高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩條直線的位置關系學案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　兩條直線的位置關系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離． (對應學生用書第112頁) [基礎知識填充] 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·

2、;k2＝－1. ②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解．若方程組有唯一解，則兩直線相交；若方程組無解，則兩條直線平行；若方程組有無數(shù)個解，則兩條直線重合． 3．距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離|P1P2| |P1P2|＝ 點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d

3、＝ [知識拓展] 1．直線系方程 (1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． 2．兩直線平行或重合的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0. 3．兩直線垂直的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“

4、×”) (1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) (5)若點P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點，則P，Q兩點的最小距離就是兩條平行線的距離．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)&#

5、215;　(4)√　(5)√ 2．(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　) A．　　　　 B．2－　　　　 C．－1　　　　 D．＋1 C　[由題意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.] 3．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過定點________． (2，－2)　[直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由 解得x＝2，y＝－2， 所以直線l恒過定點(2，－2)．] 4．已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的

6、值為________. 【導學號：00090269】 2　[由＝－2，得a＝2.] 5．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________． 2　[∵＝≠，∴m＝8， 直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0， ∴兩平行線之間的距離d＝＝2.] (對應學生用書第113頁) 兩條直線的平行與垂直 　(1)設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)

7、(20xx·濰坊模擬)過點(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 (1)A　(2)A　[(1)當a＝1時，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件． (2)直線x－2y＋3＝0的斜率為，從而所求直線的斜率為－2. 又直線過點(－1,3)， 所以所求直線的方程為y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.] [規(guī)律方法]　1.判斷直線間的位

8、置關系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件． 2．在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論，可避免討論．另外當A2B2C2≠0時，比例式與，的關系容易記住，在解答選擇、填空題時，有時比較方便． [變式訓練1]　已知過點A(－2，m)和點B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為(　　) A．－10　　　　 B．－2　　　　 C．0　　　　 D．8 A　[

9、∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8. 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1， 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.] 兩直線的交點與距離問題 　(1)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． (2)過點P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線段AB以P為中點，求此直線l的方程． (1)x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|

10、－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 法二：當AB∥l時，有k＝kAB＝－，直線l的方程為 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當l過AB中點時，AB的中點為(－1,4)， ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.] (2)設直線l與l1的交點為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點B(6－x0，－y0)， 2分 由題意知解得 6分 即A，從而直線l的斜率k＝＝8， 10分 直線l的方程為

11、y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程；也可利用過交點的直線系方程，再求參數(shù)． 2．利用距離公式應注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． [變式訓練2]　(1)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________. 【導學號：00090270】 (2)(20xx·石家莊模擬

12、)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為________． (1)　(2)　[法一：由方程組解得 (若2k＋1＝0，即k＝－，則兩直線平行) ∴交點坐標為. 又∵交點位于第一象限， ∴解得－＜k＜. 法二：如圖，已知直線y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點A(4,0)，B(0,2)． 而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過定點P(－2,1)，斜率為k的動直線． ∵兩直線的交點在第一象限， ∴兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)， ∴動直線的斜率k需滿足kPA＜k＜

13、kPB． ∵kPA＝－，kPB＝. ∴－＜k＜. (2)由a(a－2)＝3得a＝3或a＝－1，經(jīng)檢驗a＝3時兩直線重合，因此a＝－1，此時l1的方程為x－y＋6＝0，l2的方程為x－y＋＝0，兩條直線間的距離為d＝＝.] 對稱問題 　(1)平面直角坐標系中直線y＝2x＋1關于點(1,1)對稱的直線l方程是________． (2)光線從A(－4，－2)點射出，到直線y＝x上的B點后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D(－1,6)，則BC所在的直線方程是________． (1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在

14、直線l上任取一點P′(x，y)，其關于點(1,1)的對稱點P(2－x,2－y)必在直線y＝2x＋1上，∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0. 因此，直線l的方程為y＝2x－3. 法二：由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設l的方程為2x－y＋c＝0(c≠1)，則點(1,1)到兩平行線的距離相等， ∴＝，解得c＝－3. 因此所求直線l的方程為y＝2x－3. 法三：在直線y＝2x＋1上任取兩個點A(0,1)，B(1,3)，則點A關于點(1,1)對稱的點M(2,1)，點B關于點(1,1)對稱的點N(1，－1)．由兩點式求出對稱直線MN的方程為＝，即y＝2x－3. (2

15、)作出草圖，如圖所示，設A關于直線y＝x的對稱點為A′，D關于y軸的對稱點為D′，則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)． 由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點B與C． 故BC所在的直線方程為＝，即10x－3y＋8＝0.] [母題探究1]　在題(1)中“將結論”改為“求點A(1,1)關于直線y＝2x＋1的對稱點”，則結果如何？ [解]　設點A(1,1)關于直線y＝2x＋1的對稱點為A′(a，b)， 2分 則AA′的中點為， 4分 所以解得 10分 故點A(1,1)關于直線y＝2x＋1的對稱點為. 12分 [母題探究2]　在題(1)中“關于點(1,1)

16、對稱”改為“關于直線x－y＝0對稱”，則結果如何？ [解]　在直線y＝2x＋1上任取兩個點A(0,1)，B(1,3)，則點A關于直線x－y＝0的對稱點為M(1,0)，點B關于直線x－y＝0的對稱點為N(3,1)， 6分 根據(jù)兩點式，得所求直線的方程為＝，即x－2y－1＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.第(1)題求解的關鍵是利用中點坐標公式，將直線關于點的中心對稱轉化為點關于點的對稱． 2．解決軸對稱問題，一般是轉化為求對稱點問題，關鍵是要抓住兩點，一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是以已知點與對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上． [變式訓練3]　(1)(20xx

17、3;廣州模擬)直線x－2y＋1＝0關于直線x＋y－2＝0對稱的直線方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　　　　 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 (2)直線l1：3x－y＋1＝0與直線l2：3x－y＋7＝0關于直線l對稱，則直線l的方程為________． 【導學號：00090271】 (1)B　(2)3x－y＋4＝0　[(1)由題意得直線x－2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0的交點坐標為(1,1)．在直線x－2y＋1＝0上取點A(－1,0)， 設A點關于直線x＋y－2＝0的對稱點為B(m，n)， 則解得 故所求直線的方程為＝，即2x－y－1＝0. (2)由題意知l1∥l2，設直線l的方程為3x－y＋m＝0， 則＝，即|m－1|＝|m－7| 解得m＝4，故直線l的方程為3x－y＋4＝0]