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1、
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高考大題專攻練
9.解析幾何(A組)
大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)!
1.如圖,設(shè)點(diǎn)A,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓+=1的左頂點(diǎn)和左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)A作斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)B,連接BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用k表示).
(2)若F1C⊥AB,求k的值.
【解析】(1)設(shè)點(diǎn)B(xB,yB),直線AB的方程為y=k(x+2),
聯(lián)立+=1得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
所
2、以-2xB=,即xB=,
所以yB=k(xB+2)=,
即B.
(2)易知F2(1,0),=,=-,
所以直線BF2,CF1的方程分別為y=(x-1),
y=-(x+1),
由解得C(8k2-1,-8k),
代入+=1,
得192k4+208k2-9=0,即(24k2-1)(8k2+9)=0,
得k2=,
所以k=.
2.已知?jiǎng)訄AP與圓E:(x+)2+y2=25,圓F:(x-)2+y2=1都內(nèi)切,記圓心P的軌跡為曲線C.
世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)92494445
(1)求曲線C的方程.
(2)直線l與曲線C交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),若|OM|=1,求△AOB面積的最
3、大值.
【解題導(dǎo)引】(1)確定|PE|+|PF|=4>2,可得P的軌跡是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓,且a=2,c=,b=1,即可求C的方程.
(2)將直線方程代入橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可求得M點(diǎn)坐標(biāo),由|OM|=1,可得n2=,由三角形面積公式,結(jié)合換元、配方法即可求得△AOB面積的最大值.
【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,由已知|PE|=5-r,|PF|=r-1,
則有|PE|+|PF|=4>2,
所以P的軌跡是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓,且a=2,c=,b=1
所以曲線C的方程為+y2=1.
(2)設(shè)直線l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢
4、圓方程,
整理得:(4+m2)y2+2mny+n2-4=0①
y1+y2=-,y1y2=,x1+x2=,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:M
因?yàn)閨OM|=1,所以n2=②,
設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為D(n,0),
則△AOB面積S2=n2(y1-y2)2=,
設(shè)t=m2+16(t≥16),
則S2=48,當(dāng)t=24時(shí),即m=2時(shí),
△AOB的面積取得最大值1.
【加固訓(xùn)練】(20xx武漢二模)已知橢圓C:+y2=1的左焦點(diǎn)為F,不垂直于x軸且不過F點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)如果直線FA,F(xiàn)B的斜率之和為0,則動(dòng)直線l是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)?若過一定點(diǎn),則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)
5、;若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
(2)如果FA⊥FB,原點(diǎn)到直線l的距離為d,求d的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+b,
聯(lián)立
整理得(2k2+1)x2+4kbx+2(b2-1)=0,x1+x2=,x1x2=,
Δ=8(2k2+1-b2)>0 ?、伲?
kFA+kFB=+
=.
所以(kx2+b)(x1+1)+(kx1+b)(x2+1)
=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=2k-(k+b)+2b=0,
所以b=2k,直線AB的方程為:y=kx+2k,
則動(dòng)直線l一定經(jīng)過一定點(diǎn)(-2,0).
(2)由(1)得=(x1+1,y1)(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+(kb+1)(x1+x2)+b2+1
=(k2+1)-(kb+1)+b2+1=0.
所以3b2-4kb-1=0,k=代入①得①恒成立.
又d==
=<,
所以d的取值范圍.
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