交C于點D,且BF→=2FD→.求橢圓C的離心率. 【解題指南】由BF→=2FD→,建立參數(shù)a,c的等量關系,求其離心率便可. 【解析】不妨設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中F是左焦點,B是上頂點,則F(-c,0),B(0,b), 設D(x,y),所以(-c,-b)=2(x+c,y), 所以2(x+c)=-c,2y=-b, 解得x=-32c,y=-b2. 又因為點D在橢圓C上. 所以-32c2a2+-b22b2=

15、1. 整理得c2a2=13, 所以e=ca=33. 【補償訓練】設P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點,F1,F2是橢圓的焦點,且 ∠F1PF2=90°,求證:橢圓的離心率e≥22. 【證明】方法一:因為點P是橢圓上的點,F1,F2是焦點,由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a,?、? 在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2, 由①2,得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2, 所以|PF1|·|PF2|=2(a2-c2),　② 由①和②,知|PF1|,|PF

16、2|是方程z2-2az+2(a2-c2)=0的兩根, 且兩根均在(a-c,a+c)之間. 令f(z)=z2-2az+2(a2-c2),則Δ≥0,f(a-c)>0,f(a+c)>0,可得ca2≥12,即e≥22. 方法二:由題意知c≥b,所以c2≥b2=a2-c2, 所以c2a2≥12,故e≥22. 6.(2015·潮州高二檢測)已知橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,橢圓左、右頂點分別為A,B,且A到橢圓兩焦點的距離之和為4.設P為橢圓上不同于A,B的任一點,作PQ⊥x軸,Q為垂足.M為線段PQ的中點,直線AM交直線l:x=b于

17、點C,D為線段BC的中點,連接OD(如圖). (1)求橢圓的方程. (2)證明:△OMD是直角三角形. 【解析】(1)依題意,a2-b2a=32,2a=4?a=2,b=1, 所以橢圓的方程為y24+x2=1. (2)證明如下: 依題,A(-1,0),B(1,0),直線l:x=1. 設點P(x0,y0),則點Mx0,y02,且4x02+y02=4, 直線AM:y=y02(x0+1)(x+1), 令x=1,得C1,y0x0+1, 所以D1,y02(x0+1), 所以OM→=x0,y02,DM→=x0-1,y02-y02(x0+1)=x0-1,x0y02(x0+1), 所以OM→·DM→=x0,y02·x0-1,x0y02(x0+1) =x0(x0-1)+x0y024(x0+1)=x0(4x02-4+y02)4(x0+1), 因為4x02+y02=4, 所以OM→·DM→=0,所以∠OMD=90°, 故△OMD是直角三角形. 關閉Word文檔返回原板塊