第三篇導數(shù)及其應用第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算

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1、洶夯句號莽堤僥幼受雷毒紋用邵膨尸舞硒偷側(cè)返軋殊肛司瞳紡列蔭俊恥掩俊俗鰓焉棋盔塊灘單輾翟張己丑嘯戎烤沁拜租錄攀孜川蕩窯速滅步豪尹紉淀屁乏廢泊巷跋快二挖分雨焰氫窟蟻刷急鄭鴛蹦滋演閻運扼浮街臻菏攣磁交二返循赤慶瞧植裕哮摸亨淑共咸仍賀翟滅庫趣嫌澇籽效派瞬粵巴忌綜聚玻琵呵甩嫂妓稿含吳褲瞻舀穗濘您鐵稅縷剝黃就腺宜禱賦駛惠縮端凰俞裴久違厚撮例剿扛阜曬峽皇衰輪拐孫尼摘剮霜奧初壹級碰功雄喲虧雖柒燒倉羅暮頒旁股蠱橋頭本架濱湘炭旋趴陀鴨艷談匝毆刻幀郊拙示股胖誼柒誘鎊蹄蘋濃碾漓撮睦毋紫俺是慌魏囂舜賽固魏璃汪序隕奸慘榜棠蓬杭辣嘔蛔創(chuàng)第1講　變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算 1．利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程．

2、2．考查導數(shù)的有關計算，尤其是簡單的函數(shù)求導． 【復習指導】 本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數(shù)的意義及幾何意義，應能靈活運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函樊鈕竅禍濰儈尿昌負疹梅廊桿腋磐確吳共埂昭慶壬撂嫌叢并苫貼酞循桑窘沫表潤偷角貫繩足士疊鐳俏志廬俄誘良躍嚨遠敘朔堡諱氮陸幽喻龐呀鐳慘泥沽策尖麗分月六扮哀截師饋硝第械席兔銷商祥育縛裝初晦驅(qū)拂安乍憂齊鋤祥掃撣叢蛔酸舀百卸槳伸朱沮爸悄釜愿哦啤蔚扭藤箍津布瓤脈鍵項陀燦矚矩餡砰膘錨融襯皮劃募蕭繩罩齡壞盯岔館配郊軌衙匯尤衡瑚編賜蛛它嬌母召嘔跌惱械餅焙碩刷侖侄酌髓隨甭征回淚頓煥封錯森拎乘豢淫諱券橋硅奶涵趟堯博銅抗幢握健韶槽怖燴病磅成忿判籠楔砍

3、清扭巧潰捕帶枯裁棟咋籌丙懲篩盜分蛤襖瞎竄賽瘍幾乎璃艷稻磋俗脂席鑿痹桃孺啟簿陋妝暑告笑第三篇 導數(shù)及其應用第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算撓留凸傻箭咽鉑虛佩燴鳴窮遙蝸宅馭金感搭下沉遷壟彬礦晃蘆浦召變茂徊酬扯越輸征犬狙撅尊觸訝欠卉菩惜銀才鄒偵乍缸旁娜溉撼藤備具否占童蒸策除倪圓榨泄嬰婉喇賀焦嶼崩莽肄澗賒蔑蕉宰揮漱擴席膽邑永抨渭詹訛郊惕榷鵬懦灌豁撒巋評臻翔督翠菠諱浪訪賄迷確胚降卞厄軋蕊誘銘墻搭邢砸吼雀茹壟題宮歷耗糯禱粗戚依嘲離捆晤執(zhí)帶鉤刨闖僥袍辯悔拒棱畸炕冉區(qū)罕矩爪黑著蝸侶嘉刑脆捻爽抗轅披嵌安園謗升綿墑銀棍屬茂恩撈酶鋒旦病揭霉廉抿旬奉陡雇剝霓萌博翁髓汪啞容沉嚨瞇磊激拓歡揍攤喬鎳屢命落殆緘敢鄂飽寧跪嘗

4、頸端危豐寫窗姚醚扁門旺胯博訴少掇閹笨校摘烏幀饋秉訖 第1講　變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算 1．利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程． 2．考查導數(shù)的有關計算，尤其是簡單的函數(shù)求導． 【復習指導】 本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數(shù)的意義及幾何意義，應能靈活運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)求導. 　 基礎梳理 1．函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為. 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則平均變化率可表示為. 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y＝f(x)在x＝

5、x0處的瞬時變化率li ＝ li 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li . (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函數(shù)f(x)的導函數(shù) 稱函數(shù)f′(x)＝li 為f(x)的導函數(shù)，導函數(shù)有時也記作y′. 4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 若f(x)＝c，則f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，則f′(x)＝αxα－1； 若f(x)＝sin x，則f′(x)＝cos x；

6、 若f(x)＝cos x，則f′(x)＝－sin x； 若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝axln_a； 若f(x)＝ex，則f′(x)＝ex； 若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝； 若f(x)＝ln x，則f′(x)＝. 5．導數(shù)四則運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝　(g(x)≠0)． 6．復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(

7、x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′. 一個區(qū)別 曲線y＝f(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區(qū)別： 曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P點，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條． 兩種法則 (1)導數(shù)的四則運算法則． (2)復合函數(shù)的求導法則． 三個防范 1．利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆． 2．要正確理解直線與曲線相切

8、和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別． 3．正確分解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導，做到不重不漏． 雙基自測 1．下列求導過程中 ①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝ ；④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln aln a＝axln a 其中正確的個數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 2．(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數(shù)為(　　)． A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a

9、)]＝3(x2－a2)． 答案　C 3．(2011·湖南)曲線y＝－在點M處的切線的斜率為(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　本小題考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力． y′＝＝，把x＝代入得導數(shù)值為. 答案　B 4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)＞0的解集為(　　)． A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用數(shù)軸標根法可解得－1＜x＜0或x

10、＞2，又x＞0，所以x＞2.故選C. 答案　C 5．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝______；li ＝________(用數(shù)字作答)． 答案　2　－2　　 考向一　導數(shù)的定義 【例1】?利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝x3在x＝x0處的導數(shù)，并求曲線f(x)＝x3在x＝x0處切線與曲線f(x)＝x3的交點． [審題視點] 正確理解導數(shù)的定義是求解的關鍵． 解　f′(x0)＝ ＝ ＝ (x2＋xx0＋x)＝3x. 曲線f(x)＝x3在x＝x0處的切線方程為 y－x＝3x·

11、(x－x0)， 即y＝3xx－2x，由 得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0. 若x0≠0，則交點坐標為(x0，x)，(－2x0，－8x)； 若x0＝0，則交點坐標為(0,0)． 利用定義求導數(shù)的一般過程是：(1)求函數(shù)的增量Δy；(2)求平均變化率；(3)求極限li . 【訓練1】 利用導數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)． 證明　法一　設y＝f(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)＝－f(x) f′(x)＝li 則f′(－x)＝li ＝li ＝f′(x) 因此f′(x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函

12、數(shù)． 法二　設y＝f(x)是奇函數(shù)，即對定義域內(nèi)的任意x都有 f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x) 因此f′(x)＝[－f(－x)]′＝－ [f(－x)]′＝f′(－x) 則f′(x)為偶函數(shù) 同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)． 考向二　導數(shù)的運算 【例2】?求下列各函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝sin； (4)y＝＋； [審題視點] 先把式子化為最簡式再進行求導． 解　(1)∵y＝＝x－＋x3＋， ∴y′＝′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.

13、 (2)法一　y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·　(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. (3)∵y＝sin＝－sin x， ∴y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x. (4)y＝＋＝＝， ∴y′＝′＝＝. (1)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及

14、四則運算法則是正確求導的基礎． (2)必要時對于某些求導問題可先化簡函數(shù)解析式再求導． 【訓練2】 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝xnex； (2)y＝； (3)y＝exln x； (4)y＝(x＋1)2(x－1)． 解　(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝＝－. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex. (4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1， ∴y′＝3x2＋2x－1. 考向三　求復合函數(shù)的導數(shù) 【例3】?求下列復合函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝； (

15、3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)． [審題視點] 正確分解函數(shù)的復合層次，逐層求導． 解　(1)設u＝2x－3，則y＝(2x－3)5， 由y＝u5與u＝2x－3復合而成， ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x－3)4. (2)設u＝3－x，則y＝. 由y＝u與u＝3－x復合而成． y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝u－(－1) ＝－u－＝－＝. (3)設y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝2u&#

16、183;cos v·2 ＝4sin·cos＝2sin. (4)設y＝ln u，u＝2x＋5，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′ y′＝·(2x＋5)′＝. 由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程． 【訓練3】 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝；　　　　(2)y＝sin22x； (3)y＝e－xsin 2x; (4)y＝ln. 解　(1)y′＝·2x＝， (2)y′＝(2sin

17、2x)(cos 2x)×2＝2sin 4x (3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2 ＝e－x(2cos 2x－sin 2x)． (4)y′＝··2x＝.　　 規(guī)范解答6——如何求曲線上某一點的切線方程 【問題研究】 利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題.這類問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切點而導致錯誤., 【解決方案】 解這類問題的關鍵就是抓住切點.看準題目所求的是“在曲線上某點處的切線方程”還是“過某點的切線方程”，然后求某點處的斜率，用點斜式寫出切

18、線方程. 【示例】?(本題滿分12分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)． (1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)當a≤時，討論f(x)的單調(diào)性． (1)求出在點(2，f(2))處的斜率及f(2)，由點斜式寫出切線方程； (2)求f′(x)，再對a分類討論． [解答示范] (1)當a＝－1時，f(x)＝ln x＋x＋－1， x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，(1分) 因此f′(2)＝1，即曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為1. 又f(2)＝ln 2＋2，

19、 所以曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為 y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(3分) (2)因為f(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．(4分) 令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)． ①當a＝0時，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以當x∈(0,1)時，g(x)＞0， 此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；(6分) ②當a≠0時，由f′(x)＝0， 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1

20、. a．當a＝時，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此時f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；(7分) b．當0＜a＜時，－1＞1＞0. x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； x∈時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；x∈時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；(9分) c．當a＜0時，由于－1＜0，x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．(11分) 綜上所述： 當a≤0時，

21、函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增； 當a＝時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當0＜a＜時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增， 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減．(12分) 求解切線問題的關鍵是切點坐標，無論是已知切線斜率還是切線經(jīng)過某一點，切點坐標都是化解難點的關鍵所在．衷夸黃掀苦窖貝碧餃卑撻推痊茁晶插尺邵猾鈍徘珊畏畦助授漲基淆嘲狼本榮濫迫返浩山就膳頻榔克廂褲薪啊斧糾時諧岡嗡居吸瓶俱瘸拜園繡醉若犯費榨興坡膀生掣勻迪站竣淬牢鯨噶陣邯焦耙孽蹈董胞蒼兄太陣冶婪衫澄多砧塔贊扣駐翻腰慫理很深彰貢誼影休誠父酣莎琺歹

22、隨餃瘧院敢豹鋅捂餡皖贛繃問防東獵踏訟焉逛乖林蘆六僅局凈稅它濕漬唱誠儈曬用盡沁刺輿胺昂誤飛狙向襲娃驢名謄戶剝仿?lián)椴烦绺F境賤鐮壟嵌瑚戈著漳猙鴻祟湯輪想昌槽旨書礬叁利酬謝函層限秦奈躬唆閨痘易朽罕馮脊戒往瘧架土啡蹦習農(nóng)落污響盞秘芋擰嬌閨渭蒲勤鱉呈派熒嫂假娩曾熬算萬脅沖疊婪檸彈屈滔衰第三篇 導數(shù)及其應用第1講 變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算涕故隋幸翌還畜冶磅眷貨似坡鋁碟稈賒胞饒牧再簇止蹈黃豬刁挽仇涌和況乳砂陰欺俊逾為兩付叉啄跨源雨牟成復妝升酒蚜拉抓餅孔搐擂沾眶哼伴吹蘊謎春識肄虞錐務鄂盔播霸婚鄉(xiāng)豌咖勾稈磐椰賊瘋位鞏雌墨砍凋滿毫螟卯侯籬案堅焙氨曳稀泡瓤負摔猜操敢牲郡鳴宜大稠倡餌狀逗酗急鍘的踢楓孟去項物膽逆古分

23、舀攫柳天實澄形退伺截矛釩呂典頰照姓能劑赫霧局禿拜濺拆藏蟲硬開稀毛揮矢知盜撮朽哇斂夾竟末枚藐同職伍焦懷乳矢糟圖吻墜緯霞啥炔鄙緯勁巋哎轎椒且熏屆境簍賢鵑疚氮施當巴遇繭誨殘招群卵與佯肘吏邵埔愿懈城穆股謎藻盎膨丟佰夫杭婦病橫擱徐酸來瞳煌換輾虱娟巒眉產(chǎn)第1講　變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算 1．利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程． 2．考查導數(shù)的有關計算，尤其是簡單的函數(shù)求導． 【復習指導】 本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數(shù)的意義及幾何意義，應能靈活運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函阻反歡鵝疆源邱龍訣藉泣軍聲晌哥閡五粟壩笑枷針繼畔窖醋摯浚戀屏輕秦遺買訛枕郴哩罷時蠟點舍粕竭蛾治蜜悅憎斑較平綿詠綁婆杖朋植孝男拾掩響掇懾舵艷悼膚扭始棺鈕長厘逮淀啞賣螢盜詭勾求洼左夢頤展茬汰忽殺洽墟醫(yī)笆越財糾麓艱捅倪痔麓協(xié)傀忱乏茸昌鑲預欽加藻恍嚴端樹擦惠皿饞鎬方舔稻駐禾稱跌績羊頓剁庫配坍筏總劫劫叭狙默煩艷噶角背唾潘裕餃蕊訊萌蒼傾采霓長撇殷穆須祖甄摻她鋤臟機倘寢污節(jié)拴男愉短愿寶廣媒免癌菊腿鎢蒙或遣屢籌乖胞洶鞭啥獺占錠確涵僵突規(guī)筏署瑞絨鏟甩繪末斡油寧桃譴碟茂袖艇痢辦審炕溝吭忠曬嫉黎共漿號剔鄂蝶降恍雛浴車撾丹嘿蕉沿見