高三理科數(shù)學(xué) 一輪總復(fù)習(xí)第一章　集合與常用邏輯用語教師用書

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1、 第一章　集合與常用邏輯用語 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 1.集合的含義與表示 (1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系； (2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題. 2.集合間的基本關(guān)系 (1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集； (2)在具體情境中，了解全集與空集的含義. 3.集合的基本運(yùn)算 (1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集； (2)理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集； (3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算. 4

2、.命題及其關(guān)系 (1)理解命題的概念； (2)了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題，否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系； (3)理解必要條件，充分條件與充要條件的意義. 5.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義. 6.全稱量詞與存在量詞 (1)理解全稱量詞與存在量詞的意義； (2)能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定. 本章重點(diǎn)： 1.集合的含義與表示、集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算； 2.命題的必要條件、充分條件與充要條件，對所給命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 本章難點(diǎn)： 1.自然語言、圖形語言、集合語言之間相互轉(zhuǎn)換； 2.充分條件、必要條件的

3、判斷； 3.對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定的理解. 1.考查集合本身的基礎(chǔ)知識，如集合的概念，集合間的關(guān)系判斷和運(yùn)算等； 2.將集合知識與其他知識點(diǎn)綜合，考查集合語言與集合思想的運(yùn)用； 3.考查命題的必要條件、充分條件與充要條件，要求考生會對所給命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化； 4.要求考生理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.  知識網(wǎng)絡(luò) 1.1　集合及其運(yùn)算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 典例精析 題型一　集合中元素的性質(zhì) 【例1】設(shè)集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求實(shí)數(shù)a的值. 【

4、解析】令a＋1＝－3?a＝－4，檢驗(yàn)合格； 令a－3＝－3?a＝0，此時a＋1＝a2＋1，舍去； 令2a－1＝－3?a＝－1，檢驗(yàn)合格； 而a2＋1≠－3；故所求a的值為－1或－4. 【點(diǎn)撥】此題重在考查元素的確定性和互異性.首先確定－3是集合A的元素，但A中四個元素全是未知的，所以需要討論；而當(dāng)每一種情況求出a的值以后，又需要由元素的互異性檢驗(yàn)a是否符合要求. 【變式訓(xùn)練1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值. 【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}， 得① 或②　顯然①無解；由②得a＝－1，b＝1. 題型二　集合的基本運(yùn)算 【例2】已

5、知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a. 【解析】由已知得A＝{3，5}.當(dāng)a＝0時，B＝??A；當(dāng)a≠0時，B＝{}. 要使B?A，則＝3或＝5，即a＝或. 綜上，a＝0或或. 【點(diǎn)撥】對方程ax＝1，兩邊除以x的系數(shù)a，能不能除，導(dǎo)致B是否為空集，是本題分類討論的根源. 【變式訓(xùn)練2】(20xx江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，則A∩B等于(　　) A.{x|－1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D. 【解析】選C.A＝[－1,1]，B＝[0

6、,＋∞)，所以A∩B＝[0,1]. 題型三　集合語言的運(yùn)用 【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A?B. (1)對于區(qū)間[a，b]，定義此區(qū)間的“長度”為b－a，若A的區(qū)間“長度”為3，試求t的值； (2)某個函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，試確定t的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)锳的區(qū)間“長度”為3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32. (2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的區(qū)間“長度”為10. 設(shè)A的區(qū)間“長度”為y，因?yàn)閒(x)∈A

7、的概率不小于0.6， 所以≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256. 又A?B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范圍為[256,4 096](或[28, 212]). 【變式訓(xùn)練3】設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，則圖中陰影部分所表示的集合是(　　) A.{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤2} C.{x|1＜x≤2} D.{x|x＜2} 【解析】選C. 化簡得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故圖中陰影部分為?RM∩N＝{x|1＜x≤2}. 總結(jié)提高 1.元素與集合及集

8、合與集合之間的關(guān)系 對于符號∈，?和?，?的使用，實(shí)質(zhì)上就是準(zhǔn)確把握兩者之間是元素與集合，還是集合與集合的關(guān)系. 2.“數(shù)形結(jié)合”思想在集合運(yùn)算中的運(yùn)用 認(rèn)清集合的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，是解決集合運(yùn)算中的重要數(shù)學(xué)思想. (1)要牢固掌握兩個重要工具：韋恩圖和數(shù)軸，連續(xù)取值的數(shù)集運(yùn)算，一般借助數(shù)軸處理，而列舉法表示的有限集合則側(cè)重于用韋恩圖處理. (2)學(xué)會將集合語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)、幾何語言，借助函數(shù)圖象及方程的曲線將問題形象化、直觀化，以便于問題的解決. 3.處理集合之間的關(guān)系時，是一個不可忽視、但又容易遺漏的內(nèi)容，如A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等條件中，集合A可以是空

9、集，也可以是非空集合，通常必須分類討論. 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 典例精析 題型一　四種命題的寫法及真假判斷 【例1】寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假. (1)若m，n都是奇數(shù)，則m＋n是奇數(shù)； (2)若x＋y＝5，則x＝3且y＝2. 【解析】(1)逆命題：若m＋n是奇數(shù)，則m，n都是奇數(shù)，假命題； 否命題：若m，n不都是奇數(shù)，則m＋n不是奇數(shù)，假命題； 逆否命題：若m＋n不是奇數(shù)，則m，n不都是奇數(shù)，假命題. (2)逆命題：若x＝3且y＝2，則x＋y＝5，真命題； 否命題：若x＋y≠5，則x≠3或y≠2，真命題； 逆否

10、命題：若x≠3或y≠2，則x＋y≠5，假命題. 【點(diǎn)撥】寫命題的四種形式，關(guān)鍵是找出命題的條件與結(jié)論，根據(jù)四種命題結(jié)構(gòu)寫出所求命題.判斷四種命題真假，要熟悉四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性. 【變式訓(xùn)練1】已知命題“若p，則q”為真，則下列命題中一定為真的是(　　) A.若p，則q B.若q，則p C.若q，則p D.若q，則p 【解析】選 B. 題型二　充分必要條件探究 【例2】設(shè)m＞0，且為常數(shù)，已知條件p：|x－2|＜m，條件q：|x2－4|＜1，若p是q的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】設(shè)集合A＝{x||x－2|＜m}＝

11、{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|＜x＜或－＜x＜－}. 由題設(shè)有：q?p且p不能推出q，所以p?q且q不能推出p，所以A?B. 因?yàn)閙＞0，所以(2－m，2＋m)?(，)， 故由2＋m≤且2－m≥?0＜m≤－2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，－2]. 【點(diǎn)撥】正確化簡條件p和q，然后將充分條件、必要條件問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的包含問題，借助數(shù)軸這個處理集合問題的有力工具使問題得以解決. 【變式訓(xùn)練2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，則A∩B＝?的充要條件是(　　) A.0≤a≤2 B.－2＜a＜

12、2 C.0＜a≤2 D.0＜a＜2 【解析】選A.因?yàn)锳＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝?，所以如圖，由畫出的數(shù)軸可知， 即0≤a≤2. 題型三　充分必要條件的證明 【例3】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都不為零，求證：對任意n∈N*且n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要條件是{an}為等差數(shù)列. 【證明】(1)(充分性)若{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則 ＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(－)＝＝. (2)(必要性)若＋＋…＋＝， 則＋＋…＋＋＝， 兩式相減得＝－ ?a1＝nan－(n－1)an＋1.① 于是

13、有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，② 由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2). 又由＋＝?a3－a2＝a2－a1， 所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}為等差數(shù)列. 【點(diǎn)撥】按照充分必要條件的概念，分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行探求. 【變式訓(xùn)練3】設(shè)0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選B.若xsin x＜1，因?yàn)閤∈(0，)，所以xsin x＞xsin

14、2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.若xsin2x＜1，由于函數(shù)f(x)＝xsin2x在(0，)上單調(diào)遞增，且sin2＝＞1，所以存在x0∈(0，)使得x0sin2x0＝1.又x0sin x0＞x0sin2x0＝1，即x0sin x0＞1，所以存在x0′∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sin x0′≥1，故充分性不成立. 總結(jié)提高 1.四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上. 2.由于互為逆否命題的兩個命題是等價(jià)的，所以我們在證明一個命題的真假時，可以通過其逆否命題的證明來達(dá)到目的.適合這種處理方法的題型有： ①原命題含有否定詞“不”、“不

15、能”、“不是”等；②原命題含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命題分類復(fù)雜，而逆否命題分類簡單；④原命題化簡復(fù)雜，而逆否命題化簡簡單. 3.p是q的充分條件，即p?q，相當(dāng)于分別滿足條件p和q的兩個集合P與Q之間有包含關(guān)系：P?Q，即PQ或P＝Q，必要條件正好相反.而充要條件p?q就相當(dāng)于P＝Q. 4.以下四種說法表達(dá)的意義是相同的：①命題“若p，則q”為真；②p?q；③p是q的充分條件；④q是p的必要條件. 1.3　簡易邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 典例精析 題型一　全稱命題和特稱命題的真假判斷 【例1】判斷下列命題的真假. (1)?x∈R，都有x

16、2－x＋1＞； (2)?α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)?x，y∈N，都有x－y∈N； (4)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 【解析】(1)真命題，因?yàn)閤2－x＋1＝(x－)2＋≥＞. (2)真命題，例如α＝，β＝，符合題意. (3)假命題，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4?N. (4)真命題，例如x0＝0，y0＝3，符合題意. 【點(diǎn)撥】全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個元素都成立，若是假命題，舉反例即可；特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個元素使得命題成立. 【變式訓(xùn)練1】已知命題p：?x∈R，使tan x＝1，命題q

17、：?x∈R，x2＞0.則下面結(jié)論正確的是(　　) A.命題“p∧q”是真命題 B.命題“p∧q”是假命題 C.命題“p∨q”是真命題 D.命題“p∧q”是假命題 【解析】選D.先判斷命題p和q的真假，再逐個判斷.容易知命題p是真命題，如x＝，p是假命題；因?yàn)楫?dāng)x＝0時，x2＝0，所以命題q是假命題，q是真命題.所以“p∧q”是假命題，A錯誤；“p∧q”是真命題，B錯誤；“p∨q”是假命題，C錯誤；“p∧q”是假命題，D正確. 題型二　含有一個量詞的命題的否定 【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假. (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方

18、形都是矩形； (3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一個實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0. 【解析】(1) p：?x∈R，x2－x＋＜0，是假命題. (2) q：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題. (3) r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命題. (4) s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命題. 【點(diǎn)撥】含有一個量詞的命題否定中，全稱命題的否定是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可. 【變式訓(xùn)練2】已知命題p：?x∈(1，＋∞)，log3x＞0，則p為　　　　　. 【解析】?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0. 題型三

19、　命題的真假運(yùn)用 【例3】若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“對任意的x∈R，r(x)為假命題”且“對任意的x∈R，s(x)為真命題”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】因?yàn)橛蒻＜sin x＋cos x＝sin(x＋)恒成立，得m＜－； 而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2. 依題意，r(x)為假命題且s(x)為真命題，所以有m≥－且－2＜m＜2， 故所求m的取值范圍為－≤m＜2. 【點(diǎn)撥】先將滿足命題p、q的m的取值集合A、B分別求出，然后由r(x)為假命題(取A的補(bǔ)集)，s(x)為真命題同時成立(取交集)即得.

20、【變式訓(xùn)練3】設(shè)M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合：在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函數(shù)：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx，其中屬于集合M的函數(shù)是　　　(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號). 【解析】②④.對于①，方程＝＋1，顯然無實(shí)數(shù)解； 對于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1； 對于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，顯然也無實(shí)數(shù)解； 對于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π， 即cos πx＝，顯然存在x使等式成立.故填②④. 總結(jié)提高 1.同一個全稱命題，特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活選擇. 2.命題的否定，一定要注意與否命題的區(qū)別：全稱命題的否定，先要將它變成特稱命題，然后將結(jié)論加以否定；反過來，對特稱命題的否定，先將它變成全稱命題，然后對結(jié)論加以否定.而命題的否命題，則是將原命題中的條件否定當(dāng)條件，結(jié)論否定當(dāng)結(jié)論構(gòu)成一個新的，即否命題.